Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 2: Tích phân và biến đổi Fourier - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 2: Tích phân và biến đổi Fourier - Hoàng Minh Trí

1. 2.1.1 Tích phân Fourier 1 f(t)cos(ωt)dt cos(ωt)  π f(t) (2.6)  n 1 1 f(t)sin(ωt)dt sin(ωt)  π  Ta có thể thay tổng bằng tích phân từ 0 ∞, và cho phép thiết lập công thức biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn bằng tích phân Fourier dạng chuẩn. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
2. 2.1.2 Tích phân Fourier côsin vàsin:  Tương tự chuổi Fourier, ta có thể đưa tín hiệu không tuần hoàn [0, L] thành tín hiệu chẵn hay lẻ để có tích phân Fourier côsin và tích phân Fourier sin.  Tất nhiên , biểu diễn chỉ có nghĩa trong khoảng [0, L]. 2 a) Nếu f(t) chẵn , ta có: A(ω) f(t)cos(ωt)dt (2.10) 0 Và f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier f(t) [A(ω)cos(td )] (2.11) côsin: 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
3. 2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier :  Ta đề cập ứng dụng để tích tích phân suy rộng.  Xét tín hiệu f(t) cho bởi (2.14): 0 |t| 1 f(t) (2.14) 1 |t| 1 Vì f(t) chẵn nên hàm hệ số A() của nó cho bởi (2.10): 1 A(ω) 2 cos(ωt)dt 2 sin(ω) (2.15) π π ω 0 Và f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier côsin (2.16): 2 sin(ω)cosωt f(t) d (2.16) πω0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
4. 2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)  Nếu định nghĩa hàm tích phân sin, ký hiệu Si, bởi : x sin Si(x) d (2.19) 0  . Ta có: Si( ) = /2. (2.20)  Hay cho t = 1, ta được: sin cos  d (2.21) 0  4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
5.  VD2.1.1: Kết quả dùng MATLAB Khi cho tần số :  = 0,01 100. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
6.  VD2.1.2: Tích phân Fourier Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích phân t ( t ) Fourier? f(t) 0 ( |t | ) Giải 22  f(t) là hàm lẻ: B(ω) f(t)sin(ωt)dt t.sin(ωt) dt 00 2 sin(ωπ) cos( ) π ω2   Biểu diễn f(t) dùng tích phân Fourier: / 2 (t ) f(t) 2sin(ωπ) 2 cos( ) sin(ωt)d  t ( t ) πω2  / 2 (t ) 0 0 ( |t| ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
7. Problems: Tích phân Fourier
8.  Examples: Tích phân Fourier EX2a: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích 1/ 2 ( 5 t 1) phân Fourier? f(t) 1 (1 t 5) 0 (5 |t | ) 1/4 for t 5 (Ans: 1 {[3sin(5ω) sin ]cos(ωt) [cos(5  ) cos  ]sin( td)}  3/4 for t = 1 ) 0 2πω 1/2 for t 5 f(t) otherwise EX2b: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng bt/ a ( a t a ) tích phân Fourier? f(t) 0 (at | | ) 2b sin( a) aa cos(  ) -b/2 for ta (Ans: 2 sin(td ) b/2 for ta ) aπ 0 ω f(t) otherwise Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
9.  Examples: Tích phân Fourier EX4a: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng t (0 t ) tích phân Fourier sin ? f(t) 0 ( t ) 2 πω sin( ω) (Ans: 2 sin(ωt))d π 0 ω EX4b: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng a t (0 t a ) tích phân Fourier sin ? f(t) 0 (at ) 2a ω sin(a ω) (Ans: 2 sin(ωt))d π 0 ω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
10. 1) Định nghĩa biến đổi Fourier: (tiếptheo)  Nếu f(t) là không tuần hoàn, ta cho chu kỳ T ∞, ta có thể biểu diễn tín hiệu f(t) ở dạng: 1 jωt jωt f(t) f(t)edt e  (2.24) 2π  n  Và ta có thể thay tổng bằng tích phân từ – ∞ ∞, và cho phép thiết lập cặp công thức “Biến đổi Fourier” thuận và ngược của một tín hiệu không tuần hoàn. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
