Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 12: Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping) - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 12: Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping) - Hoàng Minh Trí

1. Chapter 12: Ánh xạ bảo giác (Conformal Mapping)
2. 12.1 Ánh xạhay phép biến đổi : 1. Khái niệm:  Hàm phức w = f(z) xác định một phép biến đổi giữa một điểm hay miền D trên mp z và một điểm hay miền D’ (gọi là ảnh) trên mp w. z-plane v w-plane y z1 y1 0 u D D’ w1 = f(z1) 0 x1 x Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. VD 12.1.1: Ảnh của một điểm Tìm ảnh của các điểm A (z = – 2 + j) và B (z = 3 + j4) trên mặt phẳng w dưới phép biến đổi w = j2z + 3 và minh họa bằng hình vẽ. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4.  Lưu ý: Tìm ảnh của miền giữa các biên i. Đoạn A’B’ có thể được xác định khi ta tìm thấy ảnh K’ (của điểm K trong đoạn AB) nằm trong đoạn A’B’. K’ K ii. Ảnh của miền D được xác định khi ta dùng điểm thử và xác định vị trí ảnh của nó : nằm bên trong hay bên ngoài D’. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5.  VD 12.1.4: Ảnh của đĩa hở( miền) Tìm ảnh của đĩa hở D = {z: |z – 1| 1/2 . Ảnh của D là nửa mặt v phẳng u > 1/2. y x u 1 2 1/2 D’ D . NX: Ảnh của một miền D thay đổi theo phép biến đổi. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. 12.2 Ánh xạ bảo giác (Conformal mapping): 1. Ý tưởng dùng ánh xạ bảo giác trong kỹ thuật: 22  Giả sử cần tìm (x,y) là nghiệm ptrình   0 Laplace trong miền D. xy22  Sự phức tạp do dạng miền D không đối xứng. Do đó người ta dùng ánh xạ bảo giác để chuyển việc giải (x, y) ở D về giải tìm (u, v) ở D’ đơn giản hơn, sau đó suy ngược lại hàm (x,y).  Nếu phép biến đổi w = f(z) là bảo giác thì hàm (u, v) ở D’ cũng là nghiệm của ptrình Laplace: 22     0 uv22  Chúng ta nên lựa chọn phép biến đổi bảo giác f(z) để D’ đơn giản, có thể giải ptrình Laplace dễ dàng theo một biến tọa độ. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7.  Nhận xét vềPP ánh xạ bảo giác: i. So với lời giải từ PP tách biến (cùng trên bài toán 2D) thường ở dạng chuổi, thì đáp số của PP ánh xạ bảo giác có tính “trực quan” hơn. ii. Giá trị = const trên biên của miền D cũng là giá trị  = const trên biên ảnh của miền D’. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8. 3. Một số phép biến đổi bảo giác đơn giản: a) Phép biến đổi tuyến tính w = Az + B:  Là bảo giác với mọi z nếu A ≠ 0.  Với A = ax + jay vàB = bx + jby ta có: u = axx – ayy + bx w = u + jv = (ax + jay)(x + jy) + (bx + jby) v = axy + ayx + by 2 2  Hệ số tỉ lệ: m = |dw/dz| = |A| = sqrt(ax + ay ) –1  Góc quay: α = arg(dw/dz) = tan (ay/ax)  Công dụng: Biến y v các dải ở mp z thành j2 w = (1+j)z 2 vuông góc các trục j 2 x 1 u tọa độ ở mp w. 1 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9.  Trường hợp đặc biệt: . Biến góc vuông và đường dây tích điện ℓ tại z0 thành đường 2 dây tích điện ℓ tại z1 = (z0) ở nửa mặt phẳng trên. y v ℓ ℓ 2 z wz 1 z0 u x . Biến góc giữa 2 tia thành nửa mặt phẳng. y v wz m /m u x Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. d) Phép biến đổi w = ez:  Là bảo giác với mọi z. R = ex  Do w = ez = e(x+jy) = ex.ejy  = y.  