Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 4: Biến đổi Laplace ngược - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 4: Biến đổi Laplace ngược - Hoàng Minh Trí

1. Chapter 4: Biến đổi Laplace ngược
2. 4.1: Định nghĩa biến đổi Laplace ngược:  Cho F(s) là ảnh Laplace với s thỏa điều kiện hội tụ, biến đổi ngược là toán tử tìm hàm gốc f(t) chỉ khi t ≥ 0 theo công thức: 1 cj f(t) L -1 {F(s )} F(s)e st ds 2πj cj L{f (t)} f(t) for t ≥ 0 F(s) time-domain s-domain L -1{F(s)}  Như vậy có thể viết: L -1{F(s )} f(t).u(t) f(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. 4.3 Các tính chất của biến đổi Laplace ngược: 1) Tuyến tính : -1 L {C1 F 1 (s) C 2 F 2 (s)} C 1 f 1 (t) C 2 f 2 (t) Example: Find the Inverse Laplace Transform of : 2 2 2 F(s) s s 38 s L -1{F(s)} 2 2e 3t 2e 8t Với s thỏa đkiện hội tụ và hàm gốc chính là viết tắt của: f(t) 2 2e 3t 2e 8t u(t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. 3) Dời miền thời gian: L -1{F(s).e sT } f(t T).u(t T) Example: Find the Inverse Laplace Transform of : e 3s F(s) ss2 25 LLL -1{1 } -1 { 1 } -1 { 1 }et s2s52 (s1)4 2 s4 2 3s L -1{}e s2 2s 5 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. 5) Đổi thang : -1 1t L {F(ks)} f kk Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. 7) Nhân với s: L -1{s.F(s)} f' t Chú ý: L -1{s.F(s) f(0)} f' t f(0).  (t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. 4.4 Tích chập (Convolution): If F(s) X(s).H(s) t f(t) L -1 {F(s)} x t *h(t) x(  ).h(t  )d  0 . Trong đó ký hiệu x(t)*h(t) gọi là Tích chập của x(t) và h(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8.  Graphical convolution: i. Plot f(x) vs x , g(x) vs x . ii. Fold f(x) over the vertical axis, we have f(– x) . iii. Slide the folded function to the right, we have f(t – x) . iv. At any values of t, y(t) is the area the product function . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. VD 4.4.1: Graphical convolution Step3: Convolution e(t – x) 1 h(x) t xt i. For 0 < t < 1: x u(t) e dx 1 e 0 t t – 1 0 e(t – x) 1 h(x) t ii. For 1 < t < : u(t) e x dx e (t 1) e t x t1 0 t – 1 t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. Examples: Graphical convolution EX3a: Using graphical h(t) x(t) convolution to find h(t)*x(t) 20 20 ? t t 400t (0 t 8) 0 8 0 8 (Ans : y(t) 400(16 t) (8 t 16) ) 0 (16 t) EX3b: Using graphical h(t) x(t) convolution to find h(t)*x(t) 20 10 ? t t 200t (0 t 8) 0 8 0 10 1600 (8 t 10) (Ans : y(t) 200(18 t) (10 t 18) ) 0 (18 t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. Examples: Graphical convolution EX5a: Using graphical h(t) x(t) convolution to find h(t)*x(t) 4 10 ? t t 40t (0 t 10) 0 10 0 40 400 (10 t 40) (Ans : y(t)) 40(50 t) (40 t 50) 0 (50 t) EX5b: Using graphical h(t) x(t) convolution to find h(t)*x(t) 40 10 ? t t 400t (0 t 1) 0 1 0 40 400 (1 t 40) (Ans : y(t) 400(41 t) (40 t 41) ) 0 (41 t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12. Examples: Graphical convolution EX7a: Using graphical 0 (t 0) h(t) 4t convolution to find h(t)*x(t) ? 10e (t 0) x(t) 10u(t) (Ans: y(t) 25(1 e 4t ) ) EX7b: Using graphical 0 (t 0) convolution to find h(t)*x(t) ? h(t) 10(1 2t) (0 t 0.5) 0 (t 0.5) 100(t t) (0 t 0.5) (Ans : y(t) 25 (0.5 t) ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. 4.5 Các PP tìm biến đổi Laplace ngược: 1) Dùng bảng tra và tính chất: thường dùng khi hàm đơn giản. a aa 2) PP chuổi : Khi F(s) 0 12 s s23 s a t a t2 Thì: f (t) a 12 0 1! 2! 3) Dùng tích chập: Khi F(s) F12 (s).F (s) t f(t) f (x).f (t x)dx 0 12 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14.  VD 4.5.2: Use Laplace Transform Pairs ss3 Find f(t) 1 2 3ee 3 ? Sketch f(t) ? s ss22 1 2 s 2ut ( ) f(t) 2u ( t ) 3( t 1) u ( t 1) 3( t 3) u ( t 3) s 1 3e 3(t 1) u ( t 1) s2  2 (0 t 1) f(t) 2 3(t 1) 3 t 1 (1 t 3) 1 3e 3s 2 3(t 1) 3( t 3) 8 (3 t ) 3(t 3) u ( t 3) s2  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. 