Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 1: Hàm giải tích

Nội dung text: Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 1: Hàm giải tích

1. CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH §1. SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH 1. Dạng đại số của số phức: Ta gọi số phức là một biểu thức dạng (x + jy) trong đó x và y là các số thực và j là đơn vị ảo. Các số x và y là phần thực và phần ảo của số phức. Ta thường kí hiệu: z = x + jy x = Rez = Re(x + jy) y = Imz = Im(x + jy) Tập hợp các số phức được kí hiệu là C. Vậy: C = { z = x + jy | x ∈ R , y ∈ R} trong đó R là tập hợp các số thực. Nếu y = 0 ta có z = x, nghĩa là số thực là trường hợp riêng của số phức với phần ảo bằng 0. Nếu x = 0 ta z = jy và đó là một số thuần ảo. Số phức z = x − jy được gọi là số phức liên hợp của z = x + jy. Vậy Re(z) = Re(z) , Im(z) = − Im(z) , z = z . Số phức -z = -x - jy là số phức đối của z = x + jy. Hai số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2 gọi là bằng nhau nếu x1 = x2 và y1 = y2. 2. Các phép tính về số phức: a. Phép cộng: Cho hai số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Ta gọi số phức z = (x1 + x2 ) + j(y1 + jy2 ) là tổng của hai số phức z1 và z2. Phép cộng có các tính chất sau: z1 + z2 = z2 + z1 (giao hoán) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 (kết hợp) b. Phép trừ: Cho 2 số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Ta gọi số phức z = (x1 - x2 ) + j(y1 - jy2 ) là hiệu của hai số phức z1 và z2. c. Phép nhân: Cho 2 số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Ta gọi số phức z = z1.z2 = (x1x2-y1y2) + j(x1y2 + x2y1) là tích của hai số phức z1 và z2. Phép nhân có các tính chất sau: z1,z2 = z2.z1 (tính giao hoán) (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) (tính kết hợp) z1(z2 + z3) = z1.z2 + z2.z3 (tính phân bố) (-1.z) = -z z.0 = 0. z = 0 j.j = -1 d. Phép chia: Cho 2 số phức z1 = x1 + jy1 và z2 = x2 + jy2. Nếu z2 ≠ 0 thì tồn tại một số phức z = x + jy sao cho z.z2 = z1. Số phức: 1
2. n n-1 P(z) = a0z + a1z + ⋅⋅⋅+ an thì P(z) = P(z) Thật vậy ta thấy là số phức liên hợp của tổng bằng tổng các số phức liên hợp của từng số hạng, số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp của từng thừa số. Do vậy: n−k n−k a k z = a k .z Do đó: n n n n−k n−k n−k P(z) = ∑a k z = ∑∑a k z = a k z = P(z) k=0 k==0 k 0 Từ kết quả này suy ra nếu đa thức P(z) có các hệ số thực và nếu α là một nghiệm phức của nó tức P(α) = 0 thì α cũng là nghiệm của nó, tức P( α ) = 0. 3. Biểu diễn hình học: Cho số phức z = x + jy. Trong mặt phẳng xOy ta xác định điểm M(x,y) gọi là toạ vị của số phức z. Ngược lại cho điểm M trong mặt phẳng, ta biết toạ độ (x,y) và lập được số phức z = x + jy. Do đó ta gọi xOy là mặt phẳng phức. Ta cũng có thể biểu diễn số phức bằng một vec tơ tự do có toạ độ là (x,y). 4. Mođun và argumen của số phức z: Số phức z có toạ vị là M. Ta gọi độ dài r của vec tơ OM là mođun của z và kí hiệu là z . Góc ϕ xác định sai khác 2kπ được gọi là argumen của z và kí hiệu là Argz: r = z = OM y M r Argz = Ox,OM = ϕ + 2kπ ( ) ϕ đặc biệt, trị số của Argz nằm giữa -π và π gọi là giá O x trị chính của Argz và kí hiệu là argz. Trường hợp z = 0 thì Argz không xác định. Giữa phần thực, phần ảo, mođun và argumen có liên hệ: x = rcosϕ y = rsinϕ r = x 2 + y2 y tgϕ = x ⎧ y acrtg khi x > 0 ⎪ x ⎪ ⎪ y arg z = ⎨π + acrtg khi x < 0,y ≥ 0 ⎪ x ⎪ y ⎪− π + acrtg khi x < 0,y < 0 ⎩ x Với x = 0 từ định nghĩa ta có: 3
