Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 6: Phép biến đổi laplace

Nội dung text: Bài giảng Toán chuyên ngành điện - Chương 6: Phép biến đổi laplace

1. CHƯƠNG 6: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE §1. PHƯƠNG PHÁP CỦA PHÉP TÍNH TOÁN TỬ Cho hai tập hợp A và B. Một ánh xạ T cho ứng một phần tử của A với một phần tử xác định của B, kí hiệu là Tx, được gọi là một toán tử. Phần tử Tx được gọi là ảnh của x còn x được gọi là gốc của hay nghịch ảnh của Tx. Ví dụ: Nếu A = B = R thì toán tử T là một hàm số thực của biến số thực.  Nếu A là tập hợp các số thực dương và B = R. Ánh xạ cho mỗi số a A thành một số thực thuộc B là Ta = lna được gọi là toán tử logarit. Nhờ có toán tử loga mà phép nhân các gốc được chuyển thành phép cộng các ảnh: T(a1.a2) = Ta1 + Ta2 (1) Do đó muốn tính tích a1.a2, ta tìm ảnh của nó theo (1) sau đó dùng bảng logarit tra ngược lại  Cho A là tập hợp các hàm dao động hình sin có cùng tần số góc , B là tập hợp các hàm biến số thực t nhưng lấy giá trị phức. Cho ứng mỗi hàm v(t) = Vsin(t + ) A với một hàm Tv B theo công thức: Tv = V.ej(t + ) cũng là một toán tử. Nhờ toán tử này mà các phép tính đạo hàm và tích phân gốc được chuyển thành các phép tính đại số đối với ảnh. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu toán tử Laplace. Bài toán đặt ra là biết gốc, tìm ảnh toán tử Laplace của nó và ngược lại biết ảnh của một hàm, tìm lại gốc của nó. §2. ĐỊNH NGHĨA HÀM GỐC Ta gọi hàm f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: Hàm f(t) liên tục từng khúc khi t 0, nghĩa là nếu lấy một khoảng [a, b] bất kì trên nửa trục t 0, bao giờ cũng có thể chia nó thành một số hữu hạn các khoảng nhỏ sao cho trong mỗi khoảng nhỏ f(t) liên tục và tại mút của mỗi khoảng nhỏ nó có giới hạn một phía Khi t + , hàm f(t) tăng không nhanh hơn một hàm mũ, nghĩa là tồn tại một số M>0, so 0 sao cho: f (t) Mesot t 0 (2) trong đó so được gọi là chỉ số tăng của f(t) f(t) = 0 khi t < 0. Điều kiện này được đặt ra vì trong các ứng dụng thực tế t thường là thời gian. Ví dụ 1: Hàm: (t) 0 khit 0 1 khit 0 là hàm gốc. Thật vậy vì | (t) | 1 nên điều kiện 2 được thoả mãn nếu chọn M = 1, s0 = 0; dễ dàng kiểm tra được điều kiện 1. Ví dụ 2: Hàm: 98