Biến đường x = a ở miền z thành đường tròn tâm O, R = ea ở miền w.  Biến đường thẳng y = b ở miền z thành tia qua tâm O  = b ở miền w.  Biến hình c.nhật ở mp z thành miền giữa 2 đường tròn và 2 tia ở mp w.  Biến nửa trái mp z thành bên trong đường tròn đơn vị ở miền w.  Ta thấy rõ tính bảo giác ở đây. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. 4. Giải Bài toán Electrostatic 2D:  Khi môi trường đặt dưới hiệu thế U, tìm thế điện (Electric Potential) trong môi trường là bài toán quan trọng nhất.  Bài toán đặt ra: Trong miền khảo sát 2D, cần tìm thế điện là hàm 2 biến (x, y) : thỏa phương trình Laplace và biết giá trị = A trên biên của miền D (còn gọi là bài toán biên Dirichlet). Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12.  VD 12.2.1: Bài toán Electrostatic 1D Tìm thế điện (x, y) giữa 2 bản cực tụ điện y = 0 phẳng, đặt đưới hiệu thế U = 1 – 2 biết thế 1 2 điện thỏa: 22 D   0 x xy22 1 2  Do tính đối xứng, ta có (x, y) = (x) : bài toán thế điện 1D. 2  Ta có:  0 Ax B x2 (x 1) A B 1 A 21  Từ điều kiện: (x 2) 2A B 2 B2 12  Thế điện có biểu thức: [ 2 1 ]x [2 1 2 ] Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13.  VD 12.2.2: Bài toán Electrostatic 2D (ttheo) y Tìm thế điện (x, y) giữa 2 bản cực tụ điện = 0 2 trụ, đặt đưới hiệu thế U = 1 – 2 biết thế 1 x điện thỏa: 22  a 22 0 xy D b v A.ln(a) B 1 D’  Từ điều kiện: 1 2 A.ln(b) B 2 u UU  ln(b/a)u 2 ln(b/a) ln(b) ln(a) ln(b)  Suy ra nghiệm ở miền D: UU ln(b/a)ln(r) 2 ln(b/a) ln(b) Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. VD12.2.4: Thế điện hệ trụ lệch trục = 100V Tìm phân bố thế điện trong miền giữa |z – = 50V 1| > 1 và |z – 2| < 2 như H1 ? C C 1  Hai đường tròn đi qua 1 điểm, ta dùng 2 x phép biến đổi w = 1/z và có H2 & ĐKB. 1 2 4  Giải Ptrình Laplace trong miền giữa C1’ H1 và C ’ ta có: 2 200u 150 (V) w 1 x y v = 100V  Từ nhá xạ: wj z x2 y 2 x 2 y 2 = 50V  Suy ra thế điện cần tìm ởH 1: 1/2 200x 1/4 u 0 150 22 (V) H2 C1’ C2’ xy Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. VD12.2.5: Dùng ánh xạ bảo giác y v  Tìm trong miền D  = = = =  = 0 = 0 50 10 giữa bản cực phẳng thế = 10V và bản cực trụ thế 10 = 50 50V trên hình a ? x u 0 1/2 1 0 1 D f(z) = 1/z D’  Ở miền D, rõ ràng thế (Hình a) (Hình b) điện = (x, y).  Dùng biến đổi bảo giác w = f(z) = 1/z biến miền D thành D’.  Ở miền D’, ta thấy  = (u). Giải  = 0 ta có:  = 40u + 10.  Trả lại miền D với : u = x/(x2 + y2) qua ánh xạ w = 1/z, ta có: = 40x/(x2 + y2) + 10. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16. VD12.2.6: MATLAB vẽphân bố thế Code chương trình vẽphân bố thế: %Vidu 12_2_1 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid(0:.1:5,0:.1:5); Z = 50*X.*Y - 50; [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:5:50]); %gia tri z tu 0 -> 50, buoc 5V colormap cool; Thế điện = 50 V Thế điện = 0 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17. VD12.3.1: Phép biến đổi song tuyến tính Tìm ảnh của các điểm: 0, 1+j, j và qua phép biến đổi song tuyến tính định nghĩa bởi: w = (2z + 1)/(z – j) ? 2.0 1 w1 T(0) 0j j 2.(1 j) 1 w2 T(1 j) (1 j) j 3 j2 2.( j) 1 w3 T(j) ( j) j 2.( ) 1 w4 T( ) ( ) j 2 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
