Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 3: Phép Biến đổi Laplace thuận - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 3: Phép Biến đổi Laplace thuận - Hoàng Minh Trí

1. Phần II: Toán Tử Laplace
2. Chapter 3: Biến đổi Laplace (Laplace Transform)
3. 3.1 Định nghĩa biến đổi Laplace a)Định nghĩa biến đổi Laplace thuận: . Biến đổi Laplace của hàm f(t), ký hiệu F(s), còn gọi là ảnh Laplace của f(t), xác định theo: F(s) L {f(t)} f (t).e st dt Với s là một số phức , 0 có dạng : s =  + j. . Tích phân cận ∞ nên biến đổi Laplace là tích phân đặc biệt. Nếu dùng tích phân trên tính F(s) thì ta theo nguyên tắc: T f (t).e st dt lim f (t).e st dt 00T Có khái niệm điều kiện của s để biến đổi tồn tại. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. VD 3.1.1: Tìm biến đổi Laplace Unit Step Function u(t) or 1(t) : 1 for : t 0 ut() 0 for : t 0 T T e st 1 L{u(t)} e st dt lim e st dt lim (1 lim e sT ) TTT 00 ss0 1 L{u(t)} (Miền hội tụ Re(s) > 0) s Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. 3.2 Các tính chất của biến đổi Laplace 1) Multiplication by a constant: If: L{f(t)} F(s) Then: L{k.f(t)} k.F(s) Example: Find the Laplace Transform of f(t)2 ut( ) ? Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. 3) Translation in frequency-domain: If: L{f(t)} F(s) at Then: L{f(t).e } F(s a) Example: Find the Laplace Transform of :  L{e 2t } 1 2t 1 s2  L{e } s2 j2t 1  L{e } s j2 j2t 1  L{e } s j2 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. 5) Differentiation : Nếu:L{f(t)} F(s) df (t) Thì: L  sF s f (0) dt 2 d f (t) 2' L 2 s F s s.f (0) f (0) dt L f(n) (t) s n F s s n 1 .f (0) f (n 1) (0) Lưu ý: Điều kiện đầu của hàm f(t) và các đạo hàm có thể lấy tại t = 0 hay t = 0– đều được (tức là thay f(0), f’(0), bằng f(0–), f’(0–), ). Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8. 7) Scale Changing: If: L{f(t)} F(s) 1s Then: L{f(at) } F aa Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. 9) Division by t : If: L{f(t)} F(s) f (t) Then: L  F(x)dx t s Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. 11) Final Value Theorem : If: L{f(t)} F(s) Then: f ( ) limf (t) lim s.F(s) t s 0 Attention: all poles of F(s) must be located in the left half of the s-plane, except s = 0 . 2s2 30s 136 Ví dụ: Cho ảnh Laplace F(s) s(s2 9s 34) Tìm f(∞) ? 2s2 30s 136 f ( ) lim s2 4 s0 s(s 9s 34) Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. 2) Translated unit step u(t – t0) : 1: for t t0 u() t t0 0: for t t0 1 st0 £{u(t-t0)} = e s Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12. 4) Translated Delta Function (t – t0) : 0: for t t0  ()tt 0 for: t t0 st0 L{ (t t0 )} e st0 L{f(t). (t t00 )} f(t )e Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. 6) Sinusoidal Function : s L{cos( t} s22   L{sin( t} s22  Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. 3.4: Bảng tra gốc – ảnh Laplace f(t) F(s) (t) 1 st0  (t t0 ) e 1 u(t) s 1 u(t t ) e st0 0 s Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. 