3. hay Azz + Ez + Ez + D = 0 6. Dạng lượng giác của số phức: Nếu biểu diễn số phức z theo r và ϕ ta có: z = x + jy = r(cosϕ + jsinϕ) Đây là dạng lượng giác số phức z. Ví dụ: z = -2 = 2(cosπ + jsinπ ) Các phép nhân chia dùng số phức dưới dạng lượng giác rất tiên lợi. Ta có: z1 = r1()cosϕ + jsin ϕ z2 = r2 ()cosψ + jsin ψ z = z1.z2 = r1r2 []cos()ϕ + ψ + jsin ()ϕ + ψ z r z = 1 = 1 []cos()ϕ − ψ + jsin ()ϕ − ψ z2 r2 Áp dụng công thức trên để tính tích n thừa số z, tức là zn. ta có: [r(cosϕ + jsinϕ)]n = rn(cosnϕ + jsinnϕ) Đặc biệt khi r = 1 ta có công thức Moivre: (cosϕ + jsinϕ)n = (cosnϕ + jsinnϕ) Thay ϕ bằng -ϕ ta có: (cosϕ - jsinϕ)n = (cosnϕ - jsinnϕ) Ví dụ: Tính các tổng: s = cosϕ + cos2ϕ + ⋅⋅⋅+ cosnϕ t = sinϕ + sin2ϕ + ⋅⋅⋅ + sinnϕ Ta có jt = jsinϕ + jsin2ϕ + ⋅⋅⋅ + jsinnϕ Đặt z = cosϕ + jsinϕ và theo công thức Moivre ta có: s + jt = z + z2 + ⋅⋅⋅ + zn Vế phải là một cấp số nhân gồm n số, số hạng đầu tiên là z và công bội là z. Do đó ta có: zn − 1 zn+1 − z cos(n + 1)ϕ + jsin(n + 1)ϕ − cos ϕ − jsin ϕ s + jt = z = = z − 1 z − 1 cos ϕ + jsin ϕ − 1 []cos(n + 1)ϕ − cos ϕ + j[sin(n + 1)ϕ − sin ϕ] = (cos ϕ − 1) + jsin ϕ []cos(n + 1)ϕ − cos ϕ + j[sin(n + 1)ϕ − sin ϕ] (cos ϕ − 1) − jsin ϕ = . (cos ϕ − 1) + jsin ϕ (cos ϕ − 1) − jsin ϕ Như vậy: cos(n +1)ϕ.cosϕ − cos2 ϕ − cos(n +1)ϕ + cosϕ + sin(n +1)ϕ.sin ϕ − sin 2 ϕ s = Re(s + jt) = (cosϕ −1)2 + sin 2 ϕ cos(n +1)ϕ.cosϕ + sin(n +1)ϕ.sin ϕ − cos(n +1)ϕ + cosϕ −1 = 2 − 2cosϕ cosϕ − cos(n +1)ϕ + cos nϕ −1 = 2(1− cosϕ) 5
4. - dựng tại z đường vuông với Oz và cắt đường tròn đơn vị tại s - vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại s và cắt Oz tại t. 1 - do ∆Ozs & ∆Ost đồng dạng nên ta có | t |= | z | - lấy w đối xứng với t. Trường hợp | z | > 1 ta vẽ như hình b: - vẽ đường tròn đơn vị và z - từ z vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại s - dựng tại s đường vuông với Oz cắt Oz tại t 1 - do Ozs và Ost đồng dạng nên ta có | t |= | z | - lấy w đối xứng với t. t z s s z t O w w a b 8. Dạng mũ của số phức: Nhờ công thức Euler e jϕ = cosϕ + jsin ϕ ta có thể biểu diễn số phức dưới dạng số mũ: z = rejϕ = | z |ejArgz 3π −j Ví dụ z = −1− j = 2e 4 Biểu diễn số phức dưới dạng mũ rất tiện lợi khi cần nhân hay chia các số phức: jϕ jα z1 = r1e z2 = r2e j(ϕ+α) z1z2 = r1r2e z r 1 = 1 e j(ϕ−α) z2 r2 9. Mặt cầu Rieman: Ta xét một mặt cầu S tâm (0, 0, 0.5), bán kính 0.5 (tiếp xúc với mặt phẳng xOy tại O). Mặt phẳng xOy là mặt phẳng phức z với Ox là trục thực và Oy là trục ảo. Đoạn thẳng nối điểm z = x + jy có toạ vị là N của mặt phẳng phức với điểm P(0, 0, 1) của mặt cầu cắt mặt cầu tại điểm M(a, b, c). Ta gọi M là hình chiếu 7
