Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dư - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dư - Hoàng Minh Trí

1. Chapter 11: Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
2. 11.1 Tính các tích phân thực đặc biệt: 2 a)Tích phân dạng 1: F(cos ,sin  )d  0 Với hàm F(cos, sin) = Phân thức hữu tỉ của cos và sin )  Đặt z = ej, ta có sin = (z – z–1)/2j ; cos = (z + z–1)/2; cos2 = (z2 + z–2)/2; và dz = jzd. 2 1 1 1 1 F(cos ,sin  )d  F(z z , z z ) dz f (z)dz 0 |z| 12 j2 jz |z| 1 2 n F(cos ,sin  )d  2 j Res{f (z),z } 0  k k1 (zk = Các cực bên trong vòng tròn đơn vị) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. VD 11.1.1: Tính tích phân thực dạng 1 2 Tính : I d 0 24  8cos dz z2 1 d jz & cos  2z I dz dz j dz z12 j[24z4z4] 2 4 [z6z1] 2 CCCjz[24 4 ] z I j1 2 j 4 4 2 8 2 (Điểm: z 3 2 2 nằm bên ngoài đường tròn đơn vị) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. b) Tích phân thực dạng 2: f (x)dx y  Xét chu tuyến (C) là biên nửa X CR đường tròn ở nửa trên mp phức: X z2 X z1 z x  Theo tính chất tích phân phức: 3 – R R R f (z)dz f (x)dx f (z)dz C R CR  Cho R ∞ ta có: f (z)dz f (x)dx lim f (z)dz C R CR Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5.  Các bước tính tích phân dạng 2: B1. Viết f(z) và chỉ ra các cực zk của f(z) có Phần ảo Im(zk) > 0. B2. Tính Thặng Dư tại mỗi cực đó. B3. Tính Tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2 j . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. VD 11.1.3: Verify Using MATLAB 2 x Script File: ex11_5.m Tính : I 4 dx 1x clear variables; syms x ; % poles in upper half-plane fx = x^2/(x^4 + 1); n = 1; poles = []; residues = []; ans = int(fx,-inf,inf); for m=1:length(p) disp('Gia tri tinh truc tiep:'); value = p(m); disp(vpa(ans,5)); if (imag(value) > 0) % Tinh tich phan dung thang du poles(n) = p(m); b = [1 0 0 ]; a = [1 0 0 0 1]; residues(n) = r(m); n = n+1; [r,p] = residue(b,a); end end Gia tri tinh truc tiep: % Tinh tong thang du va nhan 2pi*j 2.2214 SumRes = sum(residues); Gia tri tinh dung thang du: ans = real(2*pi*i*SumRes); 2.2214 - 0.0000i disp('Gia tri tinh dung thang du:'); disp(ans); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. VD 11.1.5: Ứng dụng tính năng lượng –2t Cho R = 3, L = 1H và vin = 4e u(t) V. Tính: a) Biến đổi Fourier của tín hiệu vào và ra ? b) Năng lượng của tín hiệu vào và ra ? a) Biến đổi Fourier: 4 4.j V()in  2j  V()out  (2 j  )(3 j  ) b) Tính năng lượng dùng định lýParseval: 1 16 1 16 E 2 d  2 j 4 (J) in 2 ( 4) 2 2.j2 1 162 1 (j2) (j3) E 2 2 d  2 j 2 2 out 22 ( 4)(  9) [4(j2) 26] [4(j3) 26] j2 j3 E j 0,1 (J) E = 4 – 0,1 (J) out 10 10 R Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8.  Tính tích phân dạng 3 (tiếp theo):  Bổ đề Lemma: Nếu a > 0 và f(z) = y P(z)/Q(z) là Hàm hữu tỷ thỏa mãn: bậc P X CR X z2 (bậc Q – 1) và Q(z) không có nghiệm z X 1 z3 x thực thì: jaz lim [f (z).e ]dz 0 – R R R CR {f (x).