›
›

Bài giảng môn Toán kỹ thuật

.I. Nội dung: Gồm 3 phần
Phần thứ nhất: Giải tích Fourier
Chương 0: Ôn tập số phức.
Chương 1: Chuổi Fourier.
Chương 2: Biến đổi Fourier 
pdf 332 trang thamphan 27/12/2022 2120
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Toán kỹ thuật", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_mon_toan_ky_thuat.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Toán kỹ thuật

  1. Chương 9: Chuổi hàm phức 9.1 Định nghĩa. 9.2 Các điều kiện hội tụ của chuổi hàm phức. 9.3 Vài tính chất của chuổi hội tụ. 9.4 Chuổi hàm phức hội tụ đều. 9.5 Các tính chất của chuổi hàm phức hội tụ đều. 9.6 Chuổi lũy thừa. 9.7 Chuổi Taylor. 9.8 Cách tìm chuổi MacLaurin và Chuổi Taylor. 9.9 Chuổi Laurent. 9.10 Cách tìm chuổi Laurent. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 235
  2. 9.1 Định nghĩa: (tiếp theo)  Chuổi (9.1) PK tại z0 nếu Dãy số phức Sn (z 0 ) PK.  Miền Hội Tụ (Đơn) của (9.1) là: E z D : ( . ) Hoäi Tuï (Ñôn) 0 9 1  (9.2) . S(z) = f(z) là Hàm Tổng của (9.1), xác định trong E. 2. Hội tụ tuyệt đối (HTTĐ): Xét chuổi số thực dương: 2 2 fn (z0 )  u n (x 0 , y 0 ) v n (x 0 , y 0 ) (9.3) n 1 n 1 Chuổi (9.1) HTTĐ tại z0 nếu Chuổi (9.3) HT. 3. Bán hội tụ (BHT - hội tụ có điều kiện): Chuổi (9.1) BHT nếu (9.1) HT nhưng (9.3) PK. ! Nếu (9.3) HT thì (9.1) HT. ! Nếu 1 Chuổi HP Hội tụ tuyệt đối thì Hội tụ. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 237
  3. 2. Phép thử tỉ số: fn 1 (z) Đặt: lim limk(z)n k(z) r(x,y) (9.8) n n fn (z) ° (9.1) HTTĐ tại z(x, y) thỏa r(x, y) 1. ° (9.1) có thể HT hoặc PK tại z(x, y) thỏa r(x, y) = 1. H9.2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 239
  4.  VD 9.2.2: Điều kiện hội tụ (z i)n Với giá trị nào của z thì chuổi  hội tụ ? n 1 3n  Dùng phép thử tỉ số: n 1 n 1 fn 1 (z i) 3 z i lim limn n lim 1 n fn n 3 (z i) n 3 z i 3  Xét riêng trường hợp z – i = 3, ta thấy chuổi phân kỳ. ̣  Kết luận: Chuổi hội tụ tại các điểm bên trong đường tròn tâm tại z = i, bán kính là 3. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 241
  5. 9.4 Chuổi hàm phức hội tụ đều (HTĐ): 1. Định nghĩa: ° D = Miền HT Chung của {fn(z)}. ° E = Miền HT Đơn của (9.1).  (9.1) HT Đều về f(z) trong F nếu:  0,  N(  ):f(z) Sn (z)  n N(  ) vaø  z F H9.3 ° f(z) gọi là Hàm Tổng của (9.1). ° D  E  F Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 243
  6. 9.5 Các tính chất của chuổi hàm phức hội tụ đều: 1. Nhân cho hàm bị chặn: Nếu (9.1) HTĐ trong F và nếu g(z) là 1 hàm bị chặn trong F thì chuổi  g(z)f n (z) cũng HTĐ trong F. n 1 2. Tính liên tục(LT): Nếu mỗi fn(z) LT trong F và nếu (9.1) HTĐ về Hàm tổng f(z) thì f(z) cũng LT trong F: z0 F: limf(z) f(z0 ) z z0 (9.9) lim f(z)n f(z) n 0 limf(z) n z z   z z 0 n 1 n 1 n 1 0 ! Vậy có thể lấy lim từng số hạng, hay hoán vị lim với . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 245
  7. 4. Tính khả vi (tính giải tích – GT): Nếu mỗi fn(z) GT trong F và nếu (9.1) HTĐ về Hàm tổng f(z) thì f(z) cũng GT trong F: ' ' z F: fn (z)  f n (z) (9.11) n 1 n 1 d ! Vậy có thể lấy đạo hàm từng số hạng, hay hoán vị với . dz Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 247
