Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 10: Lý thuyết thặng dư

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 10: Lý thuyết thặng dư

1. Phần 3 Hàm phức và ứng dụng  Hàm giải tích  Tích phân phức  Chuỗi hàm phức  Lý thuyết thặng dư  Ứng dụng của lý thuyết thặng dư Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. Phân loại điểm bất thường a a fz( )=+ −m ++ −1 +a + aza( − ) ++ aza ( − )m + ()za−−m za 01 m  Điểm cực cấp m  a là cực của f(z) khi khai triển chuỗi chỉ chứa một số hữu hạn lũy thừa âm  a là cực cấp m của f(z) khi m là lũy thừa âm cao nhất  Điểm bất thường chủ yếu  Khi khai triển chuỗi chứa vô số lũy thừa âm  Điểm bất thường khử được  Khi khai triển chuỗi không chứa lũy thừa âm Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
3. Thặng dư (Residue)  Cho f(z) giải tích trong miền D chứa duy nhất điểm bất thường z0  Khai triển Laurent của f(z) trong cận 0 < |z – a | < R quanh điểm bất thường cô lập a = z0 +∞ n 1f () z dz fz()= a ( z − a ) an = ∑ n ∫ n+1 n=−∞ j2()π C za−  Định nghĩa  Thặng dư của f(z) tại z = a là a-1  Ký hiệu : 1 Res{ fza ();} = ∫ fzdz() j2π C Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
4. Thặng dư tại các cực  Nếu a là điểm bất thường cô lập và là cực cấp m của f(z) ϕ()z ϕ(z ):giaûi tích taïi a  Thì ta có thể viết fz()= ()za− m ϕ(a)≠ 0 ϕ (m− 1) ()a  Khi đó Res{ fza ( ); } = (m − 1)! 1 d m−1 = − m hay Res{ fza ();} limm−1 (z a ) fz () (m− 1)! za→  dz  a là cực đơn Res{ fza ();} =−= lim([ z afz ) ()] ϕ () a za→ Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
5. Thặng dư tại các cực  Ví dụ: tìm thặng dư tại tất cả các cực của các hàm số sau 2z 1 ez z4 3 = = = sin z fz1() fz()= fz3 () 22 fz4 () 3 fz5 ()=  (z−+ jz )( j )(2 z − 1) 2 1+ z4 (1+ z ) (z + 1) z2 Giải 2z fz()= 1 (z−+ jz )( j )(2 z − 1) 3 cực đơn 21z Res{ fz1 ( ); j} = lim ( z−= j ) zj→ (z−+ jz )( j )(2 z − 1) j 2 − 1 21z − Res{ fz1 ( );−= j} lim ( z + j ) = zj→− (z−+ jz )( j )(2 z − 1) 1 + j 2 1   12z 2 Resfz ( );= lim z−= 1 1  2 z→ 2 (z−+ jz )( j )(2 z − 1) 5 2  Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
6. Thặng dư tại các cực z Giải e 22 fz3 ()= → (1+ z22 ) Tìm cực của f(z) giải PT : (1+=z ) 0 →=±zj:ñieåm cöïc caáp 2 Cực z = j z e ϕ1()z d fz()= = ϕϕ13()j≠→ 0 Res{ fz (); j} = lim 1 ()z 3 ()()()zjzj−+22 zj − 2 zj→ dz ezjzz()2()+−+2 zje −+ejj (1 ) ϕ1′(j )= lim Res{ fz3 ( ); j} = zj→ ()zj+ 4 4 Cực z = -j z e ϕ2 ()z d fz()= = ϕϕ23(−j ) ≠→ 0 Res{ fz (); − j} = lim 2 ()z 3 ()()()zjzj−+22 zj + 2 zj→− dz ezjzz()2()−−−2 zje −−ej− j (1 ) ϕ2′(−=j ) lim Res{ fz3 ( );−= j} zj→− ()zj− 4 4 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
7. Thặng dư tại các cực 3 Giải sin z = fz5 () 2 Tìm cực của f(z): z sin3 zzϕ ( ) = z =0 là cực cấp 6 ? → Không đúng vì ϕ(0) = 0 zz66(− 0) sinz 1 z35 z1 zz3 =(z − + − ) =−+ − zz223! 5!z 3! 5! 3 3 sin1111z zz3 zz 333 zz zz =−+− =−+− −+− −+− 2    zzzzz3! 5! 3! 5! 3! 5! 3! 5! 3 sinz 1 1 1 1 = −3 += − + z23 z3! z zz32 −1 →=Res{ fz ( );0} 5 2 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
8. Thặng dư tại các cực Giải 1 = z fz7 () z ze(−=→= 1) 0 z j 2 nπ ; n = 0,1,2,3, ze(− 1) Xác định cực ϕ()zz z = 0 : cực cấp 2 →fz7 () = →=ϕ () z ze2 z −1 dz ezz−+() e ze z −z −−11 Res{ fz7 ( );0} = lim = lim = lim =lim = z→0 dz ez −1 zz→→002eezz (−− 1) 2(ez 1) z→0 22ez Hoặc dùng khai triển Maclaurin −1 ∞∞nn−12 2 z z22 z  zz  zz ze(−= 1) z∑∑ −1 =z = z 1 + + + →ϕ(z ) =++ 1 + nn=01nn! = !  2! 3!  2! 3! −2 12z zz2 −1 → =ϕ =−+ + ++ + = Res{ fz7 ( );0} '( z ) =   1 z 0 2! 3! 2! 3! 2 z=0 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
9. Định lý thặng dư y z - plane  Ví dụ: tính các tích phân sau C dz  C1 là đường tròn |z| = ½ 2 I = j 1 ∫  C là đường tròn |z| = 2 C1 C zz(+ 1) 2 -1 1 x Giải -j 1 fz()= Res{ fz ( );0} = 1 ; Res{ fz ( ); −=− 1} 1 zz(+ 1)  C1 là đường tròn |z| = ½ I= fzdzj() = 2ππ Res{ fz ();0} = j 2 1 ∫ C1  C2 là đường tròn |z| = 2 I= fzdzj() = 2π Res{ fz ();0} + Res{ fz ();1 −=} 0 1 ∫ ( ) C2 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
10. Định lý thặng dư y z - plane  Ví dụ: tính các tích phân sau C2 1  C1 là đường tròn |z| = 1 -1+j I3 = dz C ∫ 32++ 1 C zz( 2 z 2)  C2 là đường tròn |z| = 3 1 Giải x →=fz() zz3 (1)(1)+− jz ++ j -1-j 11d 2 = 1dz−+ (2 2) Res{ fz ( );0} lim 22 = lim 2! z→0 dz z++2 z 2 2!z→0 dz ( z22++ 2 z 2) 1− 2(zz2 ++ 2 2) 2 + (2 z + 2) 22 2( zz ++ 2 2) 1 = lim = 2! z→0 (zz24++ 2 2) 4 11 11 Res{ fz ( );−+ 1 j} =−+ j;Res{ fz ( );−− 1 j} =−+ j 88 88 π  C là đường tròn |z| = 1 I= fzdzj() = 2π Res{ fz ();0} = j 1 3 ∫ 2 C1 3  = = π = C2 là đường tròn |z| = 3 I3 ∫ fzdzj() 2∑ Res{ fz (); zk } 0  k =1 C2 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19