Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 1: Chuổi Fourier - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 1: Chuổi Fourier - Hoàng Minh Trí

1. Chương 1: Chuổi Fourier 1.1 Hàm tuần hoàn. 1.2 Chuổi Fourier của hàm tuần hoàn. 1.3 Công thức lặp tính hệ số chuổi Fourier. 1.4 Tính đối xứng của hàm. 1.5 Khai triển bán kỳ. 1.6 A numerical method. 1.7 Các dạng khác của chuổi Fourier. 1.8 Ứng dụng của chuổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1
2. Mô tả toán học cho tín hiệu tuần hoàn: a) Giữa t = 0 và t = 4: f(t) = 3, tức là f(t) = 3 0 < t < 4 . b) Giữa t = 4 và t = 6: f(t) = 0, tức là f(t) = 0 4 < t < 6 . 3 0 t 4 f(t) Nên ta có thể định nghĩa hàm: 0 4 t 6 f(t) f(t 6) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. VD1.1.2: Mô tả toán học cho tín hiệu ? Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. 1.2 Chuổi Fourier của một hàm tuần hoàn  Chuổi Fourier của một hàm tuần hoàn f(t), chu kỳT là: 1 f(t) a a cos(nω t) b sin(nω t) (1.2) 2 0 n 0 n 0  n 1 Vôùi : n = 1,2  0 = 2 /T = taàn soá cô baûn ỗ a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chu i Fourier . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. Tính chất hội tụ: . Định lý1.1 : (Định lý Dirichlet) Nếu hàm f(t) tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet thì chuổi Fourier của f(t) sẽ hội tụ về : ● f(t) nếu f liên tục tại t. + - ● ½[f(tk ) + f(tk )] nếu f gián đoạn tại t. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. VD1.2.1: Tìm chuổi Fourier a) Xác định chuổi Fourier ? b) Kiểm lại dùng MATLAB ? Giải Chu kỳ và tần số cơ bản: Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2, Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. 1.3 Tính đối xứng của hàm: a) Haøm chaün f(t) = f(-t) : Tín hieäu nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng. 4 T /2 4 T /2 a f() t dt a f( t )cos( n t ) dt bn 0 0 n 0 T 0 T 0 (1.6a) (1.6b) (1.6c) Định lý 1.7: Nếu f là hàm tuần hoàn chẵn, thỏa điều kiện Dirichlet thì chuổi Fourier của nó có dạng: f(t) 1 a a cos(nω t) 2 0 n 0 (1.6d) n1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8. c) Hàm đối xứng nửa sóng:  Haøm ñoái xöùng nöûa soùng : f(t) = - f(t T/2 ) :  TP DC : a0 0 (1.11a)  Khi n chaün : abnn 0 (1.11b)  Khi leû : 4 T /2 a f( t )cos( n t ) dt n 0 (1.11c) T 0 Examples of signals with half-wave symmetry 4 T /2 b f( t )sin( n t ) dt n 0 (1.11d) T 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. e) Đối xứng nửa sóng và lẻ (Quarter-wave): odd an 0; n 0,1,2, T0 4 2 half - wave symmetry bn f (t)sin n0t dt for n odd T0 0 bn 0 for n odd 8 T /4 b f( t )sin( n t ) dt (n:odd) (1.13) n 0 T 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. f) Khi hàm không có tính đối xứng : f2) Dịch theo t: g(t) f(t) = g(t – T0/4) Fourier Series of g(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. Ví duï1.3.1: Xaùc ñònh tính đối xứng ? Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12. VD1.3.2: Chuổi Fourier cho tín hiệu đối xứng Cho hàm f(t) định nghĩa bởi : f(t) = t + ( – < t < ) và f(t) = f(t + 2 ). Xác định chuổi Fourier biểu diễn cho f(t) ? Giải ππ 4 2 tcos(nω t) sin(nω t) 2 b tsin(nω t)dt 00 cos(nπ) n02n ω (nω )2 n 0 0000  Chuổi Fourier của g(t): g(t)  bn sin(nt) n1 cos(n )  Chuổi Fourier của f(t): f(t) 2 sin(nt) n1 n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. Ví duï1.3.4: Xaùc ñònh chuoãi Fourier a = 0 ; a = 0 3a) 0 n 2(-1)n bn = n 12 a = 3 ; a = sin(n /2) 3b) 0 n n bn = 0 4 a = 0 ; a = sin(n /2) 0 n n 3c) 4 b = (1- cos(n /2)) n n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. Ví duï1.3.6: Xaùc ñònh chuoãi Fourier a) b) c) d) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. a) Các bước tìm chuổi Fourier côsin: f ( t ) ( L t 0) i. Xây dựng hàm F(t) f (t ) (0 t L ) tuần hoàn F(t): F(t ) F( t 2 L ) f(t) F(t) A A 0 L -L 0 L ii. Xác định các hệ số: 2 L 2 L a f(t)dt a f(t)cos(nω t)dt 0  0 / L n0 L 0 L 0 iii. Viết chuổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16. VD1.4.1: Khai triển bán kỳ Cho hàm f(t) định nghĩa bởi : f(t) = t + 3 ( 0 < t < 2). Xác định chuổi Fourier sin biểu diễn cho f(t) ? Giải  Thiết lập hàm lẻ và cxá định: 2 bn = nπ (3 5cosn )  Do đó chuổi Fourier sin: 16 π 2 π 16 π 1 π f(t) π sin( 2 t) π sin(2 2 t) 3π sin(3 2 t) π sin(4 2 t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17. 