18.  VD12.3.3: Phép biến đổi song tuyến tính Tìm ảnh của đường tròn |z| = 1 dưới phép biến đổi song tuyến tính w = (z + 2)/(z – 1) ? Suy ra ảnh của miền |z| < 1 ? w2  Phép biến đổi ngược: z w1  Với |z| = 1 ta có: w2 (u 2)2 v 2 (u 1) 2 v 2 w1 1 1 u 2 j mapping -1 1 -1/2 -j z-plane w-plane . Tìm ảnh miền trong, dùng điểm thử: w(z=0) = - 2: left u = -1/2. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
19. 2. Tỉ chéo: Định lý: Tồn tại duy nhất phép biến đổi song tuyến tính để biến 3 điểm z1, z2, z3 thành w1, w2, w3 theo công thức tỉ chéo: z z11z2 z 3 w w w 2 w 3 z z3 z 2 z 1 w w 3 w 2 w 1  Nếu z = : z z11 w w ww23 3 z2 z 1 w w 3 w 2 w 1 z z11zz23 w w  Nếu w3 = : z z3 z 2 z 1 w 2 w 1 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
20.  VD12.3.6: Phép biến đổi song tuyến tính Tìm phép biến đổi song tuyến tính biến đổi các điểm: 1, j, – 1 (trên đường tròn |z| = 1) thành các điểm: – 1, 0, 1 ? Tìm ảnh của đĩa |z| < 1 qua phép biến đổi này ? z 1 j 1 w 1 1 Dùng tỉ chéo: j(z 1) w 1 z 1 j 1 w 1 1 z 1 w 1 zj w jz 1 wj u j(v 1)  Phép biến đổi ngược: z z jw 1 ( v 1) ju | z | 1 u2 (v 1) 2 (v 1) 2 u 2 v0  Ảnh của đĩa là nửa trên mặt phẳng w. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
21. b) Dây dẫn bên ngoài mặt trụ nối đất:  Dùng tỉ chéo thiết lập biến đổi song tuyến tính đưa hệ dây dẫn bên ngoài mặt trụ không đối xứng về đối xứng. y v z w 1 1 ℓ u -1 1 ℓ a 0 a x -1 1 – 1 – 1 C C’ za  Ta có phép biến đổi song tuyến tính: (|a| > 1) w 1 az  Nếu mặt trụ dẫn có bán kính R, ta thêm phép biến đổi phía trước là: w1 = z/R . Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
22.  VD12.3.7: (tiếp theo) c) Tìm thế điện: Giải miền w: y v 11 x u ln ln ℓ ℓ 2  r |w| 0 -2 1 2 -1 1 2z 2 2 2x j2y Từ: C C’ w z 4 x 4 jy 22 Suy ra: 1ln (x 4) y 2 (2 2x)22 4y Code MATLAB và đồ thị: [X,Y] = meshgrid(-2.1:.03:2.1,-2.1:.03:2.1); Z = 0.5*log(((X-4).^2 + Y.^2)./((2 - 2*X).^2 + 4*Y.^2)); [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:0.1:10]); colormap cool; Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
23.  VD12.3.8: Ứng dụng bđổi song tuyến tính a) Tìm phép biến đổi đưa hệ về đối xứng (vẽ miền mới) ? b) Tìm thế điện  với ĐKB trong hình D ? v a) Dùng công thức ở12.3.4 với R = 1, có ánh xạ: =0 =1 z u w z2 Miền mới đối xứng: 0 1/2 b) Giải ptrình Laplace ở miền mới:  = 2u z x jy x22 2x y Do: w j z 2 x 2 jy (x 2)22 y 22  2 x 2x y (x 2)22 y Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
24. 5. Vài ánh xạsong tuyến tính thường dùng khác
25.  Mặt trụ2 là mặt phẳng tại x2: cho x1 = v y 2 (Nếu bk = r 1 1 ta thông qua x 2 u phép biến đổi – 1 0 1 x2 – 1 – R 0 R 1 w1 = z/r) za .Và có: 2 2 w a x22 (x 1) R x22 (x 1) az 1 .Phép biến đổi này thường dùng cho hệ : dây dẫn điện bk r, đặt cách đất độ cao h. y 2r Ta qui đổi: w1 = z/r và có x2 = h/r. h x Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49
