Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải Phương trình vi phân (PTVP) - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải Phương trình vi phân (PTVP) - Hoàng Minh Trí

1. Chapter 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào giải Phương trình vi phân (PTVP)
2. 5.1: PTVP hệ số hằng :  Giải PTVP sau: dnn y d 1 y dy a a a a y f ( t ) (1) nndtnn 1 dt 1 1 dt 0 khi t > 0 , yy(0) 0 Với điều kiện đầu (IC) : ' yy(0) 1 (n 1) yy(0) n1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. a) Giải PTVP cấp I:  Xét mạch điện như hình: 2 Ω resistor iL(t) inductor  Áp dụng công thức tính áp trên + e(t) R R và cuộn dây: _ L 10e–2t 1 H  Ta có theo KVL: di (t) LL R.i (t) e(t) dt L  Nếu biết giá trịi L(0) và dùng biến đổi Laplace ta có thể giải PTVP trên.  Nhắc lại: L di(t)/ dt sI s i(0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. VD 5.1.a2: Solve ODE by Laplace Trans. Using the Laplace Transform to solve: y’ + y = f(t) with initial conditions y(0) = 5 and f(t) 0 (0 t π) 3cos(t) (t π) 3s Step1: Laplace Transform {sY 5} Y e πs (s2 1) Step2: Solving in s-domain. Ye 35s πs (s 1)(s2 1) (s 1) Step3: Using transformation pairs. 1{3s } 3 eto 3 cos(t 45 ) (s 1)(s2 1) 2 2 y(t) {33 e ()t cos(t 225 o )}u ( t ) 5 e t 2 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. VD 5.1.b1: Solve ODE by Laplace Trans. Using the Laplace Transform to solve the differential equation : y’’ + y = t with initial conditions : y(0) = 1, y’(0) = - 2 ? Step1: Laplace Transform s2 Y( s ) s 2 Y ( s ) 1  s2 Step2: Solving in s-domain. [s2 1]Y(ss ) 1 2 Y(s ) 12 s s2 s2( s 2 1) ( s 2 1) ( s 2 1) Step3: Using the transformation pairs. Y(s ) 1 ss 2 1 3 s2( s 2 1) ( s 2 1) ( s 2 1) s 2 ( s 2 1) ( s 2 1) y(t) 1 {Y(s )} t cos t 3sin t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. VD 5.1.b3: Solve ODE by Laplace Trans. Using the Laplace Transform to solve: y’’ – 6y’ + 9y = t2e 3t with initial conditions : y(0) = 2, y’(0) = 17 ? Step1: Laplace Transform s2 Y 2 s 17 6{ sY 2} 9 Y 2  (s 3)3 Step2: Solving in s-domain. (s 3)2 Y 2 2s 5 (s 3)3 Y(s ) 2 2 11 (ss 3)52(s 3) ( 3) Step3: Using transformation pairs. 11 4 3t 3 t 3 t y(t) {Y(s )} 12 t e 2 e 11 te Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. VD 5.1.b5: Solve ODE by MATLAB a) First, by hand, find F(s) if : f’’ – f’ – 2f = (t – 1) with initial conditions : f’(0) = 0, f(0) = 0 ? b) Find f(t) using MATLAB ? s a) F(s) e s2 s 2 b) MATLAB: syms s; ft = ilaplace(exp(-s)/(s^2-s-2)); simple(ft); -1/3*Heaviside(t - 1)*exp(- t + 1) + 1/3*Heaviside(t - 1)*exp(2*t - 2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8. VD 5.1.b7: Solve ODE by MATLAB Solvex '' x ' 2 x e t sin 2 t withxx (0) 0; '(0) 2 282t 5 t 1 t 3 t  By hand : (Ans: 39e 6 e 13 e sin 2 t 26 e cos2 t )  Using Symbolic in MATLAB : % VD5.2: Giai ptvp bac 2: x'' -x' - 2x - exp(-t)*sin(2t) = 0 & x(0) = 0, x'(0) = 2; syms t s X ; % Laplace 2 ve Equa = (s^2*X - 2) - (s*X ) - 2*X - 2/((s+1)^2+2^2); % Goi function giai ptrinh Sol = solve(Equa,X); xt = ilaplace(Sol); simple(xt); -5/6*exp(-t)+28/39*exp(2*t)+3/26*exp(-t)*cos(2*t)-1/13*exp(-t)*sin(2*t) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. 