1.5 Công thức lặp tính hệ số chuổi Fourier 1.5.1 Bước nhảy của một hàm:  Định nghĩa 1.3: + - Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk ) – f(tk ) (1.6) 1.5.2 Hai công thức lặp để tính hệ số chuổi Fourier: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
18. Định lý1.3 : Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: m 11' (1.8) bn a n J k cos(nω 0 t k ) nω0 nπ  k1 ( n = 1, 2, ) ( an’ = hệ số chuổi Fourier của hàm f’) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
19. 1.5.3 Tốc độ tiến về0 của các hệ số chuổi Fourier  Định lý1.4 : 1. Khi n , các hệ số an và bn trong chuổi Fourier của hàm tuần hoàn f thỏa điều kiện Dirichlet tiến đến 0 ít nhất cũng nhanh như c/n, với c = hằng số không phụ thuộc n. 2. Nếu trong 1), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, không thể 0 nhanh hơn c/n. 3. Nếu f, f’, , f(k) thỏa điều kiện Dirichlet và liên tục khắp nơi thì k+2 an và bn 0 ít nhất cũng nhanh như c/n . 4. Nếu trong 3), f gián đoạn trong [a, a + T) thì an hoặc bn, và thường là cả hai, không thể 0 nhanh hơn c/nk+2. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
20. VD1.5.1: Tìm chuổi Fourier = công thức lặp f(t) Xác định các hệ số chuổi Fourier dùng 10 công thức lặp ? 0 2 Giải  Xác định f’(t), tk và Jk: f(t) t t = 0 t = f’(t) 10 k 1 2 T T Jk 10 – 10 0 2 0 2 t1 t2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
21. 1.6 Phương pháp số tìm an vàb n : a) Giới thiệu:  Không phải lúc nào cũng có dạng tường minh hàm f(t).  Tìm chuổi Fourier khi f(t) cho dạng bảng số hay đồ thị. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
22.  Ex 1.6.1: The numerical method Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
23.  Compute a2 and b2: k 0tk f(tk) cos(20tk) sin(20tk) f(tk) cos(20tk) f(tk) sin(20tk) 1 30o 62 0.5 0.866 31 53.69 2 60o 35 - 0.5 0.866 - 17.5 30.31 3 90o - 38 - 1 0 38 0 4 120o - 64 - 0.5 - 0.866 32 55.42 5 150o - 63 0.5 - 0.866 - 31.5 54.56 6 180o - 52 1 0 - 52 0 7 210o - 28 0.5 0.866 - 14 - 24.25 8 240o 24 - 0.5 0.866 - 12 20.78 9 270o 80 - 1 0 - 80 0 10 300o 96 - 0.5 - 0.866 - 48 - 83.14 11 330o 90 0.5 - 0.866 45 - 77.94 12 360o 70 1 0 70 0 a2= (2/12)∑(col) = - b2= (2/12)∑(col) = 4.91 6.5 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
24. 1.7.2 Chuổi Fourier dạng sóng hài:  Từ chuổi Fourier dạng mũ phức: 1 inω0 t inω 0 t inω 0 t inω 0 t f(t) cc0  ce n  ce n 0  ce n ce n n 11 n n f(t) c0  2 c n cos nω 0 t  c n n 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47
25.  Ý nghĩa củachuổ i Fourier hài: . Khai triểndạ ng sóng hài côsin của chuổi Fourier: f(t) A0 A 1 cos(ω 0 t 1 ) A 2 cos(2ω 0 t 2 ) Ak cos(kω 0 t k ) i. Tín hiệu tuần hoàn = tín hiệu DC + các tín hiệu AC có tần số là bội số của tần số cơ bản (gọi là hài). ii. Giải bài toán tác động tuần hoàn = bài toán xếp chồng. iii. Tạo tín hiệu tuần hoàn = lấy tổng các tín hiệu cơ bản (nguyên lý chế tạo của function generator). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49
26. VD1.7.1: Các dạng khác của chuổi Fourier Xác định chuổi Fourier dạng mũ phức biểu diễn cho v(t) ? Giải  Xác định các thông số: T 6  0 3 1 2  Tính các hệ số: C v( t ) dt 2 0 6 2 4 1nπ 1 nπ 2 nπ 11 i t i t i t C v(t).e inωt0 dt 4 e3 dt 2 e 3 dt 4 e 3 dt n 66 2 2 1 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51