5. Ví dụ: Xét tập E là hình tròn | z | 1 là điểm ngoài của E. c. Miền: Ta gọi miền trên mặt phẳng phức là tập hợp G có các tính chất sau: - G là tập mở, nghĩa là chỉ có các điểm trong. - G là tập liên thông, nghĩa là qua hai điểm tuỳ ý thuộc G, bao giờ cũng có thể nói chúng bằng một đường cong liên tục nằm gọn trong G. Tập G, thêm những điểm biên gọi là tập kín và kí hiệu là G . Miền G gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình trong bán kính R chứa G ở bên trong. a b c Trên hình a là miền đơn liên, hình b là miền nhị liên và hình c là miền tam liên. Hướng dương trên biên L của miền là hướng mà khi đi trên L theo hướng đó thì phần của miền G kề với người đó luôn nằm bên trái. π π Ví dụ 1: Vẽ miền -1 Mọi điểm nằm bên phải đường thẳng x = -1 đều thoả mãn Rez > -1. Ngược lại mọi điểm z có phần thực lớn hơn -1 đều nằm bên phải đường thẳng x = -1. Vậy miền Rez > -1 là nửa mặt phẳng phức gạch chéo trên hình vẽ. 9
6. Ví dụ 3: Cho hàm w = x 2 − y + j(x + y2 ) . Hãy biểu diễn w theo z = x + jy và z = x - jy z + z z − z Vì x = và y = nên: 2 2j 2 2 ⎛ z + z ⎞ j ⎡z + z ⎛ z − z ⎞ ⎤ w= ⎜ ⎟ − ()z − z + j⎢ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎣⎢ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ Rút gọn ta có: 1 1 w = (1− j)(z2 + z2 ) + (1+ j)zz + jz 4 2 Ví dụ 4: Cho w = x2 - y2 + 2jxy. Hãy biểu diễn w theo z 2 2 ⎛ z + z ⎞ 2 ⎛ z − z ⎞ ⎛ z + z ⎞⎛ z − z ⎞ Ta có: w = ⎜ ⎟ + j ⎜ ⎟ + 2j⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2j ⎠ 2 2 2 2 ⎛ z + z ⎞ ⎛ z − z ⎞ ⎛ z + z ⎞⎛ z − z ⎞ z + z z − z 2 Hay: w = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟⎜ ⎟ = + = z ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 2 2 3. Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức: Để biểu diễn hình học một hàm biến số thực ta vẽ đồ thị của hàm số đó. Để mô tả hình học một hàm biến số phức ta không thể dùng phương pháp đồ thị nữa mà phải làm như sau: Cho hàm biến phức w = f(z), z∈E. Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z) và uOv (mặt phẳng w). Ví mỗi điểm z0∈E ta có một điểm w0 = f(z0) trong mặt phẳng w. Cho nên về mặt hình học, hàm w = f(z0 xác định một phép biến hình từ mặt phẳng z sang mặt phẳng w. Điểm w0 được gọi là ảnh của z0 và z0 là nghịch ảnh của w0. Cho đường cong L có phương trình tham số x = x(t), y = y(t). Ảnh của L qua phép biến hình w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng w có toạ độ: u = u[x(t), y(t)] (3) v = v[x(t), y(t)] Thông thường thì ảnh của đường cong L là đường cong Γ có phương trình tham số (3) Muốn được phương trình quan hệ trực tiếp giữa u và v ta khử t trong (3). Muốn tìm ảnh của một miền G ta coi nó được quét bởi họ đường cong L.Ta tìm ảnh Γ của L. Khi L quét nên miền G thì Γ quét nên miền ∆ là ảnh của G. 4. Các hàm biến phức thường gặp: a. Ví dụ 1: Hàm w = kz (k > 0) jϕ jθ jϕ Đặt z = re , w = ρe = kre . Ta có ρ = kr, θ = ϕ + 2kπ . Vậy đây là một phép co dãn hay phép đồng dạng với hệ số k 11
7. f. Ví dụ 6: w = | z |. z jϕ jθ 2 Đặt z = re , w = ρe ta có: ρ = r ; θ = ϕ + 2kπ. Miền D = {z: 0 0 được biến thnàh nửa mặt phẳng phức Imw > 0. g. Ví dụ 7: w = 3 z jϕ jθ 3 Với z ≠ 0 thì w có 3 giá trị khác nhau. Đặt z = re , w = ρe ta có: ρ = r ; ϕ 2kπ ⎧ π⎫ θk = + . Miền D = {z: 0 0 cho trước, luôn luôn tồn tại δ > 0 để khi | z - zo | 0 cho trước, luôn luôn tồn tại R > 0 để khi | z | > R thì | f(z) - A | 0 cho trước lớn tuỳ ý, luôn luôn tồn tại δ > 0 để khi | z - zo | M. Ta kí hiệu: lim f(z) = ∞ z→zo d. Định nghĩa 4: Ta nói hàm w = f(z) dần ra vô cùng khi z dần ra vô cùng, nếu khi | z | → +∞ thì | f(z) | → +∞. Nói khác đi, với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý, luôn luôn tồn tại R > 0 để khi | z | > R thì | f(z) | > M. Ta kí hiệu: limf(z) = ∞ z→∞ 13