Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 3: Phép biến đổi Laplace

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 3: Phép biến đổi Laplace

1. Phần 2 Toán tử Laplace  Phép biến đổi Lapalace  Phép biến đổi Lapalace ngược  Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân  Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng  Hàm bước (nấc thang) đơn vị : u(t) ut() 00t t +∞ +∞ +∞ −st −−e 1 F() s= ∫∫ u () t est dt= est dt = = −+− 00ss0 1 L {ut()} = Miền hội tụ Re{S} > 0 s Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 3
3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng  Hàm mũ : e-at (a > 0) f() t= e−at ut () Sau này viết là f(t)=e-at ẩn đi u(t) +∞ +∞ +∞ −+()s at − − −+ e 1 F() s= ∫∫ eat u () t e st dt= e()s a t dt = = −+−+ + 00()sa0 sa −at 1 L {e } = Miền hội tụ Re{S} > -a sa+ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 5
4. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng  Hàm lũy thừa : f(t) = tn (n = 0,1, 2, 3, ) +∞ +∞ n−− st +∞ st +∞ − te −e n −− F() s==−= tn e st dt ntn 11 dt tn e st dt ∫−− ∫∫ 0s0 00 ss n−− nn(− 1) ⇒=LL{ttnn} { 12} = L{ tn} s ss nn(−− 1) ( n 2) − n! = LL{ttn 30} = = { } ss s sn n n! Miền hội tụ Re{S} > 0 L {t } = + sn 1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 7
5. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Tính tuyến tính ◦ Nếu LL{ ftFs11()} = () ;{ ftFs 2 ()} = 2 () ◦ Thì L {a11 f() t+=+ a 2 f 2 () t} aF11 () s aF 2 2 () s (,aa12 :caùc haèng soá) +∞ += +−st L {af11() t af 2 2 () t} ∫ ( af11 () t af 2 2 () t) e dt 0− +∞ +∞ =+=+−−st st ∫∫a11 f() t e dt a2 f 2() t e dt a11 F () s a 2 F 2 () s 00−− Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 9
6. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Tính dời theo s ◦ Nếu L { ft()} = Fs () ◦ Thì L {e−at ft()} = Fs ( + a ) (:a soá thöïc) +∞ L {e−at ft()} = ∫ e −−at fte () st dt 0− +∞ = ∫ f() t e−+()s at dt= F() s + a 0− Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 11
7. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Tính dời theo t 0 tt 0 −st0 ◦ Thì L { fttutt().()−00 −=} e Fs ()(0t0 > ) +∞ − −= −−st L { fttutt()()00} ∫ fttedt () 0 t0 +∞ +∞ −+sxt( ) −−st − st = ∫∫f() x e0 dx= e00 f() x esx dx= e F() s 00 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 13
8. Ví dụ Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau f() t= 3. tut () ft1( )= 3( t − 2).ut ( ) ft2 ( )= 3( t − 2).ut ( − 2) ft3 ( )= 3 t .ut( − 2) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 15
9. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Tính đổi thang đo (đồng dạng) ◦ Nếu L { ft()} = Fs () 1 s ◦ Thì L { f() at} = F  a > 0 aa +∞ L { f() at} = ∫ f () at e−st dt 0− +∞ xs+∞  −−s x aadx 11s = ∫∫f() xe  = f() xe dx= F 00−−aa a a Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 17
10. Ví dụ Cho f(t) như hình vẽ tìm biến đổi Laplace của f ”(t) ft() 00t <  2 tt02<< ft()=  −2tt + 62 << 3 0 2 3 t d 03< t ft() dt 1 f( t )= tut[ ( ) −−+−+ ut ( 2)] ( 2 t 6)[ ut ( −−− 2) ut ( 3)] =tut. ( ) − 3( t − 2). ut ( −+ 2) 2( t − 3). ut ( − 3) 0 2 3 t d f() t= ut () − 3 ut ( −+ 2) 2 ut ( − 3) -2 dt d 2 ft() dt 2 2 2 d 2 ft()=δδ () t − 3 ( t −+ 2) 2 δ ( t − 3) 1 dt 0 2 3 t 2 d −−23ss L 2 ft()=−+ 1 3 e 2 e -3 dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 19
11. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Tích phân hàm gốc f(t) ◦ Nếu L { ft()} = Fs () t 1 ◦ Thì L ∫ f() t dt= F( s) 0− s t gt()=∫ ftdt () →= gt '() ft () ; g (0)− = 0 0− L {g'() t} =−= sG () s g (0)− F () s Fs() ⇒=Gs() s Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 21
12. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Chia hàm gốc cho t [Tích phân ảnh F(s)] ft() ◦ Nếu và toàn taïi L { ft()} = Fs () lim− t→0 t ft() +∞ ◦ Thì L = ∫ F( s) ds t s +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −− ∫F() s ds= ∫∫ f () t est dtds= ∫ f() t ∫ est ds dt ss00−−s +∞ +∞ −st +∞ e ft() −st  ft() = ∫∫f() t dt=  e dt = L  −−−tt   t 00s Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 23
13. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Định lý giá trị đầu ◦ Nếu L { ft()} = Fs () ◦ Thì limf ( t )= f (0+ ) = lim sF ( s ) t→0+ s→+∞  Ví dụ minh họa 3 L {3e−2t } = s + 2 3s lim 3e−2t = 3 = lim t→0+ s→+∞ s + 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 25
14. Áp dụng biến đổi Laplace  Tính tích phân suy rộng +∞ −αt ◦ Nếu L { ft () } = Fs () thì ∫ e f() t dt= F (α ) 0− +∞ −2t  Ví dụ tính : ∫ tecos( t ) dt 0− s ds s2 −1 LL{cos(t )} =→=−={tt.cos( )}  s2+1 ds s2++1 ( s 22 1) +∞ s2 −1 t.cos( t ). e−st dt = ∫ 22 − + 0 (s 1) +∞ 212 − 3 s=2⇒== t . e−2t cos( t ) dt ∫ 22 − + 0 (2 1) 25 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 27
15. Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất f(t) F(s) Đạo hàm theo t ft()n () sFsnn( )− s−1 f (0 − ) −− f(n −− 1) (0 ) t 1 Tích phân theo t f() t dt Fs() ∫0 s n n d Nhân cho t tft() (− 1)n Fs ( ) dsn ft() ∞ Chia cho t F() s ds t ∫s Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 29
16. Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) F(s) 1 ut() s > 0 s δ ()t 1 δ '(t ) s s > 0 δ ()n ()t sn s > 0 1 e−at sa>− sa+ n! t n s > 0 sn+1 s cos(ωt ) s > 0 s22+ω ω sin(ωt ) s > 0 s22+ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 31
17. Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) F(s) +∞ cos x ln(s2 + 1) Ci() t= ∫ dx s > 0 t x 2s +∞ sin x 11 Si() t= ∫ dx arctg s > 0 t x ss +∞ e− x ln(s + 1) Ei() t= ∫ dx s > 0 t x s Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 33