Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (Tiếp)

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier (Tiếp)

1. Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier  2.1 Tích phân Fourier  2.2 Phép biến đổi Fourier  2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier  2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. 2.2 Biến đổi Fourier  Cặp biến đổi Fourier ft()↔ F (ω )  Biến đổi thuận +∞ F(ω )=F { ft ()} = ∫ fte () − jtω dt −∞  Biến đổi ngược 1 +∞ ft()= F −1 { F ()ω} = ∫ F () ωω ejtω d 2π −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 3
3. Ví dụ tìm biến đổi Fourier eat (t 0 F(ω) =  −at 22 e (t > 0) aω+ -eat (t 0 F(ω) =  −at 22 e (t > 0) aω+ ft() 1 2(1− cosω ) F(ω) = ω2 −1 1 t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 5
4. Tính chất của phép biến đổi Fourier  Đổi thang thời gian (co giãn, đồng dạng) +∞ +∞ ω − ω − jx( ) a > 0: f() at ejt dt= 11 f() x ea dx= F()ω ∫∫−∞ a−∞ aa +∞ −∞ ω − ω − jx( ) a < 0: f() at ejt dt= 11 f() x ea dx= F()ω ∫∫−∞ a+∞ −aa 1 ω ⇒ f() at↔ F  aa Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 7
5. Tính chất của phép biến đổi Fourier  Dịch chuyển trong miền thời gian (dời thời gian) − jtω 0 ft(−↔ t0 ) e F ()ω +∞ +∞ = − →=F(ω ) f () t e−−jtωω dt = f() t − t ejt dt ft10() ft ( t ) 11∫∫−∞ −∞ 0 +∞ +∞ −+ωω − − ω −ω ⇔=F(ωω ) f () x ej() xt00 dx= e jt f() x ejx dx= ejt0 F() 1 ∫∫−∞ −∞  Dịch chuyển trong miền tần số (dời tần số, điều chế AM) jtω0 f() te↔− F (ωω0 ) jtω0 f1() t= f () te +∞ +∞ − ω −−ωω ⇒=F(ω ) f () t ejt dt = f() t ejt()0 dt =− F()ωω 11∫∫−∞ −∞ 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 9
6. Tính chất của phép biến đổi Fourier n  Đạo hàm trong miền t dft() ↔ (jFωω )n () dt n +∞ +∞ ωωdf() t ft()=11 F ()ωω edjt ⇒=( j ω) F() ωω edjt 22ππ∫∫−∞ dt −∞ t F()ω  Tích phân trong miền t ∫ fd(τ ) τ↔+ π F (0) δω ( ) −∞ jω n nndF()ω  Đạo hàm trong miền ω tft()↔ j dω n Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 11
7. Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng δ  Hàm Dirac δ(t) ∆ ()t  1 1  0 <t <∆τ ∆τ δ∆ ()t = ∆τ 0 otherwise ∆τ t δδ()tt= lim∆ () δ ()t ∆→τ 0 ∞=t 0 +∞ δ ()t =  ⇒=∫ δ ()t dt 1 00t ≠ −∞ t Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 13
8. Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng  f(t)=1: +∞ 1 ω F()ω= 2 πδ () ω ⇒=ft() 2πδ ( ω )ejt d ω = 1 2π ∫−∞ ⇒ 1↔ 2πδ () ω 1 2πδ () ω ↔ t ω 0 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 15
9. Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng  Hàm bước (nấc thang) đơn vị : u(t) ut() 00t t 1 ut()↔+πδ ( ω ) jω d ut()= δ () t dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 17
10. Biến đổi Fourier của một số hàm thông dụng sgn(t )  Hàm dấu 10t > 1 sgn(t ) =  −<10t t sgn(t )= 2 ut ( ) − 1 −1 2 sgn(t )↔ 2πδ ( ω ) +− 2 πδ ( ω ) jω 2 sgn(t ) ↔ jω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 19
11. Các cặp biến đổi Fourier f(t) F(ω) 1 −at te u( t ) ( a > 0) ()aj+ ω 2 ten− at ut( ) ( a> 0) n! n+1 ()aj+ ω jtω0 πδ ω− ω e 2(0 ) cos(ω0t ) πδω[ (++ ω00 )( δω − ω )] sin(ω0t ) jπδω[ (+− ω00 )( δω − ω )] Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 21
12. Khảo sát mạch điện có thông số phụ thuộc ω ft() yt() ht() F-1  h(t) đáp ứng xung: đáp ứng với ngõ vào là δ(t) +∞  Tích chập yt()= f () t ∗= ht ()∫ f (τ ) ht ( − ττ ) d −∞ F()ω Y ()ω F H ()ω Y()ω= FH () ωω () Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 23