Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

1. Phần 3 Hàm phức và ứng dụng  Hàm giải tích  Tích phân phức  Chuỗi hàm phức  Lý thuyết thặng dư  Ứng dụng của lý thuyết thặng dư Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư  Ví dụ: hãy tính các tích phân xác định sau: 2π dθ 2π sin2 θθd = = I1 ∫ I2 ∫ 0 2+ cosθ 0 2+ cosθ Giải dz 2dz I1 = = C : đường tròn đơn vị ∫ zz+ −1 ∫ jz(2 ++ 4 z 1) C jz 2 + C 2 2 Các điểm cực zz+4 += 10 → z1,2 =−± 2 3 →zC1 =−+23 ⊂ 11 Res fz ( ) = ;z1 =−+ 2 3 = zz2 ++41 23 2 12π Ij1 =××=2π j 23 3 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
3. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư  Tính tích phân suy rộng y z - plane +∞  f(x) = Pm(x)/Qn(x) I= ∫ f() x dx  Bậc n ≥ m+2 −∞  Qn(x) không có nghiệm thực C x ♦ Định lý  Nếu f(z) là hàm giải tích trong ½ MP trên (Im{z} > 0), ngoại trừ một số hữu hạn cực không nằm trên trục thực, và f(z) hội tụ đều về zero khi z → ∞ với 0 ≤ argz ≤ π +∞ n  I= fxdxj( ) = 2π Res fz ( ); z Thì ∫ ∑ { k } Im{zk }> 0 −∞ k =1 Toán K ỹ Thuật 2014 5
4. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư +∞ dx  Ví dụ: hãy tính tích phân xác định sau: I = ∫ 4 −∞ x +1 Giải 1 = fz() 4 y z - plane + 3π z 1 j π 4 j e e 4 →z4 +=10 Các cực ⊂ ½ M P trên ππ3 x jj 7π 5π j 44 j 4 →=ze; e e 4 e ππ3 jj1 − Resfze ( ); 44= e 4 39π ππ j11−− jj 2 2 4= 44 = Resfze ( ); e e ⇒=I j2ππ∑ Res{ fz ( ); zk } = 44 k =1 2 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư +∞ (x4 + 1) dx  Ví dụ: hãy tính tích phân xác định sau: I = ∫ 6 −∞ x + 64 4 Giải y z +1 = fz() 6 z - plane z + 64 π jn(2+ 1) →+=z6 64 0 →=ze2 6 6 cực đơn -2 2 x 3 cực ⊂ ½ M P trên n = 0,1,2 z4 +1 →Res{ fza ();} =−= lim(( z afz ) ()) za→ 6z5 3 17 ⇒=I j2ππ∑ Res{ fz ( ); zk } = k =1 96 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
6. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư  Ví dụ: hãy tính các tích +∞ xcos xdx +∞ xsin xdx I = I = phân xác định sau: A ∫ 2 B ∫ 2 −∞ xx−+2 10 −∞ xx−+2 10 Giải z fz()= Thỏa điều kiện hội tụ zz2 −+2 10 2 →−+=zz2 10 0 2 cực zj1,2 =13 ± −+ zejz1 (1+ je 3) 3 j →==jz 1 Cực ⊂ ½ M P trên z1 = 1+j3 Res{e fz ( ); z1} 22zj1 − 6 jz π −3 I= j2π Res{ e fz ( ); z1} = e ( (cos1 −+ 3sin1)j (3cos1 + sin1)) 3  π Ie=−3 (cos1 − 3sin1)  A 3 →  π Ie= −3 (3 cos 1+ sin 1)  B 3 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
7. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư  Tính tích phân Laplace ngược +∞  Biến đổi thuận Fs()=L { ft ()} = ∫ fte () −st dt 0 +∞ 1 aj  Biến đổi ngược ft()= L −1 { Fs ()} = ∫ Fseds()st 2π j aj−∞ Tìm lại công thức biến đổi ngược dùng lý thuyết hàm phức Toán K ỹ Thuật 2014 13
8. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư  Tính tích phân Laplace ngược y a+jb a− jb a+∞ j b z - plane 1F () z dz 1 F () z dz Fs( )= lim = C1 s b→∞ ∫∫ z-s 22ππja+ jb zs−− ja−∞ j sz C2 a x aj+∞ z −−1F () z dz ft()=LL11{ Fs ()} =  2π j∫ sz− -b aj−∞ a-jb aj+∞ aj+∞ 1−  11 f() t= ∫∫ F () z L 1 dz= F() z ezt dz 22ππjaj−∞ sz− jaj−∞ +∞ 1 aj Biến đổi ngược L-1 là một tích ft()= L −1 { Fs ()} = Fseds()st π ∫ phân đường trong MP phức bên 2 j aj−∞ phải các điểm bất thường Toán K ỹ Thuật 2014 15
9. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư  Ví dụ: dùng pp thặng dư tìm biến 1 Fs()= đổi Laplace ngược của hàm sau (ss+− 1)( 3) Giải e−t Res{eFsst ( );−= 1} −4 e3t Res{eFsst ( );3} = 4 2 −−13st 1 t t L {Fs()} = ∑ Res{ eFs (); sk } =( e − e ) k =1 4 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
10. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư  Ví dụ: dùng pp thặng dư tìm biến s +1 Fs()= đổi Laplace ngược của hàm sau ss2 ++1 Giải −13 ss2 ++=10 → s = ± j 1,2 22 −−13 13 st1 ++jjtt es(+ 1) 221322 3 st =1 = − = ∠− 0 Res{eFs ( ); s1} e j e 30 (2s1 + 1) 2 6 3 −−13 13 st2 −−jjtt es(+ 1) 221322 3 st =2 = += ∠0 Res{eFs ( ); s2} e j e 30 (2s2 + 1) 2 6 3 2 23−t  3 −10= st = 2 − L {Fs( )} ∑ Res{ eFs ( ); sk } ecos t 30 k =1 32 Toán K ỹ Thuật 2014 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19