2. Trong nửa mặt phẳng Rep s1 với s1 bất kì lớn hơn so thì tích phân đó thừa nhận một tích phân trội hội tụ và không phụ thuộc tham số p: M pt (so s)t (so s1 )t (5) f (t).e dt M t.e dt M t.e dt 2 0 0 0 s1 so Vậy theo định lý Weierstrass, tích phân hội tụ đều đối với p trong miền đó vµ là đạo hàm của F(p). Tóm lại: F (p) te pt f (t)dt (6) 0 §4. ĐỊNH NGHĨA TOÁN TỬ LAPLACE Toán tử Laplace, còn gọi là phép biến đổi Laplace. Nếu f(t) là một hàm gốc thì hàm F(p) được xác định bằng tích phân (3) là một hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Rep>so. Ta gọi nó là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace của f(t) và kí hiệu: F(p) = L{ f(t) } hay f(t) = F(p). Ta có: L f (t) e pt f (t)dt (7) 0 Chú ý:  Các điều kiện trong định nghĩa hàm gốc f(t) chỉ là điều kiện đủ để ảnh tồn 1 tại chứ không phải là điều kiện cần. Chẳng hạn hàm f (t) không phải là hàm gốc t 1 1 vì lim . Tuy vậy tích phân e pt dt vẫn tồn tại t 0 t 0 t Không phải mọi hàm phức F(p) đều có nghịch ảnh là một hàm gốc. Chẳng hạn F(p) = p2 không thể là ảnh của một hàm gốc nào cả vì lim F(p) . Điều này mâu thuẫn p với kết luận của định lí 1. Nếu F(p) giải tích tại thì F(p) 0 khi p một cách bất kì chứ không phải chỉ trong trường hợp p sao cho Rep . Ví dụ 1: Tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace (gọi tắt là ảnh) của hàm (t): (t) 0 khit 0 1 khit 0 e pt 1 e (s j)t 1 e st e jt L f (t) F(p) e pt dt 0 p 0 p p 0 p p 0 Nếu Rep = s > 0 thì khi t , e-st 0; khi t 0, e-st 1. Vậy: 1 F(p) = (8) p Ví dụ 2: Tìm ảnh của hàm f(t) = eat trong đó a = + j = const e(a p)t Ta có F(p) eat e pt dt e(a p)tdt 0 0 a p 0 Khi t 0 thì e(a-p)t 1. Nếu Rep>Rea (s> ) thì khi t , e(a-p)t = e( -s)tej( )t 0. Vậy: 100
3. 1 1 ejat = ; e jat  p ja p ja Sử dụng tính chất tuyến tính ta được: 1 1 1 a sin at  (11) 2 2 2 j p ja p ja p a 1 1 1 a L sin at  2 2 2 j p ja p ja p a e jat e jat 1 1 Tương tự cosat e jat e jat 2 2 2 1 1 1 p cosat  (12) 2 2 2 p ja p ja p a Ví dụ 2: Tìm ảnh của ch(at) và sh(at) eat e at 1 1 chat eat e at 2 2 2 eat e at 1 1 shat eat e at 2 2 2 1 1 1 p chat  (13) 2 2 2 p a p a p a 1 1 1 a shat  (14) 2 2 2 p a p a p a Ví dụ 3: Tìm ảnh của sin(t + ) và cos(t + ) Ta có sin(t + ) = sintcos + sin cost. Do tính chất tuyến tính: p  psin cos sin(t )  sin cos p2 2 p2 2 p2 2 pcos sin Tương tự: cos(t )  s p2 2 Ví dụ 4: Tìm ảnh của sin3t 1 Ta có: sin 3 t 3sin t sin 3t 4 3 1 3 3 3 1 1 Vậy: sin t  2 2 2 2 4 p 1 p 9 4 p 1 p 9 2. Tính chất đẳng cấp: Nếu L{ f(t) } = F(p) thì L{ af(t) } = aF(p) 3. Tính chất đồng dạng: Giả sử  là một hằng số dương bất kì. Nếu f(t)  F(p) thì 1 p f (t)  F (15)   102