11. 2) Điều kiện Dirichlet: để tồn tại F() i. Đơn trịtrên mọi khoảng hữu hạn. ii. Bất liên tục tại một số điểm hữu hạn. iii. Có cực trị hữu hạn trên mọi khoảng hữu hạn. iv. Hội tụ tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn: |f(t)|dt < Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
12.  Lưu ý: Hàm sinc() thường vàsinc () chuẩn . Ở đây ta hay dùng Hàm sinc(x) = sin(x)/x. . Trong một số lập trình (như MATLAB), người ta hay dùng Hàm sinc() chuẩn có dạng: sinc(x) = sin( x)/( x). . Hàm sinc() thường khi chuyển sang sinc() chuẩn ta chỉ cần chia (Hàm sinc() định nghĩa năm 1953 bởi biến của hàm cho số . Philip M. Woodward) . Hàm sinc() thường có các zero là trị nguyên của , còn sinc() chuẩn có các zero là tập số nguyên. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
13.  VD 2.2.2: Find Fourier Transform? e at (t 0) 1 f(t) f (t ) t 0 (t 0) 0 e (a jω)t F( ) f ( t ). e jt dt e (a jω)t dt 0 (a jω) 0 1 F(ω) aj ω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
14.  VD 2.2.3: Tìm biến đổi Fourier a) Tín hiệu x1(t) là chẵn: 12 F(ω) 2 2t cos(t ) dt 2cos( t ) dt 1 01 F(ω) 4 [ sin(2  ) cos(  ) 1] 1 ω2 b) Tín hiệu x2(t) là lẻ: 12 F(ω) j2 2t sin(t ) dt 2sin( t ) dt 2 01 F(ω) j4 [ cos(2  ) sin(  )] 2 ω2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
15.  VD 2.2.4: Tìm biến đổi Fourier ngược Mạch lọc điện thông thấp, tần số cắt c, có đáp ứng xung h(t) ở miền tần số là : 1 |ω| ωc 1 H( ) Tìm: h(t) H(ω) 0 other Áp dụng định nghĩa: c c h(t) 11 ej td e jωt sin(ωc t) 22 π(jt)  πt c c Ta chuyển về dạng: ωc h(t) π sinc ωtc Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
16.  VD 2.2.6: Tìm biến đổi Fourier ngược 1 Tìm f(t) biết : F( ) (1 jω)(2 jω) 1 1 1 Ta có thểphân tích: F( ) (1 jω)(2 jω) (1 jω) (2 jω) Áp dụng các biến đổi ngược đã biết: t 2t 1 1 e (khi t 0) 1 1 e (khi t 0)   (1 jω) 0 (khi t 0) (2 jω) 0 (khi t 0) t 2t 1 11 e e (khi t 0)  (1 jω) (2 jω) 0 (khi t 0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
17. 2) Addition / Subtraction: If: {f1 (t)} F 1 (  ) and {f 2 (t)} F 2 (  ) Then: {f1 (t) f 2 (t) } F 1 (  ) F 2 (  ) VD 2.3.2: Find the Fourier Transform of f(t ) f12 (t) f (t) e t (tt 0) 2e 3t ( 0) f12 (tt ) & f ( ) 0 (tt 0) 0 ( 0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
18. 4) Translation in frequency-domain: If: {f(t)}  F( ) jt Then: 0 {f(t).e } F(  0 ) 1 1 VD 2.3.4a: Tìm biến đổi ngược  2 j  j4 e 2t (t 0) . Ta có: 1 1 2j  0 (t 0) e 2t .e j4t (t 0) 111 1e j4t 2 j(  4) 2 j  0 (t 0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
19. 5) Modulation : f(t) If: {f(t)}  F( ) x f(t).cos(0t) cos( t) Then: 0 1 f(t).cos(0 t) 2 [F(   0 ) F(   0 )] 1 f (t).sin(0 t) j2 [F(   0 ) F(   0 )] Lưu ý: Tính chất này để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu trong hệ thống điều chế biên độ (AM ). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
20. 6) Differentiation: If: {f(t)}  F( ) df (t) Then:  jF   dt f(n) (t) (j  ) n F  Attention: Equations are valid if f(± ) = 0 Lưu ý: Tính chất này để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu mà đạo hàm của chúng dễ tìm biến đổi Fourier hơn. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
