Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 8: Tích phân phức

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 8: Tích phân phức

1. Phần 3 Hàm phức và ứng dụng  Hàm giải tích  Tích phân phức  Chuỗi hàm phức  Lý thuyết thặng dư  Ứng dụng của lý thuyết thặng dư Toán Kỹ Thuật 2016 1
2. Cách tính tích phân đường phức  Giống cách tính tích phân đường thực ∫∫f() z dz=++[ u (, x y ) jv (, x y )(] dx jdy ) CC ∫∫f() z dz=[ udx −+ vdy)] j ∫[ udy + vdx] CC C  Tính từng tích phân  Lấy tổng  Kết quả không phụ thuộc đường lấy tích phân khi hàm f(z) giải tích trên miền D. Toán K ỹ Thuật 2016 3
3. Tích phân đường phức B 2 Cj(−+ 1 3) Bj(5+ 3)  Ví dụ : tính I= z dz AB ∫A ◦ A(-1+j) ◦ B(5+j3) Aj(1−+ ) Dj(5+ ) Giải z− plane BB B z2 dz=[()2][2()] x 22 − y dx − xydy + j xydx +− x22 y dy ∫∫AA ∫A 196  IAB = IAC +ICB IjAB =−+4 3 33 3 3 3 22 y 20 IAC =2 ydy +− j (1 y) dy =+−y jy (33 )8 =− j ∫∫11 1 1 55 5 5 I=( x22 − 9) dx + j 6 xdx = (x3 − 9 x ) + j 3 x =−+ 12 j 72 CB ∫∫−−113 −1 −1 Toán K ỹ Thuật 2016 5
4. Tổng quát  Hàm biến phức w = f(z) là hàm thông số t  Cho z(t) = u(t) + jv(t) ; t1 < t < t2 biến thực t2 ∫∫f( z ) dz= f [ z ()]'() t z t dt Ct1  Ví dụ : tính ∫ zdz , biết C cho bởi [x=3t; y=t2 ; -1≤ t ≤ 4] C Giải 4 z=+3 t jt2 →=+ z '3 j 2 t ∫∫f( z ) dz=−+ (3 t jt2 )(3 j 2 t ) dt C −1 f() z= z = 3 t − jt 2 =195 + j 65 Toán K ỹ Thuật 2016 7
5. Ví dụ (*) y z− plane  Cho C là vòng tròn tâm z0 bán jθ zz−=0 re kính r , n là một số nguyên z  dz θ Tính I = + ∫ ()zz− n 1 r ab≡ C 0 z0 Giải jθ z− z0 = re ;0 ≤≤θπ 2 C dz= jrejθ dθ x 22ππjθ jre dθ j − θ  jn20π = I= = edjn θ = ∫∫n++1 jn ( 1)θ n  00re r 00n ≠ dz  jn20π = =  ∫ n+1 C ()zz− 0 00n ≠ Toán K ỹ Thuật 2016 9
6. Định lý Cauchy & các hệ quả y z− plane y z− plane (C) (C1) z1 z1 (C2) z z 2 z0 2 zn D zn D x x  Định lý Cauchy  Nếu : D là một miền đơn liên (hoặc đa liên ) mà biên C trơn từng đoạn, và nếu f(z) giải tích trong và trên biên C của D  Thì : ∫ f() z dz = 0 C Toán K ỹ Thuật 2016 11
7. Định lý Cauchy & các hệ quả dz  Ví dụ: tính I = ∫ với C là đường cong bất kỳ C z ◦ a) C không chứa gốc tọa độ ◦ b) C chứa gốc tọa độ Giải  a) C không chứa gốc tọa độ : dz Theo ĐL Cauchy → I =∫ = 0 C z Gốc tọa độ Z0 = 0 là điểm mà f(z) không giải tích Toán K ỹ Thuật 2016 13
8. Định lý Cauchy & các hệ quả z  Ví dụ : tính tích phân I = ∫ dz C (z−+ 1)( zj 2) ◦ a) C là đường cong chứa cả hai điểm 1 và –j2 ◦ b) C là đường cong chỉ chứa điểm –j2 Giải zj12 = + (z−+ 1)( zj 2) (1 +− j 2)( z 1) (1 ++ j 2)( zj 2) 11j 21 I =+=dz dz I+ I (1+−++jz 2)∫∫ 1 (1 jzj 2) 2 12 CC12 Toán K ỹ Thuật 2016 15
9. Định lý Cauchy & các hệ quả  y z - plane Định lý C zn γn  C đường cong kín bao quanh n z1 γ1 zn-1 điểm không giải tích của f(z) γn-1 γ z2 2  γ k là đường cong kín duy nhất bao γ3 x z3 quanh điểm không giải tích zk ∫∫∫f() z dz= f () z dz + f () z dz ++  ∫ f () z dz C γγ12 γn n  Hay cách khác f () z = ∑ kf ii () z i=1 f() z dz= k f () z dz + k f () z dz ++ k f () z dz ∫∫∫11 2 2 nn  ∫ C γγ12 γn Toán K ỹ Thuật 2016 17
10. Chứng minh tích phân Cauchy y z− plane  Theo nguyên lý biến dạng chu tuyến fz() fz () dz= dz θ ∫∫ D ε C CCzz−−00 zz 0 z0 C0  Chọn zz−=ε ejθ 0 x →=dz jεθ ejθ d 2π jθ fz() fz()0 + ε e jθ dz = lim θ jεθ e d= j2 π f ( z0 ) ∫∫zz− ε →0 εej C0 0 0 1fz () f() z = dz 0 ∫ j2π C zz− 0 Toán K ỹ Thuật 2016 19
11. Tích phân Cauchy 2z  Ví dụ : Tính tích phân I = ∫ dz C (z−+ 1)( z 2)( zj + )  Với C là đường cong kín bất kỳ chứa 3 điểm z = 1, -2, -j Giải 222z dz z dz z dz I =++ ∫∫∫(z+ 2)( zjz + ) ( − 1) ( z −+ 1)( zjz ) ( + 2) ( z −+ 1)( z 2) ( zj + ) CCC123 Với C1 , C2 , C3 là 3 đường cong kín chứa duy nhất các điểm 1 , -2 , -j 1fz () f() z = dz Áp dụng tích phân Cauchy 0 ∫ j2π C zz− 0 →=Ij2π [ f12 (1) + f ( −+ 2) f 3 ( − j )] 24−−j 2 Ij=20π  ++ = 3(1+j ) −−+ 3( 2 jj ) ( −− 1)( −+ j 2) Toán K ỹ Thuật 2016 21