4) PP phân tích theo thừa số(Partial fraction): . Nếu ảnh Laplace có dạng P(s)/Q(s): có thể viết thành tổng các phân thức với mẫu số là thừa số của Q(s). A (A=const) i. factor (s a) gives partial fraction (s a) ii. factor (s a)2 gives fraction AA12 (s a) (s a)2 iii. factor (s2 ps q) gives partial fraction As B s2 ps q iv. factor (s22 ps q) gives A1 s B 1 A 2 s B 2 s2 ps q (s 2 ps q) 2 . Các hệ số Ai, Bi có thể tìm nhờ cân bằng 2 vế của ảnh Laplace theo bậc của s / hay dùng các công thức riêng cho chúng. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16.  VD 4.5.4: Partial Fraction Method 1 37s  ? ss2 23  Ta có: 3ss 7 3 7 KK 12 s2 2 s 3 ( s 3)( s 1) ( s 3) ( s 1)  Áp dụng công thức: 3ss 7 3 7 KK12 lim 4; lim 1 ss 31 (ss 1) ( 3) 1 37s 3t t  4.e e ss2 23 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17.  VD 4.5.5: Partial Fraction Method 2 1 10(s 119) 2 ? (s 5)( s 10 s 169)  Ta có: 22 10(ss 119) 10( 119) KKK1 2 2 (s 5)( s2 10 s 169) (s 5)[ s ( 5 j12)][ s ( 5 j12)] ( s 5) [ s ( 5 j12)] [ s ( 5 j12)]  Áp dụng công thức: 10(s2 119) 10(s2 119) o K1 lim2 10 K2 lim 4,167  90 s 5 (ss 10 169) s ( 5 j12) (ss 5)[ ( 5 j12)] 2 1 10(s 119) 5tt 5 o 2 10e 8,334et cos(12 90 ) (s 5)( s 10 s 169) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
18.  VD 4.5.6: Partial Fraction Method 2 1 (4ss 7 1) 2 ? ss( 1)  Ta có: (4ss2 7 1) KKK 12 11 2 s( s 1)22 ( s 1) ( s 1) s 2  Áp dụng công thức: (4ss 7 1) K12 s 2 s 1 2 2 K d(4 s 7 s 1) 43 1 (4ss 7 1) 11 ds s 2  K2 lim2 1 s 1 s s 1 s 0 (s 1)  2 1 (4ss 7 1) 2te tt 3e 1 ss( 1)2  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
19.  VD 4.5.7: Partial Fraction Method 1 768 s1 3 j4 22 ? (ss 6 25) ss21 3 j4 768 KKKK  Ta có: 12 11 12 11 2 2 2 2 (s 625)( s s s1 )( s s 1 )( s s 2 )( s s 2 )  Áp dụng công thức: K 768 12  180o 12 ()ss 2  2 ss 1 K d 768 768*2 3  90o 11 ds ()()s s23 s s  22 s s11 s s 1768 24te 3t cos(4t 180 o ) 6e 3t cos(4t 90 o ) (ss22 6 25)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
20. b) Q(s) has s1 multiple zero rth-order: Ps() KKK1,1 1,2 1,r Kr 1 Kn 2 r Qsssss()()()() 1 1 ss 1 ss rn 1 ss rk 1d P ( s ) r K1,k rk () s s 1 (r k )! ds Q ( s ) s s1;1 k  r For finding the original function we use:  111r 1 st1 L r te (s s1 ) ( r 1)! Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
21.  VD 4.5.8: Heaviside Expansion 2 1 24s  ? ABC (s 1)( s 2)( s 3) Fs()  (s 1) ( s 2) ( s 3) 2s2 4 1  Heaviside Formula: A lim s 1 (ss 2)( 3) 6 2s2 4 4 2s2 4 7 B lim (ss 1)( 3) 3 C lim s 2 s 3 (ss 1)( 2) 2 2 1 2s 4 1 t 4 2t 7 3t  e e e (s 1)( s 2)( s 3) 6 3 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
22.  VD 4.5.10: Heaviside Expansion 1 100(s 25) K13 KK12 11 K4 3 ? F(s) 32 ss( 5) (s 5) ( s 5) ( s 5) s (3 3)  Heaviside Formula: 1ds 100( 25) K13 33 400 (3 3)! ds s s 5 1ds(3 2) 100( 25) 2500 K12 3 2 2 100 K 20 (3 2)! ds s s s 5 4 1d(3 1) 100( s 25) 1 d 2500 1 5000 K11 3 1 2 3 20 (3 1)!ds s 2 ds s 2 s s 5 1 100(s 25) 2 5t 5t 5t 3 200tt e 100 e 20e +20 ss( 5) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
23. 7) Biến đổi ngược của hàm tuần hoàn: Is Laplace Transform of a periodic function of period T = 2. Use: 1 1 xx 2 1 1 ee 24ss 1 x 1e 2s 23 ee ss2 24ss F(s) s [1 ee ] Vẽ g(t) và lặp lại g(t) 2u ( t ) 3 u ( t 1) u ( t 2) để có f(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
24. 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược: 2 EX2: f(t) 1 ss 31 (s+1)32 (s+2) syms t x s; Fs = sym('(s^2+3*s+1)/((s+1)^3*(s+2)^2)'); ft = ilaplace(Fs); simple(ft); - 1/2*t^2*exp(-t) + (3*exp(-t) + exp(-2*t))*t + 4*exp(-2*t) - 4*exp(-t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47
25. 4.6 Dùng MATLAB tìm biến đổi ngược: 3s EX4: f(t) 1 2 e s s2 syms t x s; Fs = sym('2/s + exp(-3*s)/s^2'); ft = ilaplace(Fs); simple(ft); 2 + Heaviside(t-3)*t - 3*Heaviside(t-3) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49