21. 7) Scale Changing: If: {f(t)}  F( ) 1  Then: {f(at) } F | a | a {f( t) } F  Lưu ý: Tính chất này để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu: nén (a > 1) , dãn (a < 1) và gấp tín hiệu (a < 0). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
22.  VD2.3.8: Nhân với t – Đạo hàm theo  a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t) f(t) 1 dùng định nghĩa? t(s) b) Suy ra G() = [g(t)] dùng tính chất đạo 0 1 hàm theo tần số ? g(t) a) Dùng định nghĩa: 1e jω 1 F(ω) t(s) jω 0 1 b) Do g(t) = t.f(t) nên: G(ω) jF'(ω) jω jω jω jω G(ω) j je .jωj(1e ) jωe e 1 ωω22 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47
23. 10) Nhân trong miền thời gian:  Nhân miền thời gian là tích chập miền tần số có hệ .số If: z(t) x(t).y(t) Then: 1 Z( )  X(  ) Y(  ) 2 Lưu ý: Tính chất này để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu trong hệ thống ADC (chuyển đổi analog digital). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49
24.  VD 2.3.11: Tính chất đối ngẫu . Ta đã có: f(t) 1 F(ω) 2sinc ω t – 1 0 1 . Vậy theo tính đối ngẫu: {2sinc(t)} 2 .f(  ) {sinc(t)} (|  | 1) {sinc(t)} f (  )  0 (| | 1) – 1 0 1 (Electric filter) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51
25. 2.4: Fourier Transform of Fundamental functions : 1) Impulse or Delta or Dirac Function (t) : Definition: for : t 0 (t)  ()t 0  for : t 0 t 0 Properties:  (t ). dt 1 f(t)δ(t) f(0)δ(t) f(t) (t t ). dt f(t ) 00 Application: in Data sampling. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53
26.  Fourier Transform of (t) : F(ω)  (t ).e jωt dt e j 0 1 |F()| (t) F 1  0 t 0 jωt0  (t ) 1  (tt 0 ) e jωt0  (tt 0 ) e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55
27. 3) Exponential Function : jt By using: 0 {f(t).e } F(  0 ) If f(t) = 1 (constant function) , we have: jωt0 e 2 .  (  0 ) jωt0 e 2 .  (  0 ) 1 1 jωt0 {(ω 0 )}2π e 1 1 jωt0 {(ω 0 )}2π e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 57
28.  Find F{ f(t) }: 0 f(t) αt jωt αt jωt F( ) e e dt e e dt 1 e– t 0 t 0 11 t – 1 F( ) α jω α jω - e F{sign(t)} lim{F( )} 2 0 jω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 59
29.  Relationship between u(t) & (t): du() t du() t t0 du() t  ()t  ()tt0  ()t dt dt dt u(t) u(t-t0) u(-t) 1 1 1 t t t 0 0 t0 0 (t) (t-t0) -(t) 1 1 0 t t t -1 0 0 t0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 61
30. 6) Unit Gate Function : 0 for : t 1/2 rect(t) 1 rect(t ) 1  for : 1/2 t 1/2 t 0 0  for : t 1/2 – 1/2 1/2  Có: rect(t) = u(t + 1/2) – u(t – 1/2)  rect(t ) sinc 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 63
31. 7) Triangle Function : (t) 2t 1  for : 1/2 t 0 1 (t) 2t 1  for : 0 t 1/2 t 0 0  for :| t | 1/2 – 1/2 1/2 .Dùng tính chất đạo hàm: '(t) 2u(t 11 ) 4u(t) 2u(t ) 22 ''(t) 2 (t 11 ) 4  (t) 2  (t ) 22 2 ω .Tính được: '' 8.sin 4 (t) 8 .sin22ω 1 .sinc ω  ω2 4 2 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 65
32.  VD 2.4.3: F() của dãy xung tuần hoàn . Cho dãy xung :  (t) C e jnωt0 Tn0  n T0 1 jnωt0 1 Cn  (t)e dt T0 0 T0 . Biến đổi Fourier : F( ) 00 δ(  n  ) n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 67
33. 2.5: Methods of Finding Fourier Trans: 1) Direct Method : using definition Odd function Even function Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69
34. EX 2.5.2: Compute F-1{F()} using definition F() 2 Calculate the inverse Fourier transform of: – 2  2 – 2 2  Odd function: 1 F( ) j2 2sin( td )  2π 0 2 2 j2 cos(t ) j2 1 cos(2 t ) j4 sin ( t ) π t 0 π t π t  Finally: 1 j4 sin2 (t ) F( ) πt Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 71