26. VD12.3.5.1: Thế điện giữa 2 dây dẫn khác bk Tìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 = 110V mặt trụ như H1 ? = 0 x  Xem công thức phần 12.3.5 (Các phép -1 1 2 3 biến đổi song tuyến tính thường dùng) ta C2 H1 C1 tính được a và R : a = (7+2*sqrt(6))/5; R = 5 - 2*sqrt(6);. za = 0 = 110V Từ đó có ánh xạ: v w az 1 C1’ cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB. -1 u -R R 1 Giải bài toán đối xứng ởH 2, ta có: C2’ 110 110 H2 ln RlnR lnr ln R  lnR ln|w| Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51
27. VD12.3.5.1: MATLAB vẽphân bố thế Code chương trình vẽphân bố thế: %Vidu 12_3_5_1 - Ve ho duong cong Thế điện = 0 V [X,Y] = meshgrid(-1.2:.01:4,-2:.01:2); a = (7+2*sqrt(6))/5; R = 5 - 2*sqrt(6); Z = (110/log(R))*(log(R)-0.5*log(((X-a).^2 + Y.^2)./((a*X-1).^2 + a^2*Y.^2))); [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:110]); %gia tri z tu 0 -> 110, buoc 10V colormap cool; % End of program Thế điện = 90V Thế điện = 100V Thế điện = 110V Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53
28. VD12.3.5.2: (tiếp theo) = 0 = 110V Tìm phân bố thế điện trong miền giữa |z| 2/5 như H1 ? C 1 Từ nhá xạ: w z a (x a) jy -1 2/5 x az 1 (ax 1) jay 1 C2 Ta cóphân bố thế trong miền D của H1: H1 22 110.0,5ln (x a) y ln R (ax 1)2 a 2 y 2 = 0 v = 110V C2’ -2 u -1 1 2 C1’ H2 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55
29. VD12.3.5.3: Thế điện giữa dây dẫn và đất = 0 Tìm phân bố thế điện trong miền giữa = 220V dây dẫn 220V và đất như H1 ? x  Xem công thức phần 12.3.5 với x = 9 -1 1 9 2 C và x1 = ta tính được a và R : 1 C2 H1 a = (9+sqrt(80); R = 9 - sqrt(80);. Từ đó có ánh xạ: w za = 0 v = 220V az 1 cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB. C1’ -1 u Giải bài toán đối xứng ởH 2, ta có: -R R 1 110 110 C2’ lnR lnr lnR ln|w| H2 ln R  ln R   Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 57
30. VD12.3.5.3: MATLAB vẽphân bố thế Code chương trình vẽphân bố thế: %Vidu 12_3_5_3 - Phan bo the ddan - mdat Thế điện = 0 V [X,Y] = meshgrid(-1.2:.01:11,-4:.01:4); a = 9 + sqrt(80);R = 9 - sqrt(80); Z = (220/log(R))*(log(R)-0.5*log(((X-a).^2 + Y.^2)./((a*X-1).^2 + a^2*Y.^2))); [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:220]); %gia tri z tu 0 -> 220, buoc 10V colormap cool; % End of program Thế điện = 180V Thế điện = 200V Thế điện = 220V Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 59
31. 1. Bài toán:  Tìm Phép Biến Đổi song tuyến tính để biến nửa mặt phẳng trên thành đĩa tròn đơn vị và ngược lại. y v w = f(z) z 0 u x 0 w0 = 0 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 61
32. 3. Phép Biến Đổi thuận M(z) :  Phép biến đổi: biến nửa mp trên thành đường tròn đơn vị.  Giả sử chọn z0 = j ta có phép biến đổi: z j z j zj w M(z) ej w M(z) z j z j zj y v w = M(z) 1 z0 = j –1 u x 0 w0 = 0  Đoạn x 0 (từ 0 đến ∞): tương ứng nửa trên |w| = 1 (từ 1 đến – 1). Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 63
33.  VD12.4.1: (tiếp theo) b) Tìm thế điện: Giải miền w: y v ℓ 11 5 x u ln ln ℓ 2 0 r |w| -1 1 z j5 x j(5 y) D Từ: D’ w z j5 x j(5 y) 22 Suy ra: 1ln x (5 y) 2 x22 (5 y) Code MATLAB và đồ thị: %Vidu 12_4_1 - Ve ho duong cong [X,Y] = meshgrid(-5:.3:5,-0.5:.3:7.5); Z = 0.5*log((X.^2 + (5+Y).^2)./(X.^2 + (5-Y).^2)); [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:0.1:10]); colormap cool; % End of program Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 65