  8. 9.6 Chuổi lũy thừa (không âm): 1. Định nghĩa: Cho a = một số phức (H9.4) ° {an} = 1 dãy số phức ° Chuổi lũy thừa (CLT) là: n  an (z a) (9.12) n 0 H9.4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 249
  9. 3. Tính chất của Chuỗi lũy thừa: ° 0 < r < R (9.12) HTĐ trong D(a,r). ° z1 C (a, R) :(9.12) HTTĐ (9.12) HTTĐ và Đều trong D(a,R). H9.5 n Đặt: f(z)  a(zn a);z D(a,R) n 1 Ta được 1 hàm mới xác định trong D(a, R). Ta có: ° n z0 D(a,R) : limf(z) a(zn 0 a) z z  0 n 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 251
  10. 9.7 Chuổi Taylor : 1. Định lý Taylor: H9.6 Nếu f(z) giải tích trong D và nếu a D, z D (H9.6) thì: n 1 f(a)(k) (za) n f()d   f(z) (z a)k (9.14)  C n k 0 k! 2 i ( a) (  z) = Đa thức Taylor bậc (n –1) + Phần Dư Rn(z). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 253
  11. 3. Chuổi MacLaurin : Nếu a = 0, f(z) được khai triển thành Chuổi Mac Laurin. f(n) (0) f(z)  z;zn D(0,R) (9.18) n 0 n! f(n) (0) R lim(n 1) (9.19) n f(n 1) (0) R = min{Rk} với Rk = |zk| (9.20) 4. Định lý Liouville: . Nếu f(z) GT khắp nơi và Bị chặn khắp nơi thì f(z) = hằng số. . Một hàm f(z) GT khắp nơi gọi là Hàm nguyên. . Một hàm nguyên f(z) khác hàm hằng không thể Bị chặn khắp nơi M 0:  z C:f(z) M Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 255
  12. 2. Định lý duy nhất: Nếu f(z) được khai triển thành chuổi lũy thừa của (z–a): n (9.27) f(z)  a(zn a);z D(a,R) n 0 thì khai triển này là duy nhất. .Có thể tìm an bằng cách khác, không nhất thiết dùng công thức. 3. Biểu diễn các hàm hữu tỷ bằng chuổi Taylor: Ta phân tích Hàm hữu tỷ f(z) = P(z)/Q(z) thành tổng của nhiều Hàm hữu tỷ sơ cấp, rồi dùng Chuổi nhị thức, chẳng hạn: 1 n  w(z) ;|w(z)| 1 (9.28) 1 w (z ) n 0 4. Áp dụng để tính f(n)(a): (n) Nếu tìm được (9.27), ta suy ra: f (a) n!an (9.29) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 257
  13.  VD 9.8.1: ( tiếp theo) 1 Tìm chuổi Taylor biểu diễn hàm f (z ) (z 2)(z 3) quanh điểm z0 = 1. Bán kính hội tụ ?  Dùng chuổi nhị thức: 1 1 11 1 1(z1) 1(z1) n z 1 n (3z) 2(z1) 21 2 22 2 2 2 . Bán kính hội tụ: (RoC:|z 1| 2)  Cuối cùng chuổi Taylor biểu diễn f(z) : 1 1 1 3 1 n f(z) (z 1) (1 ) (z 1) (2 z) (3 z) 2 4 2n 1 . Bán kính hội tụ: (RoC:|z 1| 1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 259
  14.  VD 9.8.2: (tiếp theo) 2i Tìm chuổi Taylor biểu diễn hàm f (z) (4 iz) quanh điểm z0 = – 3i . Xác định bán kính hội tụ R ?  Do đó chuổi Taylor biểu diễn f(z) quanh z0 có dạng : n n n 1 f(z) 2i (1) n i (z3i) n 2( 1) i (z3i) n 7 7  7n 1 0 0 i . Miền hội tụ: | ( z 3 i ) | 1 hay: | ( z 3 i ) | 7 7 . Bán kính hội tụ R = 7. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 261
  15. 1. Khai triển Laurent : Nếu f(z) giải tích trong A và nếu z A thì: n f(z)  a(za)n (n Z) (9.30) n 1 f( )d  a (n Z) n 2 i n 1 (9.31) C ( a) 2. Định lý duy nhất: Nếu f(z) được khai triển thành chuổi Laurent (9.30) trong A (a, r1, r2) thì khai triển này là duy nhất. .Có thể tìm an bằng cách khác, không nhất thiết dùng công thức (9.31). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 263
