Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 7: Hàm giải tích

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 7: Hàm giải tích

1. Phần 3 Hàm phức và ứng dụng  Hàm giải tích  Tích phân phức  Chuỗi hàm phức  Lý thuyết thặng dư  Ứng dụng của lý thuyết thặng dư Toán Kỹ Thuật 2016 1
2. Chương 7 Hàm giải tích  Hàm biến phức  Định nghĩa: Ánh xạ f từ mặt phẳng z → mặt phẳng w w= f() z = uxy (, ) + ivxy .(, ) z= x + iy. y z plane v w plane x11+ iy. z1 0 u w1 0 x u11+ iv. Toán K ỹ Thuật 2016 3
3. Chương 7 Hàm giải tích  Đạo hàm  Định nghĩa: dw fz(+∆ z ) − fz () =w' = fz '( ) = lim dz ∆→z 0 ∆z  Ví dụ: cho f(z) = z2 tìm f’(z) ? ()zz+∆22 − z z 2 + 2 zzzz ∆ +∆22 − lim = lim ∆→zz00∆∆zz∆→ =lim(2zz +∆ ) = 2 z ∆→z 0  Điều kiện nào thì hàm biến phức có đạo hàm ? Toán K ỹ Thuật 2016 5
4. Chương 7 Hàm giải tích  Hàm giải tích . f(z) Giải tích tại z0 nếu nó có Đạo hàm (Khả Vi) trong miền D(z0, δ). . Nếu f(z) giải tích tại z0 thì z0 là Điểm Thường của f(z). . Nếu f(z) không khả vi tại z0 nhưng nếu có D'(z0,δ) trong đó f(z) khả vi thì z0 là 1 Điểm bất thường cô lập của f(z). . f(z) Giải Tích trong D nếu nó giải tích tại mọi z của D. Toán K ỹ Thuật 2016 7
5. Chương 7 Hàm giải tích  Ví dụ khảo sát đạo hàm của các hàm số sau: 1)fz ( ) = z 2 2)fz ( ) = z 3)fz ( ) = z2 4)fz ( )= z Re{ z} 5)fz ( ) = eα z Toán K ỹ Thuật 2016 9
6. Chương 7 Hàm giải tích  Tính chất hàm giải tích  Hàm điều hòa: Φ ∂Φ22 ∂Φ (x,y) được gọi là hàm điều hòa +=0 khi thỏa phương trình Laplace: ∂∂xy22 Cách viết khác Φxx +Φ yy =0  Tính chất 1: Nếu f(z) = u+i.v là hàm giải tích thì u , v là hai hàm điều hòa. Trong trường hợp này u , v được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp .  Ví dụ: fz( )= ( xy22 −+ 2 xixyyz ) + (2 + 2 ) =+2 2 z uxy(, ) vxy(, ) 11
7. Chương 7 Hàm giải tích  Tính chất hàm giải tích  Tính chất 3: Nếu trong hàm giải tích f(z) = u(x,y)+i.v(x,y) thay zz+− zz xy=; = 22j ta sẽ thu được hàm chỉ theo biến z  Ví dụ: w=( x22 −+ y 2 x ) + i (2 xy + 2 y ) 22 zz+ zz − zz + zz +− zz zz − wi=−+22 + + 2 2 2i 2 22ii 2 wz=2 + 2 z Toán K ỹ Thuật 2016 13
8. Chương 7 Hàm giải tích  Ví dụ: giải phương trình ez = 1+i2 Giải ezx= ecos y + ie . x sin y x 2x 1 eycos= 1 e = 5 x = 2 ln 5 → →  →  x  −1 eysin= 2 tany = 2 yk=tan (2) + π 1 − z=+= x iy. ln 5 + i( tan1 (2) + kπ ) 2 Toán K ỹ Thuật 2016 15
9. Chương 7 Hàm giải tích  Các hàm phức sơ cấp eezz+−−− eezz  Hàm hyperpol: cosh zz= ; sinh = 22 sinhzz cosh tanhzz= ; coth = coshzz sinh 11 sechzz= ; cosech = cosh zzsinh cosh(i . y )= cos y ; sinh( iy )= i .sin y coshz= cosh x .cos yi− .sinh x .sin y sinhz= sinh x .cos yi + .sin y .cosh x Toán K ỹ Thuật 2016 17