35.  Fourier Transform Pairs (2) : f(t) F() AC source: cos(0t) π (  00 )  (   ) AC source: sin( t) 0 jπ (  00 )  (   ) AC transient : j ()()  00     22 2 0 cos(0t).u(t) AC transient : 0 j ()()  00     22 2 0 sin(0t).u(t) two-side: 2 1 1 t e 22  jω jω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 73
36.  EX 2.5.3: Using Fourier Transform Pairs Calculate the Fourier transform of: f(t) e 2(t 1) u ( t 1)  Tra bảng: 2t 1 e u() t  jω2  Dùng tính chất: 2(tt 1) 2 jω1 jω e u( t 1) e u ( t ) .e jω2 .e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 75
37.  EX 2.5.5: Using Fourier Transform Pairs Calculate the inverse Fourier transform of: F(ω)2()   ( 4)  ( 4)  Tra bảng: 111 j4πt j4πt F ω  1 .2π e . 2π e  Cuối cùng: f(t) 1 F ω  1 cos(4 t ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 77
38.  VD 2.5.7: Tìm biến đổi Fourier ngược Tìm f(t) dùng bảng tra và tính F(ω) 1 chất của biến đổi Fourier biết : (ω22 4)(ω 9) 1 1 1 1  Ta phân tích: (ω2 4)(ω 2 9)5 (ω 2 4) (ω 2 9) 11 2|t| 11 3|t|  Tra bảng: 2 e e (ω 4) 4 (ω2 9) 6 11 2|t| 3|t| f(t) 20ee 30 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 79
39.  VD 2.5.8: Tìm F() dùng đạo hàm tín hiệu Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) ? f(t) 1 t . Chỉ cần đạo hàm lần 1 là đến các hàm –2 –1 0 1 2 xung Dirac: –1 f’ (t) = (t+2) – 2(t+1) + 2(t–1) – (t–2) f’(t) 2 1 . Biến đổi Fourier của f’(t): –1 2 t 0 ’ j2 – j –j – –j2 –2 1 F{f (t)} = e 2e + 2e e –1 –2 F{f’(t)} = j2[sin(2) – 2sin()] . Theo t/chất biến đổi Fourier: F{f't)} sin(2ω) 2sin(ω) F(ω) (jω) 2[ ω ] 4[sinc(2ω) sinc(ω)] Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 81
40. • Using Laplace Transform to Find Fourier Transform : g( t )  for : t 0 ii) If f(t) 0  for: t 0 Determine g( t ): reflected Find G(s) {gt ( )} F( ) G(s)|sj ω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 83
41.  VD 2.5.9: Tổng hợp phương pháp tìm F() Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) ? f(t) 1 t –1 0 1 A. PP dùng định nghĩa: 01 F(ω) f(t).e jωt dt (t 1). e jωt dt ( t 1). e jωt dt 10 01 (t 1)e jωt e jωt (1 t) e jωt e jωt jω 22 jω ωω 10 jω jω 2 1 1 ee 1 1 2(1 cos ) 4sin (ω/2) sinc2 (ω/2) jωωω22 jω ωω22 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 85
42. B. PP dùng bảng tra + tính chất biến đổi: Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) ? f(t) 1 t –1 0 1 . Ta có: 1 2 ω (t) 24 .sinc . Mà: f(t) = (t/2) = (0,5t) (0,5t) 1/2 .sinc22ω/4 sinc ω  0,5 0,5 2 F(ω) sinc2 (ω/2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 87
43. 2.6: Using MATLAB to Compute Fourier Transform & Inverse FT : syms t w ; syms t w ; ft = exp(-t^2/2) ; F1 = pi*Dirac(w-3)+pi*Dirac(w+3) ; Fw = fourier(ft); f1 = ifourier(F1); pretty(Fw); simplify(f1); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 89
44. VD 2.6.2: Using MATLAB to Compute Fourier Transform & Inverse FT : EX3: Find F( ) if f(t) 4u(t ) syms t x w; ft = sym('4*Heaviside(t)'); Fw = fourier(ft); simple(Fw); 4*pi*Dirac(w)- 4*i/w EX4: Find F( ) if f(t) 5[u(t) u(t 2] ) syms t w ; ft = sym('5*(Heaviside(t)-Heaviside(t-2))'); Fw = fourier(ft); pretty(Fw); 5 pi Dirac(w) - 5 i/w - 5 exp(-2 i w) (pi Dirac(w) - i/w) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 91