  16.  VD 9.9.1: Chuổi Laurent của f(z) Tìm chuổi Laurent biểu diễn hàm f(z) = cos(z)/z5 quanh điểm bất thường z = 0.  Ta có thể khai triển cos(z) dạng chuổi (công thức 9.22): z2n cosz  ( 1)n n 0 (2n)! n  Chuổi Laurent biểu diễn f(z) : f(z) cos(z) ( 1) z2n 5 z5 (2n)! n 0 f(z) 1 1 1 1 1 1 z 1 z3 z52 z 3 24 z 720 40320 . Miền hội tụ của chuổi: 0 < |z| < (với mọi z khác 0). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 265
  17.  VD 9.10.1: Biểu diễn Laurent hàm hữu tỷ Tìm chuổi Laurent biểu diễn hàm z f(z) (z 1)(z 2) quanh điểm z0 = – 1. Miền hội tụ ?  Phân tích f(z) = tổng các hàm hữu tỷ sơ cấp: z 1 2 f(z) (z1)(z2) (z1) (z2)  Dùng chuổi nhị thức với Miền hội tụ: |z + 1| < 1 : 2 1 2 3 (z 2) 2 1 (z 1) 2[1 (z 1) (z 1) (z 1) ]  Cuối cùng chuổi Laurent biểu diễn f(z) : 1 2 f(z) (z 1) 2 2(z 1) 2(z 1) . Miền hội tụ của chuổi: 0 < |z + 1| < 1 (hình vành khăn). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 267
  18. 10.1 Phân loại các điểm bất thường: 1. Điểm bất thường cô lập (H10.1):  z1, z2, = Điểm bất thường của f(z).  Nếu có D(z1, r) sao cho trong D không có Điểm bất thường nào khác thì z1 là Điểm bất thường cô lập của H10.1 f(z). . f(z) được khai triển thành chuổi Laurent quanh a = z1. a m a 1 n f(z)   ao a 1 (z a)  a n (z a)  (10.1) (z a)m z a .(10.1) có giá trị trong Đĩa hở vô tâm D'(a, R2) với R2 = |z – a| là Khoảng cách từ a đến Điểm bất thường gần a nhất. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 269
  19.  VD 10.1.1: Phân loại điểm bất thường Chỉ ra các điểm bất thường và cho biết loại của chúng : z2 2z3 z 1 sin(mz) 1 cos z a) b) c) 2 (z 1)3 (z 4)2 (z j)(z 1 2j) (z 2z 2) d) z a) z = -1 : cực bậc 3. b) z = 4: cực bậc 2; z = j và 1 – 2j : cực đơn. c) z = – 1 + j và – 1– j : cực đơn. d) z = 0 : điểm bất thường khử được . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 271
  20.  VD 10.2.1: Xác định thặng dư 3 Dùng chuổi Laurent, xác định Res{f(z); 0} biết : f (z) ze z  Khai triển f(z) quanh điểm z = 0. Dùng chuổi: 2 3 3 / z 3 1 3 1 3 e 1 z 2! z 3! z 2 3 f(z)ze 3 / z z3 1 3 1 3 2! z 3! z 2  Theo khái niệm thặng dư: 32 9 Re s{f ;0} a 1 2! 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 273
  21.  VD 10.3.1: Dùng định lý thặng dư 3 Dùng định lý thặng dư, tính f (z)dz biết : f (z) ze z |z| 4  Chỉ tồn tại điểm bất thường z = 0 bên trong |z| = 4. 2  Theo VD 10.2.1 ta đã tính được: 3 9 Res{f ;0} a 1 2! 2  Theo định lý thặng dư : n 9 f(z)dz 2i Resf(z);z  2i 9i |z| 4  k k 1 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 275
  22. VD 10.4.1: Tính thặng dư tại cực 1 Xác định thặng dư tại các cực của hàm f(z) (z 1)2 (z 3) i. z = 3 : cực đơn và ta dùng công thức: 1 1 Res{f (z),3} lim{(z 3)f (z)} lim 2 z 3 z 3 (z 1) 4 ii. z = 1 : cực bậc 2 , ta dùng công thức: 1 d2 1 (z 1) 2 1 1 Res{f (z),1} lim2 1 2 lim 2 z 1 (2 1)!dz (z1)(z3) z 1 (z3) 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 277
