Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 9: Chuỗi hàm phức

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm phức và ứng dụng - Chương 9: Chuỗi hàm phức

1. Phần 3 Hàm phức và ứng dụng  Hàm giải tích  Tích phân phức  Chuỗi hàm phức  Lý thuyết thặng dư  Ứng dụng của lý thuyết thặng dư Toán Kỹ Thuật 2016 1
2. Chuỗi hội tụ ∞∞  Định lý Sz()=∑∑ ann = f() z nn=11 =  Điều kiện cần và đủ để chuỗi S(z) hội tụ đều ∞ ∞  Là các chuỗi phần thực ∑ Re fz n ( ) , phần ảo ∑ Im fz n ( ) hội tụ n=1 n=1  Các phép thử hội tụ ∞  Thử so sánh ∑ fz n () n=1 fz()  Thử tỉ số (tiêu chuẩn d’Alembert) limn+1 < 1 n→∞ fzn () ∞  Thử M-Weierstrass fn() z≤ M nn &∑ M : convergent n=1 Toán K ỹ Thuật 2016 3
3. Điều kiện hội tụ  Ví dụ : ∞ zn Với giá trị nào của z thì chuỗi ∑ n 2 hội tụ ? n=1 2 n  Dùng phép thử tỉ số: y z-plane nn+12 j2 fn+1 z2 nz lim= lim + = <1 nn→∞ →∞ nn12 jθ fn 2 ( nz+ 1) 2 r=2e z < 2 -2 2 x  Xét riêng trường hợp z = 2, ta thấy chuỗi hội tụ. -j2  Kết luận: Chuỗi hội tụ tại các điểm bên trong và trên đường tròn tâm O, bán kính là 2. Toán K ỹ Thuật 2016 5
4. Các chuỗi hàm phức cơ bản  Chuỗi lũy thừa ∞ 2 nn a01+ aza()() ()() − + aza 2 − ++ azann − =∑ aza − n=0 a , an (n=0,1,2, ) là các hằng số phức z-plane  Miền hội tụ luôn là hình tròn y  Bán kính hội tụ R : r=Re jθ fa y0 a limnn++11= lim (za − ) = Lza −< 1 nn→∞ →∞ fann x0 x 1 a za−< == Rlim n →hội tụ tuyệt đối trong D(a,R) n→∞ Lan+1 Toán K ỹ Thuật 2016 7
5. Chuỗi lũy thừa ∞∞1 z2n + n  a)∑∑ ( zj 2) b ) n Tìm miền hội tụ của nn=11nn! = (+ 1)2 các chuỗi ∞∞ −nz 1 ce))∑∑ d n nn=11= ()n+ jz Giải a Miền hội tụ za− d) Đặt w = z-1 → miền hội tụ wz Toán K ỹ Thuật 2016 9
6. Chuỗi Taylor - Chuỗi Maclaurin  Chuỗi Taylor +∞ fa()n () fz()= ∑ (z− a )n n=0 n!  Chuỗi Maclaurin  Là chuỗi Taylor khi khai triển tại a = 0 ff'(0) "(0) fz( )=+++ f (0) z z2 1! 2!  Với bán kính hội tụ R f ()n (0) Rn=lim( + 1) + n→∞ f (n 1) (0) RR=min{kk } = min{ z } Toán K ỹ Thuật 2016 11
7. Chuỗi Taylor 1  Ví dụ: cho hàm số fz()= zz(− j 2) ◦ Tìm khai triển Taylor đến số hạng bậc 4 quanh điểm z = j của f(z) ◦ Xác định bán kính hội tụ của chuỗi trên Giải 1 111 fz()= = − →=f() j 1 zzj(−− 2) j 2 zj 2 z 1− 11 = + →= fz'( ) 22 f'( j ) 0 j2 ( zj− 2) z Toán K ỹ Thuật 2016 13
8.  Chuỗi Maclaurin của một vài hàm số cơ bản zz23 ∞ zn ezz =++1 + + =∑ 2! 3!n=0 n ! zzz3 5 7 ∞ (− 1) nn z21+ sin zz=− + − += ∑ 3! 5! 7!n=0 (2n + 1)! zzz246 ∞ (− 1) nn z2 cosz =−+ 1 − += ∑ 2! 4! 6!n=0 (2n )! zzz3 5 7 ∞ z21n+ sinh zz=+ + + += ∑ 3! 5! 7!n=0 (2n + 1)! zzz246 ∞ z2n coshz =++++= 1 ∑ 2! 4! 6!n=0 (2n )! 1 ∞ =++1zz23 +z = ∑ zn (|z |< 1) 1− z n=0 1 ∞ =−+1zz23− z =∑ ( −1) nn z (|z |< 1) 1+ z n=0 Toán K ỹ Thuật 2016 15
9. Chuỗi Laurent y C  Định lý: (khai triển Laurent) 2 r2 nếu f(z) giải tích khắp miền kín C1 D có biên là 2 vòng tròn đồng a r1 tâm a C1(a,r1), C2(a,r2) thì: +∞ n fz()=∑ an ( z − a ) x n=−∞ 1f () z dz a = n ∫ n+1 j2(π C za− ) (an không nhất thiết tính theo công thức trên) Toán K ỹ Thuật 2016 17
10. Ví dụ Tìm chuỗi Laurent biểu diễn hàm f(z) = cos(z)/z5 quanh điểm bất thường z = 0.  Ta có thể khai triển cos(z) dạng chuỗi ∞ z2n cosz =∑ ( − 1) n n=0 (2n )! ∞ n cosz (− 1) − = = 25n  Chuỗi Laurent : fz() 5 ∑ z znn=0 (2 )! ∞ n (− 1)− 1 1 1 1 1 =25n =−+− +3 − fz() ∑ z 53 z z n=0 (2n )! zz2 24 z 720 40320 . Miền hội tụ của chuỗi: 0 < |z| < ∞ (với mọi z khác 0). Toán K ỹ Thuật 2016 19