Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 2: Phép biến hình bảo giác và các hàm sơ cấp cơ bản

Nội dung text: Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 2: Phép biến hình bảo giác và các hàm sơ cấp cơ bản

1. CHƯƠNG 2: PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN §1. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN HÌNH BẢO GIÁC 1. Phép biến hình bảo giác: a. Định nghĩa: Một phép biến hình được gọi là bảo giác tại z nếu nó có các tính chất: - Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kì đi qua điểm z (kể cả độ lớn và hướng) - Có hệ số co dãn không đổi tại điểm đó, nghĩa là mọi đường cong đi qua z đều có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình. Nếu phép biến hình là bảo giác tại mọi điểm của miền G thì nó được gọi là bảo giác trong miền G. b. Phép biến hình thực hiện bởi hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích trong miền G. Do ý nghĩa hình học của f’(z) ta thấy rằng phép biến hình được thực hiện bởi hàm w = f(z) là bảo giác tại mọi điểm mà f’(z) ≠ 0. Nếu chỉ xét trong một lân cận nhỏ của điểm z, thì phép biến hình bảo giác là một phép đồng dạng do tính chất bảo toàn góc. Các góc tương ứng trong hai hình là bằng nhau. Mặt khác nếu xem hệ số co dãn là không đổi thì tỉ số giữa hai cạnh tương ứng là không đổi. Ngược lại người ta chứng minh được rằng phép biến hình w = f(z) đơn diệp là bảo giác trong miền G thì hàm w = f(z) giải tích trong G và có đạo hàm f’(z) ≠ 0. 2. Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f(z) giải tích trong hình tròn | z | < R và f(0) = 0. Nếu | z) | ≤ M với mọi z mà | z | < R thì ta có: M f (z) ≤ z , |z |< R R Me jα Trong đó đẳng thức xảy ra tại z1 với 0 < | z | < R chỉ khi f (z) = z , α thực. R 3. Nguyên lí đối xứng: Trước hết ta thừa nhận một tính chất đặc biệt của hàm biến phức mà hàm biến số thực không có, đó là tính duy nhất, được phát biểu như sau: Giả sử hai hàm f(z) và g(z) cùng giải tích trong miền D và thoả mãn f(z) = g(z) trên một cung L nào đó nằm trong D, khi đó f(z) = g(z) trên toàn miền D. Giả sử D1 và D2 nằm kề nhau và có biên chung là L y v D1 B z w 1 L x T u O O B2 D2 23
2. y y C x O1 C 2 A B 1 O 3 7 x B1 Vì các tam giác ABC và O1B1C1 đồng dạng nên phép biến hình được thực hiện bằng một hàm bậc nhất w = az + b. Phép biến hình này có thể phân tích thành các phép biến hình liên tiếp sau đây: * phép tịnh tiến từ A về gốc, xác định bằng vec tơ (-3 - 2j). Phép tịnh tiến này được xác định bởi hàm ζ = z - (3 + 2j) π π −j * phép quay quanh gốc một góc − , ứng với hàm ω = ζe 2 2 O B 2 1 * phép co dãn tâm O, hệ số k = 1 1 = = , được thực hiên bằng hàm AB 4 2 1 w= ω 2 π 1 −j j 3 Vậy: w = e 2 (z − 3 − 2j) = − (z − 3 − 2j) = −jz + j−1 2 2 2 2. Phép nghịch đảo: a. Định nghĩa: Hai điểm A và B được gọi là đối xứng đối với đường tròn C’ tâm O, bán kính R nếu chúng cùng nằm trên một nửa đường thẳng xuất phát từ O và thoả mãn đẳng thức: OA.OB = R2 R 2 R ⎛ R ⎞ Dĩ nhiên, vì OB = = .R nên nếu OA 1⎟ thì OB > R. Ngược lại OA OA ⎝ OA ⎠ nếu OA > R thì OB < R. Nghĩa là trong hai điểm A và B thì một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn. Nếu A nằm trong đường tròn thì muốn được B kẻ đường AH ⊥ OA và sau đó vẽ tiếp tuyến HB. H H B A O O B A 25