[cos(ax) jsin(ax)]}dx 2 j Res  n  Và ta jaz f (x)cos(ax)dx Re  2 j Res{e f (z),zk }  CM được: k1 n jaz f (x)sin(ax)dx Im  2 j Res{e f (z),zk }  k1 (zk = các cực của f(z) ở nửa trên mặt phẳng phức) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. VD 11.1.5: Tính tích phân thực dạng 3 xsin x Tính : I 22 dx (x 1)(x 4)  Xác định các cực của f(z) = z/(z2 + 1)(z2 + 4) ở nửa trên của mặt phẳng phức là : z1 = j1 và z2 = j2.  Tính Res của f(z).ejaz tại các cực ở nửa trên mp phức : 1 Res{f (z).ejz ,z } j.e 1 1 [4(j)3 10(j)] 6e 2 Res{f (z).ejz ,z } j2.e 1 2 [4(j2)32 10(j2)] 6e xsin x 1 1 I 2 2 dx Im 2 j 2 2  e 1 (x1)(x4) 6e 6e 3e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. d) Chú ý: Nếu f(z) [dạng (b) và (c) ] có cực trên trục thực thìta dùng: nn f (z)dz 2 j Res{f (z),z } j Res{f (z),c} C k k 1 k 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. 11.2 Tính biến đổi Laplace ngược: cj  Dựa theo công thức: f(t) 1 F(s)est ds 2j cj   Chọn đường (C) ( tức là giá trị c) sao cho các (C) cực (pole) của F(s) nằm bên trái đường thẳng X Xs1 s Re(s) = c. 2 X s3  c  Dùng định lý thặng dư ta có tích phân: cj F(s)est ds 2 j Res{F(s)e st ,pole) cj  f (t)  Res{F(s)est ,pole) (Khi t > 0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12. VD 11.2.1: Tính biến đổi Laplace ngược 1 Tìm f(t) biết: F(s) s42  Có 2 cực phức đơn : s = ± j2. st ej2t Residue{F(s)e , j2} 2 j2 st e j2t Residue{F(s)e , j2} 2( j2) c+j j2t j2t F(s)est ds (enclosed Residues) e e sin(2t) c-j  j4 2 1 sin(2t) {F(s)} 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. VD 11.2.3: Dùng Res cho nghiệm thực bội 1 Tìm f(t) biết: F(s) (s 4)(s 2)2  Có 1 cực thực , đơn : s = – 4 và thực kép s = – 2. 4t 4t Residue{F(s)est , 4} ee ( 4 2)2 4 st 1 d est te st (s 4) e st Residue{F(s)e , 2} lim lim 2 1!s 2 ds (s 4)  s 2 (s 4)  test e st te 2t e 2t (s 4) 2 2 4 (s 4) s2 e 4t te 2t e 2t f (t) 4 2 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. ii. Khi t 0. f (t) j Res{F(  )e ,pole) – j: khi t < 0. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. VD 11.3.1: Biến đổi Fourier ngược 11 Tìm f(t) biết: F( ) 2 j5  6 ( j 2)( j  3) B1. Các điểm cực của F() : 1 = j2 ; 2 = j3. j( j2) t 2t B2. Tính Res{ } : Res{F( )ejt , j2} lim e (  j2) e  j2 ( j 2)( j  3) j j( j3) t 3t Res{F( )ejt , j3} lim e (  j3) e  j3 ( j 2)( j  3) j B3. Tính tổng: ee 2t 3t 3t 2t .Khi t > 0 : f(t) j{jj } e e .Khi t < 0 : f(t) = 0 do không có cực ở nửa dưới mp phức. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16. VD 11.3.2: Biến đổi Fourier ngược (tiếp theo) 1 Tìm f(t) biết: F( ) (4 22 )(9  ) B3. Tính tổng: .Khi t > 0 : e 2t e 3t 1 2t 1 3t f(t) j{j20 j30 } 20 e 30 e .Khi t < 0 : e2t e 3t 12t 1 3t f(t) j{ j20 j30 } 20 e 30 e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17. VD 11.3.4: Dùng biến đổi Fourier ngược Cho R = 12, L = 2H, C = 0,1F, dùng biến đổi Fourier tìm uC(t) biết e(t) = et khi t 0 ?  Chuyển mạch sang miền  và tính E() :  Xác định UC():  Dùng biến đổi Fourier ngược dùng thặng dư: jt jt Res{UC().e , j1} = Res{UC().e , – j1} = jt Res{UC().e , j5} =  Khi t 0: uC(t) = Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33