Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 1: Chuỗi Fourier

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 1: Chuỗi Fourier

1. Phần 1: Giải tích Fourier  Chương 1 : Chuỗi Fourier  Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier Toán K ỹ Thuật EE1003 1
2. 1.1 Hàm tuần hoàn  Định nghĩa 1.1 hàm f(t) gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho f(t+T) = f(t) với mọi t trong miền xác định của f(t)  T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bản )  Phân loại:  f(t) tuần hoàn sin  f(t) tuần hoàn không sin Toán Kỹ Thuật EE1003 3
3. 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø : +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 Vôùi : n = 1,2 ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier . Toán K ỹ Thuật EE1003 5
4. Caùc heä soá khai trieån Fourier +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 TT 22 ωω= = ∀ ∫∫cos(m00 t ) dt sin( n t ) dt 0 m , n −−TT 22 T 2 2 = a0 ∫ f() t dt T −T 2 Toán K ỹ Thuật EE1003 7
5. Caùc heä soá khai trieån Fourier +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 T 2 ωω= ∀ ∫ cos(m00 t )sin( n t ) dt 0 m, n −T 2 T 0 mn≠ 2  ωω= ∫ sin(m00 t )sin( n t ) dt T −T  mn= 2  2 T 2 2 = ω bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T −T 2 Toán K ỹ Thuật EE1003 9
6. Ví dụ tìm chuỗi Fourier Tìm chuỗi Fourier cho f(t) ? Giải Chu kỳ và tần số cơ bản: Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2, 34nπ 34nπ a = sin bn =1 − cos n nπ 3 nπ 3 ∞ 34nππ 2 nt 3 4n π 2 nt π ft( )=+ 1∑  sin cos+− 1 cos sin n=1 nnππ33 3 3 Toán K ỹ Thuật EE1003 11
7. Ví dụ tìm chuỗi Fourier Tìm khai triển Fourier lượng giác của các hàm sau f1 A f2 A -T/2 T/2 T -T/4 T/4 3T/4 -A -A f4 f3 4 A 3 2 -T/4 T/2 1 -T/2 T/4 T t [s] -3 -2 -1 1 2 3 5 -A -1 Toán K ỹ Thuật EE1003 13
8. 1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier Bước nhảy của một hàm: f(t) f(t2-) f(a+) f(b-) t a t1 t2 b f(t1-) f(t2+) f(t1+)  Định nghĩa : + - Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk ) – f(tk )  Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0  Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0 Toán K ỹ Thuật EE1003 15
9. Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier Định lý 1.3: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: m 11' bnn= a + ∑ J kcos( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 ( n = 1, 2, ) ( an’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’) Toán K ỹ Thuật EE1003 17
10. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp f(t) f'(t) 1 -2 -1 0 1 2 t -2 -1 0 1 2 t -1  Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1  f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0 Toán K ỹ Thuật EE1003 19
11. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp 2 nπ a= sin (nk= 2 + 1) n nπ 2 2 b= (nk= 2 + 1) n nπ Đối với a0 ta tính trực tiếp 1 −11 = −+ = a0 ∫∫( 1)dt (1) dt 0 2 −20 Chuỗi Fourier của f(t) là : 21+∞ nππ nt nt π ft() = ∑ sin cos+ sin π n=1 n 22 2 nk=21 + Toán K ỹ Thuật EE1003 21
12. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Xác định các hệ số chuỗi Fourier 10 f(t) dùng công thức lặp ? 0 π 2π Giải a 1 T  Xác định các hệ số chuỗi Fourier: 0 =∫ f() t dt = 5 2 T 0 =−−=1 π an nπ [10.sin(0) 10sin(n )] 0 1 20 = −=π (n:odd) bn nπ [10.cos(0) 10cos(n )] nπ Toán K ỹ Thuật EE1003 23