3.4: Bảng tra gốc – ảnh Laplace (tiếp theo) f(t) F(s)  sin( t) s22  s cos( t) s22  a sinh(at) sa22 s cosh(at) sa22 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16. 3.5: Các PP cơ bản tìm biến đổi Laplace: 1) PP dùng định nghĩa: ít khi dùng trong kỹ thuật do ta chi phối tín hiệu truyền đi. 2) Dùng bảng tra và bảng tính chất: dùng rất nhiều do phải thao tác trên các tín hiệu cơ bản và biến thể của chúng. 3) PP chuổi : 2 Let f(t) a0 a 1 t a 2 t a0 1!a12 2!a Thì: L f (t) s s23 s Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17.  EX1: Mô tả hàm dùng MATLAB % Description: This m-file demonstrates how to plot the combination signal % y(t)=(2t)[u(t)-u(t-1)] + (-2t+4)[u(t-1)-u(t-3)] + (2t-8)[u(t-3)-u(t-4)]. clear; clf; t = -1:0.01:5; ft = (2*t).*((t>=0)-(t>=1)) + (-2*t+4).*((t>=1)-(t>=3)) + (2*t-8).*((t>=3)- (t>=4)); plot(t,ft,'r'); grid; xlabel('t '); ylabel('f(t)'); Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
18. 5) Biến đổi Laplace tín hiệu tuần hoàn: . Express f(t) for t > 0: f(t) t f(t) f(t)1 f(t) 2 f(t) 3 0 T 2T 3T A periodic function f1 (t) f 1 (t T)u(t T) f 1 (t 2T)u(t 2T) sT s2T f (t) F(s) F1 (s) F 1 (s).e F 1 (s).e 1 t 0 T f (t) F (s) 2 t .Then: F(s) 1 1e sT 0 T 2T f3(t) t F1(s) = Laplace Transform over first 0 2T 3T period only. Decomposition of f(t) Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
19. 3.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi Laplace: EX3: Find F(s) if f(t) = 4t2 + e–2t.cos(3t) ? syms t x s; ft = sym('4*t^2+exp(-2*t)*cos(3*t)'); 8/s^3+(s+2)/((s+2)^2+9) Fs = laplace(ft); simple(Fs); EX4: Find F(s) if f(t) = 4[u(t) – u(t – 1)] + 2(t) ? syms s t ; ft = sym('4*(Heaviside(t)-Heaviside(t-1)) + 2*Dirac(t)'); Fs = laplace(ft); simple(Fs); 2+(4-4*exp(-s))/s Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
20. VD 3.6.2: Tìm aûnh Laplace caùc haøm: (s 2) a) f(t) = e-2t.cos(3t).u(t) F(s) (s 2)2 9 11 b) f(t) = 2t.u(t) + 5e-3(t-2).u(t-2) F(s) e 2s ss2 ( 3) 2e c) f(t) = 2e-(t-1).u(t) F(s) (s 1) 14 d) f(t) = (t + 4).u(t) F(s) ss2 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
21. VD 3.6.3: Tìm aûnh Laplace caùc haøm (t): 3a. Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
22. .VD 3.6.4: AÛnh Laplace cuûa caùc haøm xung ss2 10 10 20ee 10 c) f(t) = F(s) t(s) s 0 1 2 -10 2 d) f(t) = 2 s 34 s s t(s) F(s) 1 e e e 2 0 1 3 4 s syms s t ; ft = sym('(2*t)*(Heaviside(t)-Heaviside(t-1))+2*(Heaviside(t-1)- Heaviside(t-3))+(-2*t+8)*(Heaviside(t-3)-Heaviside(t-4))'); Fs = laplace(ft); simple(Fs); (2-2*exp(-s)-2*exp(-3*s)+2*exp(-4*s))/s^2 Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
23. .VD 3.6.4: AÛnh Laplace cuûa caùc haøm xung g) h) Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
24. .VD 3.6.5: AÛnh Laplace cuûa haøm tuaàn hoaøn 10 a) f(t) = 11 e 2s F(s) 0 2 5 7 t(s) se 1 5s 10 b) f(t) = 31 e 2s F(s) 0 2 4 6 t(s) se 1 4s Bài giảng Toán kỹ thuật– Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47