  23. 10.6 Quan hệ giữa zero cấp m và cực cấp m: . Cho hàm f(z) = P(z)/Q(z), với P(z) và Q(z) giải tích tại a. . Nếu a là zero cấp m của Q(z) và P(a) 0 thì a là cực cấp m của hàm phức f(z). P(a) 0; Q(a) = = Q(m–1)(a) = 0; Q(m)(a) 0 (10.11) VD 10.6.1: Xác định các cực và zero của hàm phức: f (z) (z 1) z4 (1 i)z 2 i . Theo định nghĩa ta có z = 2: zero đơn của f(z). . Các cực của f(z) là nghiệm: z4 – (1+i)z2 + i = 0 (z2–1)(z2–i) = 0 z 1, 1, 1 i , 1 i 2 2 là các cực đơn của f(z). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 279
  24. 10.7 Cực đơn của f(z) = P(z)/Q(z): 1. Nhận dạng cực đơn: P(a) 0; Q(a) = 0; Q'(a) 0 (10.12) 2. Thặng dư tại cực đơn: P(z)  P(a) Res ;a  (10.13) Q(z)  Q'(a) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 281
  25. Chương 11: Ứng dụng của thặng dư 11.1 Tính tích phân xác định hàm lượng giác. 11.2 Tính tích phân suy rộng hàm hữu tỷ. 11.3 Tìm biến đổi Fourier. 11.4 Tìm biến đổi Laplace ngược. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 283
  26. 2. Cách tính tích phân xác định hàm lượng giác:  Đổi biến z e i  , ta có: z2 1 z 2 1 dz cos ;sin  ;d  2z 2iz iz  Đồng thời, đường tích phân  biến thành Vòng Đơn Vị C : |z| = 1 (H11.1b) z2 1 z 2 1 dz  Đặt: F ; f(z)dz 2z 2iz iz n I f(z)dz 2i Resf(z);z (|z |1) (11.2) C  k k k 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 285
  27. VD 11.1.1: Tính tích phân hàm lượng giác 2 d Dùng thặng dư, tính tích phân: I 0 24 8cos  2 Xác định f(z): dz z 1 d iz & cos  2z d dz dz i dz f (z)dz 24 8cos  z2 1 i[24z4z 2 4] 4 [z 2 6z1] iz[24 4 ] z Cực f(z) bên trong VTĐV: z1 3 2 2 Tính thặng dư: Res{f(z);z } i 1 i 1 4 [2z1 6] 16 2 i Cuối cùng: I 2 i 16 2 8 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 287
  28. 3. Các bước để tính I: B1. Chọn các cực zk của f(z) có Phần ảo Im(zk) > 0. B2. Tính Thặng Dư tại mỗi cực đó. B3. Tính Tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2 i .  (11.4) vẫn đúng nếu f(z) thỏa các Điều kiện sau: i. f(z) giải tích trong P : Imz 0, trừ ở một số hữu hạn cực zk không nằm trên trục thực Im(z) > 0. ii. zf(z) Hội tụ đều về zero khi z trong P . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 289
  29. 11.3 Tìm biến đổi Fourier: Gọi f(x) = hàm như trong 11.2 1. Định nghĩa: ° Biến đổi Fourier côsin của f(x) là:  {f ( x )} F ( a ) f ( x )cosa xdx (11.5) CC ° Biến đổi Fourier sin của f(x) là:  {()}f x F () a f ()sina x xdx (11.6) SS 2. Cách tính: n iaz FC (a) i F S (a) 2 i Res{ e f(z); zk } (Imz k 0) (11.7) k 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 291
  30. VD 11.3.1: Tính tích phân Fourier cos x Dùng thặng dư, tính tích phân: I 2 dx (x 1)  Thỏa đk hội tụ. Các cực ở nửa trên mp phức: z1 = i. iz Tính thặng dư tại z1 của (z) = e .f(z) : ei ( i ) e 1 Res{f(z),z1 } 2(i) 2i cos x e 1 Cuối cùng: I 2 dx Re{2 i } x 1 2i e Dễ thấy: sin x e 1 I 2 dx Im{2 i } 0 s x 1 2i Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 293
  31. 1. Tích phân Laplace ngược: (tiếp theo) ° Ngược lại, nếu F(s) là một Hàm biến phức có một số hữu hạn ĐBT s1, , sn thì BĐ Laplace Ngược của F(s) được cho bởi Tích Phân Laplace Ngược (H11.3b). a i 1 1 st  {F(s)} f(t) F(s)e ds (11.9) 2 i a i ! Tích phân Đường Phức được lấy dọc theo Đường Thẳng Đứng  = a nằm về phía phải của tất cả các ĐBT s1, , sn của hàm F(s). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 295