3. 1 Ta sẽ nêu ra cách tìm ảnh của một điểm z bất kì. Chú ý là hai điểm z và = w đối z 1 1 xứng nhau qua đường tròn đơn vị vì Arg = −Argz = Argz . Mặt khác z . =1. z z Vậy muốn được w, ta dựng w đối xứng với z qua đường tròn đơn vị rồi lấy đối xứng 1 qua trục thực. Nói khác đi, phép biến hình w = là tích của hai phép đối xứng: z * phép đối xứng qua đường tròn đơn vị * phép đối xứng qua trục thực 1 e. Tính chất của phép biến hình: )Phép biến hình w = biến: z * một đường tròn đi qua gốc toạ độ thành một đường thẳng * một đường tròn không đi qua gốc toạ độ thành một đường tròn * một đường thẳng đi qua gốc toạ độ thành một đương thẳng * một đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thành một đường tròn đi qua gốc toạ độ. Nếu coi đường thẳng là một đường tròn có bán kính vô hạn thì tính chất trên 1 được phát biểu gọn lại là: Phép biến hình w = biến một đường tròn thành một z đường tròn. Chứng minh: Xét đường cong C’ có phương trình: A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = 0 Trong đó A, B, C, D là những hằng số thực. Viết phương trình ấy dưới dạng phức ta có: Azz + Ez + Ez + D = 0 (1) Trong đó E = B - jC Nếu A ≠ 0, D = 0 thì C’ là đường tròn đi qua gốc toạ độ. Nếu A = 0 thì C’ là đường thẳng. Nếu A = D = 0 thì C’ là đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Ảnh của C’ qua phép 1 biến hình w = là đường cong L có phương trình: z 1 1 E E A . + + + D = 0 w w w w hay: Dww + Ew + Ew + A = 0 (2) Nếu D = 0 thì L là đường thẳng. Nếu D = A = 0 thì L là đường thẳng đi qua gốc toạ độ. Nếu A = 0 thì L là đường tròn đi qua gốc toạ độ. ) Giả sử z1 và z2 là hai điểm đối xứng với nhau qua đường tròn C’. Khi đó nếu 1 gọi w1 và w2 và L là ảnh của z1, z2 và C’ qua phép biến hình w = thì w1 và w2 đối z 1 xứng nhau qua C. Nói khác đi, phép biến hình w = bảo toàn tính đối xứng qua một z đường tròn. 27
4. d phẳng mở rộng z lên mặt phẳng mở rộng w. Mỗi điểm z ≠ − có ảnh là điểm c az + b − dw + b w = . Ngược lại, giải z theo w, ta được hàm ngược z = ; tức là mỗi cz + d cw − a a − dw + b d điểm w ≠ có nghịch ảnh là z = . Ảnh của điểm z = − là điểm w = ∞. c cw − a c a Ảnh của điểm z = ∞ là w= c ad − bc Vì w′ = nên phép biến hình phân tuyến tính bảo giác tại mọi điểm (cz + d)2 d z ≠ − và z ≠ ∞. Phân tích biểu thức của w ta được: c az + b acz + bc acz + ad + bc − ad a(cz + d) + bc − ad w = = = = cz + d c(cz + d) c(cz + d) c(cz + d) a bc − ad 1 = + . c c cz + d Từ đó suy ra phép biến hình phân tuyến tính là tích của 3 phép biến hình: ζ = cz + d phép biến hình tuyến tính 1 ω = phép nghịch đảo ζ bc − ad a w = .ω + phép biến hình tuyến tính c c Vì mỗi phép biến hình thành phần đều biến một đường tròn thành một đường tròn và bảo toàn tính đối xứng của 2 điểm đối với đường tròn nên phép biến hình phân tuyến tính cũng có các tính chất ấy. Phép biến hình phân tuyến tính tổng quát chứa 4 tham số a, b, c, d nhưng thực chất chỉ có 3 tham số là độc lập. Thật vậy, với giả thiết c ≠ 0, ta có: a b z + w = c c d z + c a b d Nếu ta đặt a = , b = , d = thì ta có: 1 c 1 c 1 c a z + b w = 1 1 z + d1 Vậy muốn phép biến hình phân tuyến tính hoàn toàn xác định, ta phải cho 3 điều kiện. Chẳng hạn ta có thể buộc nó biến 3 điểm cho trước z1, z2 và z3 lần lượt thành 3 điểm w1, w2 và w3. Khi đó các tham số a1, b1 và d1 là nghiệm của hệ: 29