4. (t)f(t) (t-)f(t-) O t O  t Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: (t )f (t )  e pt (t )f (t )dt 0 Vì : (t ) 0 khi t  1 khi t  nên: (t )f (t )  e pt f (t )dt 0 Trong tích phân bên vế phải, đổi biến t1 = t -  ta được: pt p(t1 ) p pt1 p e f (t )dt e f (t1 )dt1 e e f (t1 )dt1 e F(p) 0 0 0 1 Ví dụ: ta biết hàm f(t) = e2t có ảnh là F(p) . Tìm ảnh của hàm f(t - 1) = e2(t - 1) p 2 Theo (17) ta có: e p f (t 1) e2(t 1)  p 2 b. Biểu diễn một hàm xung qua hàm (t):Ta gọi một hàm xung là hàm có dạng: 0 khi t a f (t) (t) khi a t b 0 khi t b Ta có thể viết: f(t) = (t - a) (t) - (t - b) (t) (18) Ví dụ 1: Tìm ảnh của hàm (t -) 1 Vì (t)  nên theo tính chất trễ thì: p 1 (t )  e p (19) p Ví dụ 2: Tìm ảnh của hàm xung đơn vị 0 khi t a f (t) 1 khi a t b 0 khi t b Theo (18) thì: f(t) = (t - a) - (t - b) Theo (19) thì: 104
5. Hàm f(t) được coi là tổng của hai hàm xung h1(t) và h2(t): 0 khi t 0 t 1 h1 (t) khi 0 t h h 0 khi t h O h t h (t) 0 khi t h 2 1 khi t h Theo (18) ta có: t t h (t) (t) (t h) 1 h h h 2 (t) (t h) t t t t h f (t) (t). (t h). (t h) (t) (t h). Vậy: h h h h 1 (t).t (t h).(t h) h Theo tính chất trễ ta có: 1 1 1 1 f (t) e hp 1 e hp 2 2 2 h p p hp §6. ẢNH CỦA MỘT HÀM TUẦN HOÀN Nếu f(t) là một hàm gốc, tuần hoàn với chu kì T, nghĩa là f(t) = f(t + T) t > 0 thì ảnh của nó được tính theo công thức: (p) F(p) (21) 1 e pT T Trong đó: (p) e pt f (t)dt là ảnh của hàm: 0 0 khi t 2 (t) f (t) khi 0 t T 0 khi t T Chứng minh: Theo định nghĩa ta có: T F(p) e pt f (t)dt e pt f (t)dt e pt f (t)dt 0 0 T Trong tích phân thứ ở vế phải, đổi biến t = u + T ta có: e pt f (t)dt e p(u T)f (u T)du e pT e pu f (u T)du T 0 0 Do tính chất tuần hoàn f(u + T) = f(u), nên: e pt f (t)dt e pT e puf (u)du e pT .F(p) T 0 Thay vào trên ta được: 106
6. e pt f (t)dt f (t)e pt p e pt f (t)dt f (t)e pt pF(p) o o 0 0 sot -pt (so s)t Do | f(t) | Me nên nếu Rep = s > so thì | f(t)e | Me 0 khi t .Vậy: f (t)e pt f (0) o Thay vào trên ta có: e pt f (t)dt pF(p) f (0) 0 2. Đạo hàm cấp cao: Nếu f(t) có đạo hàm tới cấp n và các đạo hàm này đều là hàm gốc thì bằng cách áp dụng liên tiếp (22) ta có: f(n)(t) = pnF(p) - pn-1f(0) - pn-2f’(0) -  - f(n-1)(0) (23) 3. Hệ quả: Nếu f(t) là hàm gốc và pF(p) giải tích tại thì: lim pF(p) f (0) (24) p §8. TÍCH PHÂN GỐC t Nếu f(t)  F(p) thì f (t)dt là một hàm gốc và 0 t F(p) f (t)dt  (25) 0 p t Chứng minh: đặt (t) f (t)dt . Rõ ràng (0) = 0 Hàm (t) có đạo hàm là hàm f(t) 0 liên tục từng khúc. Bởi vì: t t M t (t) f (t) dt Mesot dt esot M esot 0 1 0 0 so nên (t) là một hàm gốc cùng chỉ số tăng với f(t). Gọi (p) là ảnh của nó. Ta phải tìm (p). Vì ’(t) = f(t) nên theo công thức đạo hàm gốc ta có: f(t)  p(p) - (0) Vậy F(p) = p(p) hay F(p) (p) p §9. ĐẠO HÀM ẢNH Nếu f(t)  F(p) thì: 108