  32.  Ba bước tìm Laplace ngược bằng thặng dư: B1. Tìm các zero s1, s2, , sn của Q(s). Đó chính là cực của F(s). st B2. Tìm Res{F(s).e ; sk} = fk(t). B3. Tính Tổng : n (11.11) f(t)  fk (t) k 1 ! fk(t) là Thành Phần thứ k của f(t); sở hữu bởi sk. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 297
  33. Chương 12: Phép biến đổi bảo giác 12.1 Biểu diễn hình học của hàm biến phức. 12.2 Phép biến đổi w = z2 và w = zn. 12.3 Phép biến đổi w = ez . 12.4 Phép biến đổi bảo giác. 12.5 Phép biến đổi Mobius. 12.6 Phép biến đổi Mobius biến (z1, z2, z3) thành (w1, w2, w3). 12.7 Biến nửa mặt phẳng trên thành đĩa đơn vị. 12.8 Tìm phép biến đổi biến thành ’. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 299
  34. VD 12.1.1: Biểu diễn hình học của hàm phức Tìm ảnh của các điểm A(z = – 2 + i) và B(z = 3 + 4i) thông qua phép biến đổi w = 2iz + 3 ? Minh họa trên mặt phẳng phức ? Điểm A(z = -2 + i) A’(w = 2i(-2 + i) + 3 = 1 – 4i ) Điểm B(z = 3 + 4i) B’(w = 2i(3 + 4i) + 3 = – 5 + 6i ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 301
  35. 1. Khảo sát trong Tọa Độ Vuông Góc (H12.2 và 12.3): (tiếp theo) H12.3(a) H12.3(b) 2 2 ' . Họ Hypebôn Dc: x – y = c  Họ Đường Tọa Độ Dc : u c ' . Họ Hypebôn k: 2xy = k  Họ Đường Tọa Độ k : v k C'' vaø D ,  c   k c  k với mọi c và mọi k. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 303
  36. 2. Khảo sát trong Tọa Độ cực (H12.4): (t.theo) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 305
  37. VD 12.2.2: Phép biến đổi w = z2 Tìm ảnh của đường y = b thông qua phép biến đổi w = z2 ? Minh họa trên mặt phẳng phức ?  Thế z = x + ib vào w = z2 → u = x2 – b2 ; v = 2xb  Có: u + b2 = v2/4b2 → u = v2/(4b2) – b2  Ảnh của đường y = b là parabôn. Minh họa trên mặt phẳng phức: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 307
  38. 12.3 Phép biến đổi w = ez (tiếp theo) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 309
  39. VD 12.3.2: Phép biến đổi w = ez Tìm ảnh của hình chữ nhật ABCD (0,5i, 1 + 0,5i, 1 + i, i) thông qua phép biến đổi w = ez ? Biểu diễn trên mặt phẳng phức ?  Theo tính chất phép biến đổi ez: . x = 0 ĐT |w| = e0 = 1. . x = 1 |w| = e1 = e. . y = 0,5 Tia arg(w) = 0,5. . y = 1 Tia arg(w) = 1.  Biểu diễn trên mặt phẳng phức: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 311
  40. 2. Biến đổi của chiều dài, góc và diện tích vi phân: H12.7(a) H12.7(b) Tại 1 điểm thường z0 của phép biến đổi w = f(z), đặt: iArgf' (z0 ) i f(z)f(z)e''0 0 ke(k0; ) (12.4)  . Chiều dài của Vectơ VP dz được nhân cho k: d = kdr.  . Góc của Vectơ VP dz được cộng với :  =  + . 2 2 . Diện tích của VP dS quanh z0 được nhân cho k : dS’ = k dS. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 313
  41. 12.5 Phép biến đổi Mobius (song tt, psố tt): 1. Định nghĩa: Đó là họ Phép biến đổi az b w f(z) (ad bc 0) (12.6) cz d 2. Ba phép biến đổi Mobius sơ cấp: w = T(z) = z + z0 (12.7) w = S(z) = z (12.8) 1 w I(z) (12.9) z  Phép biến đổi Mobiüs là Hàm Hợp của nhiều Phép biến đổi sơ cấp. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 315