5. 1 ⎛ 1 ⎞ 4. Phép biến hình Giucovski: Ta gọi hàm phức w= ⎜z + ⎟ là hàm Giucovski. 2 ⎝ z ⎠ hàm này có rất nhiều ứng dụng trong kĩ thuật. Nó có một điểm bất thường hữu hạn là 1 ⎛ 1 ⎞ z = 0. Đạo hàm của nó là w,′ = ⎜1− ⎟ w’ = 0 tại các điểm z = ±1. Vậy phép biến 2 ⎝ z2 ⎠ hình Giucovski bảo giác tại mọi điểm z hữu hạn khác với điểm O và ±1. Ta hãy tìm miền đơn diệp của hàm. Giả sử z1 ≠ z2 nhưng: 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜z1 + ⎟ = ⎜z2 + ⎟ hay ()z1 − z2 ⎜1− ⎟ = 0 (5) 2 ⎝ z1 ⎠ 2 ⎝ z2 ⎠ ⎝ z1z2 ⎠ Ta thấy rằng đẳng thức (5) xảy ra khi z1.z2 = 1. Vậy phép biến hình sẽ đơn diệp trong mọi miền không chứa hai điểm nghịch đảo của nhau. Chẳng hạn miền | z | 1 cũng là một miền đơn diệp khác. Ví dụ 1: Tìm ảnh của phép biến hình Giucovski của: * đường tròn | z | = h 0 < h < 1 * đoạn thẳng Argz = α, | z | < 1 * hình tròn đơn vị | z | < 1 * nửa mặt phẳng trên, nằm ngoài hình tròn đơn vị tâm O. • Ta đặt z = rejϕ. Hàm Giucovski được viết thành: 1 ⎛ jϕ 1 ⎞ 1 ⎡ 1 ⎤ w = u + jv = ⎜re + ⎟ = r(cosϕ + jsin ϕ) + (cosϕ − jsin ϕ) 2 ⎝ re jϕ ⎠ 2 ⎣⎢ r ⎦⎥ Tách phần thực và phần ảo ta có: 1 ⎛ 1 ⎞ u= ⎜r + ⎟cosϕ 2 ⎝ 2 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ v= ⎜r − ⎟sin ϕ 2 ⎝ 2 ⎠ Từ đó suy ra ảnh của đường tròn | z | = r = h có phương trình tham số là: ⎧ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎪u = ⎜h + ⎟cosϕ ⎪ 2 ⎝ h ⎠ ⎨ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎪v = ⎜h − ⎟sin ϕ = − ⎜ − h⎟sin ϕ ⎩⎪ 2 ⎝ h ⎠ 2 ⎝ h ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ Trong đó ϕ là tham số. Đó là một elip (γ), có tâm O và các bán trục a= ⎜h + ⎟ và 2 ⎝ h ⎠ 2 2 1 ⎛ 1 ⎞ 2 2 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ b= ⎜ − h⎟ , tiêu cự 2c = a − b = 2 ⎜h + ⎟ − ⎜h − ⎟ = 2 . Các tiêu điểm 2 ⎝ h ⎠ 4 ⎝ h ⎠ 4 ⎝ h ⎠ của elip là F1(-1, 0) và F2(1, 0). Khi ϕ biến thiên từ 0 đến 2π, điểm z chạy dọc đường tròn | z | = h theo hướng dương trong khi ảnh w tương ứng của nó chạy trên ellip theo hướng âm của mặt phẳng. 31
6. • Tương tự như ở câu đầu tiên ảnh của nửa đường tròn trên: r = h (h > 1) 0 0 xem hình vẽ). y v -1 O 1 x -1 O1 1 u Ví dụ 2: Tìm phép biến hình biến nửa hình đơn vị | z | = 1, Imz > 0 thành nửa mặt phẳng trên. Dễ thấy rằng phép biến hình phải tìm là hợp của hai phép: t = −z = e jπz 1 ⎛ 1⎞ w = ⎜ t + ⎟ 2 ⎝ t ⎠ 5. Hàm luỹ thừa w = zn: Ta xét hàm w = zn với n nguyên dương, lớn hơn hay bằng 2. Nếu z = r(cosα + jsinα) thì w = rn(cosnα + jsinnα). Vậy ảnh của tia Argz = α là tia Argw = nα nhận được bằng cách quay tia Argz = α quanh gốc toạ độ góc (n - 1)α. ảnh của đường tròn | z | = R là đường tròn | w | = Rn. Ảnh của mặt phẳng z là mặt phẳng w. Tuy nhiên phép biến hình từ mặt phẳng z lên mặt phẳng w không đơn diệp vì nếu hai 2π số phức z1 và z2 có cùng môđun và có argumen sai khác nhau một số nguyên lần n n n thì z1 = z2 . 33
7. Bây giờ ta giả thiết điểm z vạch nên đường cong kín C bao quanh gốc toạ độ một vòng theo hướng dương, xuất phát từ điểm zo. Trong trường hợp này, khi z chạy một vòng thì arumen của z tăng thêm 2π. Do vậy argumen của w tăng thêm 2π/n. Điểm w sẽ vạch nên một đường cong liên tục từ điểm wo tới ⎛ 2π 2π⎞ w1 = w o ⎜cos + jsin ⎟. Nghĩa là w đi từ giá trị wo của căn thức tới một giá trị ⎝ n n ⎠ khác của căn thức. Do đó điểm w chỉ trở về vị trí xuất phát sau khi z chạy n vòng trên C. Điều đó chứng tỏ rằng muốn tách được một hàm đơn trị liên