34. VD12.4.2: Biến Nửa ĐĐV Góc Phần Tư I = 110V Tìm phân bố thế điện trong miền nửa = 0 1 đường tròn như H1 ? C 1  Xem công thức phần 12.4.4 (phép biến -1 x đổi song tuyến tính biến nửa đường tròn 0 1 H1 C2 đơn vị thành góc phần tư thứ nhất), ta có phép biến đổi: z1 wj z1 cho phép biến H1 thành H2 & ĐKB. v C2’ Giải bài toán đối xứng ởH 2, ta có: = 110V = 0 220 u A  B  110 C1’ 220 v H2 1 tan u 110 (V) Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 67
35. VD12.4.2: MATLAB vẽphân bố thế Code chương trình vẽphân bố thế: %Vidu 12_4_2 - Ve ho duong cong Thế điện = 110 V [X,Y] = meshgrid(-1.1:.02:1.1,0.01:.02:1.1); Z = -(220/pi)*atan((1 - X.^2 - Y.^2)./(2*Y)) + 110; [C,h] = contour(X,Y,Z,[0:10:110]); %gia tri z tu 0 -> 110, buoc 10V colormap cool; % End of program Thế điện = 100V Thế điện = 90V Thế điện = 80V Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69
36. VD12.4.3: Biến ĐĐV Nửa MP trên (tt) y = 0 Tìm phân bố thế điện trong miền đường tròn đơn vị như H1 ? 1 –1 x Từ nhá xạ: z 1 y j(1 x) wj z 1 (1 x) jy H1 = 1V 22 2yj (1 x ) y (1 x)2 y 2 (1 x) 2 y 2 H2 v Ta cóphân bố thếtrong miền D của H1: 1v u 1  tan u (V)  = 1V 0  = 0 22 1tan 1 1 x y (V) 2y Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 71
37.  VD 12.4.4: Giải = 0 ở nửa mp trên  Giải ptrình Laplace và ĐKB: y = 0 0 3 x = 2 = –1 = 5  Áp dụng công thức nghiệm ptrình Laplace ở nửa mp trên: 11 (x,y) 5 [2 ( 1)]Arg(z 0) [( 1) 5]Arg(z 3) 36 (x,y) 5 Arg(z 0) Arg(z 3)  Viết theo biến x và y : 3 11 y 6 y (x,y) 5 tan x tan x 3 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 73
38.  VD 12.4.5: Công thức tích phân Poisson  Giải ptrình Laplace và ĐKB: y = 0  Áp dụng công thức tích phân Poisson: –1 0 1 x yt1 = 0 = x = 0 (x,y)22 dt 1 (x t) y yx 1 x s y x 1 x y x 1 s 2 2ds 2 2 ds 2 2 ds x 1s y x 1 s y x 1 s y  Tính các tích phân ta có nghiệm: 22 (x,y) x tan 11 y tan y y ln (x 1) y x 1 x 1 2 (x 1)22 y Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 75
39. 12.5 Phép biến đổi Schwarz-Christoffel
40. 4. Giải ptrình Laplace ở đĩa hởđơn vị:  Nghiệm ptrình Laplace trong đĩa hở đơn vị với điều kiện biên Dirichlet () = f(ej) có dạng: 22 1jt 1 |z| 1 jt 1 r (x,y) f (e )jt 2 dt f (e ) 2 dt 22 |e z| 1 r 2rcos(t  )  Và ta hay dùng: 2 1 1 rdt 1 tan 1 1 r tan t  C 2 1 r2 2r cos(t  ) 1 r 2 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 79
41.  Một số tích phân thông dụng: 1 dz sin 1 (z) 1z 2 1 dz ( j)sin 1 (z) z12 11dz sin 1 z z2 1 z 1 dz tan 1 (z) z12 1 dz 2tanh 1 ( z 1) z z 1 1 zdz2 11 z1 z 2 sin(z) 1 22 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 81
42.  VD12.5.2: Phép bđổi Schwarz-Christoffel Xác định phép biến đổi Schwarz-Christoffel 1 biến nửa mp trên thành đa giác hở như hình j vẽ. 2 u 0  Ta có: 1 = 3 /2; 2 = /2.  Chọn: x1 = – 1 ; x2 = 1, ta có đạo hàm của hàm phức: 1/2 1/2 (z 1) 21 f'(z) A(z 1) (z 1) A 2 f(z) A z 1 cosh z B z1  Với w1 = f(x1) = j và w2 = f(x2) = 0 , ta có: j A 0 cosh 1 ( 1) B Aj B 1 A 1 B0 0 A 0 cosh (1) B B f(z) 1 z21 1 cosh z  Cuối cùng ta có ánh xạ: Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 83