  42. 4. Phép biến đổi w = S(z) = µz : (H12.10) ° z rei ;  ke i ; w e i  ! kr;   (12.11) ° Điểm z có TĐC (r, ). ° Điểm w1 có TĐC (kr, ) . ° Điểm w có TĐC (kr,  + ). H12.10 ! H(O,k) R(O, ) z w1  w  Điểm w suy từ Điểm z bằng tích của Hai PBĐ Điểm: i. Phép vị tự H(O, k) biền Điểm z thành Điểm w1. ii. Phép Quay R(O, ) biến Điểm w1 thành Điểm w.  Điểm z biến thành Điểm w qua Phép Đồng Dạng S(O, k, ). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 317
  43. 5. Phép nghịch đảo đ/v một vòng tròn: (H12.11)  = Vòng Tròn tâm O, bán kính a. Trên tia OP, lấy P' sao cho: OP.OP' a2 (12.15) . P' là Điểm biến đổi của P qua Phép Nghịch Đảo I(O, a) đối với . H12.11  Các Điểm P0 trên  là các Điểm Bất Động của Phép Nghịch Đảo.  Đường Thẳng không qua O Vòng Tròn qua O.  Vòng Tròn qua O Đường Thẳng không qua O.  Đường Thẳng qua O Đường Thẳng qua O.  Vòng Tròn không qua O Vòng Tròn không qua O. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 319
  44. 6. Phép Biến Đổi w = 1/z : (tiếp theo)  Trong phép biến đổi w = 1/z. . Đường Thẳng không qua O Vòng Tròn qua O. . Vòng Tròn qua O Đường Thẳng không qua O. . Đường Thẳng qua O Đường Thẳng qua O. . Vòng Tròn không qua O Vòng Tròn không qua O.  Chứng Minh: Nếu A, B, D thỏa (12.12) thì Đường Biến Đổi C’ của vòng tròn C (12.13) sẽ có phương trình: (D D)ww Bw Bw (A A) 0 (12.17) Vậy C' cũng là một Vòng Tròn. (Nếu AA = 0 thì C là “Đường Thẳng”. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 321
  45.  VD 12.5.2: Phép Biến Đổi song tuyến tính Tìm ảnh của đường tròn |z| = 2 thông qua phép biến đổi song tuyến tính w = (z – i)/(z + i) ? Minh họa trên mặt phẳng phức ?  Từ phép biến đổi, ta có: z = (iw + i)/(1 – w)  Ảnh của đường tròn |z| = 2 trên mặt phẳng w : iw i v i(u 1) 2|(1 u) iv| v2 (1 u) 2 4[(1 u) 2 v 2 ] 1 w 2 2 2 2 2 10 52 4 u v 3 u 1 0 u 3 v 3 Ảnh cũng là đường tròn . Ta còn thấy miền |z| < 2 tương ứng miền bên ngoài đường tròn trên mp w nhờ điểm thử z = 0. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 323
  46. VD 12.6.1: BĐ Mobius biến 3 điểm thành 3 điểm Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến 3 điểm z = – 1, 0, 1 lần lượt thành ba điểm w = 0 ,i ,3i .  Dùng công thức (12.20) ta có: 0 i 3i w 1 0 1 z 0 w 3i i 1 z 1 0 3 iw 1 z Hay: 2iw 1 z  Giải theo w, ta có: z 1 w 3i z 3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 325
  47. 3. Phép Biến Đổi M(z) : (H12.14) i z w M(z) (12.23) i z H12.14(a) H12.14(b) x 0 1 NMPT: ĐĐV: y 0 0  2 0 x 0 1 GPT I: NĐTĐV: 0 y 0  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 327
  48. 12.8 Tìm Phép Biến Đổi biến thành ’: 1. Biến Hình quạt vô hạn thành Đĩa đơn vị: (H12.16) H12.16(a) H12.16(b) H12.16(c) 0 r 0 1 HQVH: ĐĐV: ' 0  / 4 0  2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 329
  49. 2. Biến Hình quạt hữu hạn thành Nửa mặt phẳng: 0 r 1 0 HQHH: NMPT: ' 0  /3 0  H12.17 w w2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 331