tục từ hàm đa trị w = n z thì miền xác định E của hàm đơn trị này không được chứa bất kì một đường cong kín nào bao quanh gốc O. Muốn vậy ta có thể lấy E là mặt phẳng phức z cắt di một lát cắt γ từ gốc toạ độ ra ∞. Chẳng hạn, có thể chọn γ là nửa trục Ox dương. Khi đó các hàm đơn trị tách ra từ hàm đa trị w = n z , mà ta thường gọi là các nhánh đơn trị cuả hàm w = n z là những hàm biến phức biến E(mặt phẳng phức với lát cắt dọc theo nửa trục Ox dương) lên mỗi hình quạt: 2π 0 < arg z < n 2π 4π < arg z < n n LL Muốn chọn ra một nhánh xác định trong n nhánh trên ta có thể buộc nhánh này phải lấy một giá trị wo khi z = zo với wo là căn bậc n nào đó của zo. Mỗi nhánh đơn trị của hàm w = n z trong miền xác định E có đạo hàm: 1 1 1 1 −1 (n z)′ = = = z n (w n )′ nw n−1 n nên nó là hàm giải tích trong E. Nếu ta không dùng lát cắt γ thì không thể tách được các nhánh đơn trị vì khi điểm z vạch nên đường cong kín thì điểm w sẽ chuyển từ nhánh nọ sang nhánh kia. Vì vậy O còn được gọi là điểm rẽ nhánh của hàm đa trị w = n z . Ví dụ: Xét hàm đa trị w = 3 z 2π 4π Gọi Ot1 là tia Argw = ; Ot2 là tia Argw = . Những nhánh đơn trị của của hàm 3 3 w = 3 z là các phép biến hình đơn diệp, biến mặt phẳng phức z, bỏ đi lát cắt dọc theo nửa trục Ox dương lên mỗi góc uOt1, t1Ot2, t2Ou. ⎛ ϕ ϕ⎞ Nhánh w = 3 z = 3 r(cosϕ + jsin ϕ) = 3 r⎜cos + jsin ⎟ với 0 < ϕ < 2π biến ⎝ 3 3 ⎠ hai điểm A và B nằm lần lượt ở bờ trên và bờ dưới của lát cắt thành hai điểm A’ thuộc 2π tia argw = 0 và B’ thuộc tia arg w = . Điều đó chứng tỏ nửa trục Ox là đường gián 3 đoạn của nhánh này. 35
8. z1 z2 e = e = z2 = z1 + 2jkπ (5) z1 e z1−z2 2 jkπ vì: = e =1= e và z1 - z2 = 2jkπ ez1 d. Công thức Euler: Trong (1), cho x = 0 ta có công thức Euler: e jy = cosy + jsin y (6) Thay y bằng -y ta có: e− jy = cosy − jsin y (7) Nhờ có công thức Euler mà số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) viết được dưới dạng mũ z = rejϕ. Ta có: z = r(cosϕ + jsinϕ) = rejϕ Ví dụ: 1 = cos0 + jsin0 = ej0 π π π j j = cos + jsin = e 2 2 2 π ⎛ π π ⎞ j 1+ j = 2⎜cos + jsin ⎟ = 2e 4 ⎝ 4 4 ⎠ 4 jarctg ⎡ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎤ 3 3 + 4j = 5⎢cos⎜arctg ⎟ + jsin⎜arctg ⎟⎥ = 5e ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ e2+3j = e2(cos3 + jsin3) e-2j = cos2 - jsin2 f. Tính giải tích của hàm w = ez: Hàm w = ez giải tích trong toàn bộ mặt phẳng vì ∀z, điều kiện C - R được thoả mãn: ∂ ∂ ()ex cos y = ()ex sin y ∂x ∂y ∂ ∂ ()ex cos y = − ()ex sin y ∂y ∂x ∂ ∂ w′(z) = ()ex cos y + j ()ex sin y ∂x ∂x z x g. Phép biến hình w = e : Vì | w | = e nên ảnh của đường thẳng x = C1 là C1 đường tròn w = e . Vì y là một giá trị của Argw, nên đường thẳng y = C2 có ảnh là tia Argw= C2. Khi C2 biến thiên từ 0 đến 2π (0 < C2 < 2π) thì đường y = C2 sẽ quét nên miền G là băng 0 < y < 2π. Ảnh của đường thẳng y = C2 là tia Argw = C2 sẽ quét nên miền ∆ là ảnh của G. Rõ ràng ∆ là mặt phẳng w, bỏ đi lát cắt dọc theo nửa trục thực u dương; bờ trên của lát cắt này ứng với đường y = 0, bờ dưới của lát cắt là ảnh của đường y = 2π. Phép biến hình từ băng G lên miền ∆ là một phép biến hình đơn diệp. Tương tự, phép biến hình w = ez cũng biến mọi băng 2kπ < y < 2(k+1)π( k nguyên), có chiều rộng k, lên miền ∆ nói trên. Phép biến hình w = ez biến cả mặt phẳng z lên mặt phẳng w, nhưng không đơn diệp. 37