45. 2.7: Applications of Fourier Transform : 1)Frequency Spectra:  Töø haøm : F()() F e j ()  Phoå bieân ñoä: bieåu dieãn |F()| theo  .  Phoå pha : () theo  .  Phoå bieân ñoä vaø phoå pha cuûa tín hieäu khoâng tuaàn hoaøn laø caùc haøm lieân tuïc theo  . Ví dụ: Hình vẽ bên biểu diễn phổ tần số của f(t) = rect(t) . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 93
46. 2) Energy content of a signal (ĐlýParseval):  Definition: Cho tín hiệu x(t), năng lượng của x(t) , ký hiệu Ex, xác định theo công thức: E | x(t) |2 dt (J) x  Nếu biết biến đổi Fourier của x(t) làX( ), ta tính Ex theo: 1 E | X(ω) |2 dω (J) (ĐlýParseval) x 2π  Attention: dω 1arctan ω C a22 ω aa Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 95
47. 3) Giải phương trình vi phân: (đọc slides) Bài toán: Tìm nghiệm của PT vi phân : y’ + y = 2e–2tu(t) ?  Lưu ý: Bài toán giải phương trình vi phân không có điều kiện đầu là thích hợp nhất khi dùng biến đổi Fourier. Qui trình giải: Step1: Biến đổi Fourier 2 vế của phương trình. Step2: Tìm biến đổi Fourier của y(t), tức làY( ). Step3: Tìm biến đổi Fourier ngược của Y(), suy ra tín hiệu y(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 97
48.  Circuit elements in frequency domain: R L jL 11 C j j C C Source Fourier Transform Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 99
49.  VD 2.7.4: Circuit Analysis  Tìm vc(t) biết vin(t) = 50cos(4t) V ? Giaûi  Mạch miền tần số:  Ảnh Fourier của nguồn: V(in ω) 50 [  (  4)  (  4)]  Áp trên tụ: 1 1 50π V(C ω) Vin (ω)1 1/Z V in (ω) 3 jω 3 jω [ (  4)  (  4)]  ế đổ ượ j53.1 j53.1 Bi n i ng c: V(C ω) 10 [e  (  4) e  (  4)] Do: F 1 2  (  4) e; j4t F 1 2  (  4) e j4t ; j53.1 j4t j53.1 j4t o vC (t) 5[e e e e ] 10cos(4t 53.1 )V Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 101
50.  VD 2.7.6: Circuit Analysis  Tìm u(t)? e(t) 1 H + 5 + Giaûi t(s) e(t) 10  u(t) 0 0.1 _ -  AÛnh Fourier cuûa taùc ñoäng : e( t ) 5[1( t ) 1( t 0.1)] j0.1ω Ee()5{ 1  ()}{  1  ()}  j0.1ω 5 1 e jω jω jω Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 103
51.  VD 2.7.7: Circuit Analysis &MATLAB The output voltage= 1/6 + 1/4 exp(x) Heaviside(-x) - 1/12 exp(-3 x) Heaviside(x) + 1/6 Heaviside(x) - 1/6 Heaviside(-x) Gia tri va(0-) = 1/4 Gia tri va(0+) = 1/4 Gia tri va(xac lap) = 1/3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 105
52. 5) Giải bài toán mạch lọc điện:  Biến đổi Fourier thích hợp dùng để xác định tín hiệu output của mạch lọc điện cho bởi đáp ứng xung h(t) của mạch lọc. x(t) Mạch lọc y(t) h(t) Tìm biến đổi Fourier Tìm biến đổi Fourier ngược Đáp ứng tần số X() Y() = X().H() H() = F{h(t)}  Về nguyên tắc, bài toán trên có thể giải = tích chập. Nhưng phức tạp hơn giải dùng biến đổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 107
53.  VD 2.7.8: Giải bài toán mạch lọc Tìm tín hiệu ra y(t) của mạch lọc có đáp ứng xung h(t) = sinc(2t) biết tín hiệu vào x(t) = cos(t) + cos(3t) ?  x(t) Mạch lọc y(t)  Tìm X(): –3 –1 1 3 h(t) F /2 sinc(t) πrect ω  Tìm H() 2 :  F πω –2 2 sinc(2t) 24 rect  Suy ra : Y(ω) X(ω).H ( ) 2 [  (  1)  (  1)] 1 π y(t) F Y(ω) 2 cos(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 109
54.  VD 2.7.9: Tìm chuổi Fourier dùng G() Tìm chuổi Fourier dạng mũ phức của f(t) ?  B/đổi Fourier trong 1 chu kỳ T = 10: t G(ω) F{10rect 2 } 20sinc(ω)  Hệ số chuổi Fourier: 1nπ Cn0 T5 G(nω ) 2sinc π nπ jn t  Chuổi Fourier dạng mũ phức: f(t) 2sinc .e 5  5 n  PP này tận dụng tốt các t/chất của b/đ F khi tìm G() . !!! Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 111