27. VD1.7.2: Các dạng khác của chuổi Fourier a: b: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53
28.  Trị hiệu dụng chính xác: . Trị hiệu dụng (RMS value) của hàm tuần hoàn f(t) được định nghĩa: T F 1 f2 (t)dt RMS T 0 . Giá trị hiệu dụng tính trực tiếp theo công thức trên trên dạng tín hiệu được xem là giá trị chính xác (exact value). . Giá trị hiệu dụng tính theo chuổi Fourier hài lấy đến hài thứ k được xem là giá trị xấp xỉ (estimate value). . Sai số của việc tính giá trị hiệu dụng theo chuổi Fourier hài: error estimate exact 100% exact Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55
29.  Phổbiên độ một phía: Cosine expansion f( t ) A00  Ann cos( n t ) (2) n 1  Phoå bieân ñoä : bieåu dieãn An theo n .  Phoå pha : bieåu dieãn n theo n . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 57
30.  Ex 1.8.2: Frequency Spectra Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 59
31.  Ex 1.8.4: Frequency Spectra ? 1 T /2 C f(t)e jnωt0 dt n T T /2 sin(n / 5) C2 n n /5 0, sin(n / 5) 0 n 0 180 , sin(n / 5) 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 61
32.  Ex 1.8.5: Using MATLAB plot(t,yce); % plot truncated exponential FS xlabel('t (seconds)'); ylabel('y(t)'); ttle = ['Truncated Exponential Fourier Series with N = ',num2str(N)]; title(ttle); hold; % Compute yt, the Fourier Series in trigonometric form yt = c0*ones(size(t)); % initialize yt to c0 for n = 1:2:N, % loop over series index n (odd) cn = 2/(j*n*wo); % Fourier Series Coefficient yt = yt + 2*abs(cn)*cos(n*wo*t+angle(cn));% Fourier Series computation end subplot(2,1,2) plot([-3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3], % plot original y(t) [-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1], ':'); hold; % plot truncated trigonometric FS plot(t,yt); xlabel('t (seconds)'); ylabel('y(t)'); ttle = ['Truncated Trigonometric Fourier Series with N = ',num2str(N)]; title(ttle); hold; Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 63
33.  Ex 1.8.5: Using MATLAB % Draw the phase spectrum from exponential Fourier Series subplot(2,1,2) stem(0,angle(c0)*180/pi); % plot angle of c0 at nwo = 0 hold; for n = -N:2:N, % loop over odd series index n cn = 2/(j*n*wo); % Fourier Series Coefficient stem(n*wo,angle(cn)*180/pi); % plot |cn| vs nwo end for n = -N+1:2:N-1, % loop over even series index n cn = 0; % Fourier Series Coefficient stem(n*wo,angle(cn)*180/pi); % plot |cn| vs nwo end xlabel('w (rad/s)') ylabel('angle(cn) (degrees)') ttle = ['Phase Spectrum with N = ',num2str(N)]; title(ttle); grid; hold; Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 65
34. Examples: Frequency Spectra ? VD1.8.7: Find Fourier series VD1.8.8: and RMS value ? (Ans: T= ; DC= – 2; RMS = 11.02 ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 67
35. b) Qui trình giải bài toán: Step1: Xác định chuổi Fourier dạng mũ phức của x(t): jnωt0 xt( )  Xn e n Step2: Xác định hàm truyền của mô hình: Y( ) H(jω) X( ) (n) n Thay : any = an(j) Y() hay đưa mạch sang miền . Step3: Xác định chuổi Fourier dạng mũ phức của y(t): jnωt0 yt( )  Xn0 H(jnω ).e n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69
36.  VD1.8.9: Đáp ứng của nguồn tuần hoàn Tìm y(t) là nghiệm của PTVP: y’’ + y = x(t) biết x(t) là tín hiệu tuần hoàn: x(t) = 100 (0 < t < 2) & x(t) = 0 (2 < t < 4) ? π jn t Step1: Ta có  = /2 và: xt( ) 5050(1 cosn ) e 2 0  jnπ n ,0 Step2: Hàm truyền: H(jω) 1 1 4 1 ω2 1 (n /2) 2 4 n 2 π 2 Step3: Tìm y(t): yt( ) 50200(1 cosn ) e jnπt/2 Y00 X H(ω 0) 50  jnπ(4 n22 π ) n ,0 Chuổi hài: y( t ) 50 400(1 cosn ) cos n t 900  nπ(4 n22 π ) 2 n 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 71
37. Quizzes: Fourier Series
38. Quiz1: Encircle the correct answer Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 75