Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 10: Lý thuyết thặng dư (Residue Theory) - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 10: Lý thuyết thặng dư (Residue Theory) - Hoàng Minh Trí

1. Chapter 10: Lý thuyết thặng dư (Residue Theory)
2. 10.1 Điểm bất thường vàphân loại 1. Điểm bất thường cô lập (isolated singularity) (H10.1):  Điểm z = a gọi là Điểm bất thường z2 cô lập của f(z) nếu: f(z) không giải tích R2 tại z = a nhưng f(z) giải tích trong miền lân cận của z = a. z=a (H10.1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. 2. Phân loại điểm bất thường cô lập: . Nếu z = a là điểm bất thường cô lập, f(z) được khai triển thành chuổi Laurent quanh z = a như sau: aa m1 n f(z)   aa(za)o 1  a(za) n  (10.1) (z a)m za . Phân loại điểm bất thường dựa trên dạng của 10.1. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. ● Tổng kết: z = a Chuổi Laurent trong miền 0 < |z – a| < R2 Điểm bất aa m1 n   ao a(za) 1  a(za) n  thường chủ yếu (z a)m za Điểm bất n thường bỏ được ao a(za) 1  a(za) n  Cực cấp m aa m1a (m 1)  ao1 a (z  a) (z a)m (z a) m 1 za Cực đơn a 1 a a(za)  a(za) n  za o 1 n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. VD 10.2.1 Tìm điểm zero của hàm phức (z 1)  Tìm zeros của hàm phức: f (z) (z 2)(z 3)2 . Theo định nghĩa ta có z = 1: zero đơn của f(z). . Trong kỹ thuật không xét zero tại z = . Có thể có vô số zero hay không có zero nào. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. VD 10.2.2 Tìm điểm cực của hàm phức  Xác định các cực của hàm phức dùng Casio và biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức: f (z) (z 1) z42 (1 i)z i 1) Dùng Casio giải Phương trình bậc 2 hệ số phức: . Gán A = 1 (1 Shift-STO-A); B = -(1+i); C = i . . Ấn ALPHA gọi biến để tính = B2 – 4AC cho vào Ans. Arg(Ans) . Tính sqrt( ): | Ans | Và cho vào biến D. 2 . Z21 = (-B + D)/2A và Z22 = (-B – D)/2A và ghi lại 2 nghiệm này. 2) Tính căn bậc 2 hai nghiệm phức trên ta có4 điểm cực. . Tính sqrt(Z21) như trên và nghiệm thứ 2 nhân 1180o. z 1, 1, 1 i , 1 i . Kết quả 4 điểm cực: 22 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. VD 10.2.4: MATLAB và các cực Dùng MATLAB, vẽ hàm tại cực: | f (z) | 1 z(z 2)2 %plot for f(z) x = linspace(-3,3,200); y = linspace(-1,1,200); [X,Y]=meshgrid(x,y); z = X+i*Y; f = z.*(z-2).^2; f = 1./f; f = abs(f); mesh(X,Y,f); AXIS([-1 3.5 -1 1 0 10]); view(10,15); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8. VD 10.3.1 Tìm thặng dư dùng chuổi Laurent Khai triển Laurent hàm f(z) = 1/[(z–1)2(z–3)] tại lân cận z = 1 và suy ra thặng dư tại đó Res{f(z), 1} ? a–1 f(z) 1/ 2 1/ 4 1 z 1 (z 1)2 (z 1) 8 16 1 Res{f(z),1} 4 Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại z0 : làPP tổng quát.  Thặng dư của f(z) tại điểm bất thường bỏ được thì bằng 0 . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. 10.4 Tính thặng dư tại cực: a)Tính thặng dư tại cực đơn z0 : a Chuổi Laurent: 1 f(z) a0 a 1 (z z 0 ) (z z0 ) Res{f(z),z}0 a 1 lim f(z)(z z 0 ) zz 0 P(z) Nếu f(z) có dạng: f(z) Q(z) , thì thặng dư tại cực đơn tính dễ dàng theo công thức: P(z0 ) Res{f (z),z0 } Q'(z0 ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. b) Tính thặng dư tại cực cấp m :  Giả sử z0 là cực cấp m của f(z), chuổi Laurent: aa m1 f(z) m a0 a 1 (z z 0 ) (z z0 ) (z z0 ) m m 1 m (z z)f(z)0 a m a(z 1 z) 0 a(z 0 z) 0 m1 d (z z )m f (z) [(m 1)!]a [m!]a (z z ) dzm1 0 1 0 0  Vậy: m 1 m 1 d f (z)(z z0 ) Res{f (z),z0 } lim m1 (m 1)!zz 0 dz  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11.  VD 10.4.2: Tính thặng dư tại cực cấp m Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12.  Using Function: resid2rhit(b,a) 2 VD 10.4.4: Xác định các cực và tính f(z) z 2z thặng dư tại cực của f(z): (z 1)22 (z 4) % Tinh residues of B(z)/A(z) Poles: % = (z^2 - 2z)/(z+1)^2(z^2+4) -1.0000 b = [1 -2 0]; -1.0000 a1 = [1 2 1]; -0.0000 - 2.0000i -0.0000 + 2.0000i a2 = [1 0 4]; Residues: a = conv(a1,a2); 0.6000 [res,poles,mk,nail,thumb]=resid2rhit(b,a); -0.5600 disp(‘Poles:'); disp(poles); 0.2800 - 0.0400i disp('Residues:'); disp(res); 0.2800 + 0.0400i (Ans: -1 ; 2j ; – 2j ; Res -0.56 ; 0.28 + j0.04 ;0.28 – j0.04 ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13.  VD 10.4.6: Calculate Residue Find the residues at the poles of f(z) 1 ? (z 1)2 (z 3) i. z = 3 : cực đơn, ta dùng: 11 Res{f (z),3} lim{(z 3)f (z)} lim 2 z 3 z 3 (z 1) 4 ii. z = 1 : cực cấp 2, ta dùng: 1 d2 1 (z 1) 2 1 1 Res{f (z),1} lim2 1 2 lim 2 z 1 (2 1)!dz (z1)(z3) z 1 (z3) 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14.  VD 10.4.8: Calculate Residue 2 a) Res{z ,2} z2 4 b) Res{z1 , j2} 11 z42 24j z c) Res{e , j} j (cos1 jsin1) z12 2 z d) Res{ e ,0} 1 z3 2 e) Res{1 , j} j3 (z23 1) 16 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. VD 10.5.1: Residue Theorem Compute (5z 2) dz = ? C (z 2)(z 4) a) C: |z| = 1. b) C: |z| = 3. c) C: |z| = 5. a) Không có điểm bất thường nào nằm bên trong C. b) Chỉ có điểm z1 = 2 nằm bên trong C. c) Có hai điểm z1 = 2 và z2 = 4 nằm bên trong C. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16. VD 10.5.2: (tiếp theo) Tính 1 2 dz , biết C : C (z 1) (z 2) (i) |z| = 0,5 (ii) |z| = 3 (iii) |z – 1| = 0,5 (iv) |z – 2| = 3. . Hàm f(z) có cực đơn: z = 2 và cực cấp 2: z = 1. 1 d2 d 1 1 Res{f (z),1} lim (z 1) f (z) lim lim2 1 (21)! z 1 dz z 1 dz(z2) z 1 (z 2) (z 2) Res{f (z),2} lim2 1 z2 (z 2)(z 1) iii. f(z) có cực z = 1 bên trong C(1: ½) : f (z)dz 2 j.[( 1)] 2 j C iv. f(z) có các cực z = 1 & z = 2 bên trong C(2: 3) : f (z)dz 2 j.[(1) ( 1)] 0 C Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31