5.2: Giải hệ PTVP với điều kiện đầu:  Cho mạch điện như hình, biết R = 50Ω, L = 1H, C = 100µF và vi(t) = 60.u(t) V.  Chúng ta luôn thiết lập được hệ PTVP cho các biến áp trên tụ và dòng qua cuộn dây: gọi là hệ PT trạng thái của mạch. diL viC Ldt v iC vCC dv L R dt Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10.  Giải hệ PTVP dùng biến đổi Laplace: . Nếu biết giá trị tại t = 0 của vc và iL (giả sử zero): {sI } V 60 60 LCs sILC V s 10 4 {sV } VC I 104 I (s 200)V 0 CL50 LC I (s) 60(s 200) i 66 60te 100tt e 100 L s(s 100)2 L 55 6.105 100tt 100 V (s) vC 60 6000te 60 e C s(s 100)2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. VD 5.2.2: System of ODEs . Viết và giải hệ PT trạng thái cho mạch ? Biết R1 = 10Ω; R2 = 5Ω; L = 1H; C = 0,2F; e(t) = 120 (0 2); i1(0) = 0, vC(0) = 0. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12. VD 5.2.4: System of ODEs x' 2 x 3 y x(0) 8 Solve with y'2 y x y(0) 3 Laplace transform of both sides: sX 8 2 X 3 Y sY 32 Y X (s 2) X 3 Y 8 X 8s 17 5 3 ss2 34 ss 14 2X ( s 1) Y 3 Y 3s 22 5 2 ss2 34 ss 14 x(t) 1 {X(s )} 5 ett 3 e 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. Vd 5.2.6: Solve ODEs by MATLAB  By hand :  Using Symbolic in MATLAB : solve() xt = 3*exp(-t)-15*sin(3*t) % VD5.3: Giai he ptvp +2*cos(2*t)+30*cos(t) % x'' + y' + 3x - 15*exp(-t) = 0 / y'' - 4x' + 3y - 15*sin(2t) = 0 yt = -3*exp(-t)+30*cos(3*t) % with x(0) = 35, x'(0) = - 48; / y(0) = 27, y'(0) = - 55; +sin(2*t)-60*sin(t) syms t s X Y ; % Laplace 2 ve, ta co he Equa1 = (s^2*X - 35*s + 48) + (s*Y - 27) + 3*X - 15/(s+1); Equa2 = (s^2*Y - 27*s + 55) - 4*(s*X - 35) + 3*Y - 15*2/(s^2+4); % Goi function giai he ptrinh Sol = solve(Equa1,Equa2,X,Y); xt = ilaplace(Sol.X); yt = ilaplace(Sol.Y); disp('xt = ');pretty(xt); disp('yt = ');pretty(yt); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. VD 5.2.8: DSolve of MATLAB Find x and y with boundary conditions: x'' y t x(0) = 0, x’(0) = – 2, y(0) = 0 . t x'' y e  Using Symbolic in MATLAB : dsolve() % VD5.4: Giai he ptvp syms t x y; eq1 = 'Dx+Dy-t=0'; eq2 = 'D2x-y-exp(-t)=0'; solution = dsolve(eq1,eq2,'x(0)=0','Dx(0)=-2','y(0)=0'); disp(solution.x); disp(solution.y); -1-3/2*sin(t)+1/2*cos(t)+1/2*t^2+1/2*exp(-t) 3/2*sin(t)-1/2*cos(t)-1/2*exp(-t)+1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. 5.3 Ứng dụng vào cơ học: a) Bài toán vật lý: H5.1 P là chất điểm có khối lượng m, hoành độ x(t), vận tốc v(t) và chịu tác động của 3 lực (H5.1) :  f1 = –kx (k > 0) là lực hướng tâm.  f2 = –v ( 0) là lực ma sát (lực làm tắt dần).  f3 = f3(t) là ngoại lực, chỉ phụ thuộc thời gian. Vào lúc t = 0, P cóhoà nh độ đầu xo và vận tốc đầu vo. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16. c) Đáp ứng tựnhiên: "'2 mx 2 x  x 0 (5.24a) n n n n x(0)n x;v(0) 0 n v 0 (5.24a)  k và  (5.25) 2m n m Nghiệm miền s là: xo s v o 2 x o P(s) X (s) (5.26) n 22 s 2 s n Q(s) Gỉa sử n cho trước, ta biện luận theo (mức độ ma sát) như Bảng 5.2. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31