Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 7: Hàm giải tích (Analytic Function) - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 7: Hàm giải tích (Analytic Function) - Hoàng Minh Trí

1. Phần III : Hàm Phức và Ứng dụng
2. Chapter 7: Hàm giải tích (Analytic Function)
3. 7.1 Hàm phức (Complex Function) a) Định nghĩa: Hàm phức (hay Function of a complex variable ) w = f(z) : là ánh xạ cho phép gán một số phức z trong miền D trên mp phức đến một số phức w = f(z) trong miền D’ cũng trên mp phức. . Miền D của hàm phức là tập tất cả các số phức z để hàm phức f(z) là xác định được. . Ví dụ: w = f(z) = z2 – (2+j)z định nghĩa một hàm phức. b) Phân loại hàm phức: Đơn trị: w = f(z) = z2 . Đa trị: w = f(z) = sqrt(z) . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. ii. Đĩa hởtâm z0, bán kính r: . Ký hiệu: D(z,r)00 z:z z r r . Tập hợp các điểm bên trong hình tròn z0 tâm z0, bán kính r (không tính trên biên). . Nếu r là số dương vô cùng bé  nào đó, ta có định nghĩa về miền lân cận của số (Đĩa hở) phức z0 : một khái niệm quan trọng. . Nếu không xét tâm z0, ta có đĩa hở vô tâm, ký hiệu: D(z,r)' 00 z:0 zz r r z . Nếu xét cả biên, ta có đĩa kín như hình, ký 0 hiệu: D(z,r)00 z:z z r (Đĩa kín) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. iv. Nửa mặt phẳng: Nửa mặt phẳng phải: Tập hợp các điểm nằm bên phải đường thẳng z = a. z : a Re(z) a (Nửa mặt phẳng phải) Nửa mặt phẳng trái: Tập hợp các điểm nằm bên trái đường thẳng z = a. z : Re(z) a a (Nửa mặt phẳng trái) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. VD 7.1.1: Tập S trên mp phức Xác định tập biểu diễn bởi: (a) |z| < 1 (b) 1 < |z + 2i| 2 (c) /3 arg(z) /2 ? a) |z| < 1 : Các điểm bên trong đường tròn tâm O, bán kính là1 . b) 1 < |z+2i| 2 : Tập vành khăn nửa hở, tâm – 2i, bkính 1 và 2. c) /3 arg(z) /2 : Các điểm nằm giữa 2 tia  = /3 và  = /2. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. VD 7.1.2: Khái niệm hàm phức Tìm phần thực và phần ảo của hàm phức: f(z) jz z 1 j ? . Thế z = x + jy, ta có: f(z) j(x jy) (x jy) 1 j 1 x y j(x y 1) u(x,y) 1 x y v(x,y) x y 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8. VD 7.1.4: Khái niệm hàm phức Biểu diễn hàm phức f(z) = 4x2 +i4y2 theo z và liên hợp của nó ? zz zz Thế : x và , ta có: 2 y 2i f(z) (1 i)z22 (2 2i)z.z (1 i)z. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. VD 7.1.6: Dùng MATLAB a) Dùng MATLAB, tìm phần thực và phần ảo của trở kháng vào Z ? b) Tính tần số cộng hưởng 0 ? c) Tính giá trị của Z tại cộng hưởng ? % ex7_2: Tinh tan so cong huong m = 1; resonance_fre = []; Zresonance = 0; syms w real ; R1 = 8; R2 = 4; for n=1:length(solution) L = 2; C = 1/16 ; value = double(solution(n)); Zeq = R1 + if value > 0 (R2+i*w*L)*(1/(i*w*C))/(R2+i*w*L+1/ resonance_fre(m) = value; (i*w*C)); m = m + 1; Req = collect(real(Zeq)); end Xeq = collect(imag(Zeq)); end disp(' The real part of impedance:'); Zresonance = pretty(Req); double(subs(Req,'w',resonance_fre)); disp(' The imag part of impedance:'); fprintf('Tan so cong huong cua mach: %5.1f pretty(Xeq); (rad/s) \n', resonance_fre); solution = solve(Xeq); fprintf('Tro khang vao tai tan so cong huong : %5.1f (ohms) \n', Zresonance); Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. VD 7.1.7: Biểu diễn trong tọa độ cực 1 Tìm phần thực và phần ảo của hàm phức f(z) z z (biểu diễn trong hệ tọa độ cực ) . Đặt z = rej, ta có: 11 f(z) rej r(cos  jsin  ) (cos  jsin  ) rej r cos u(r, ) rcos  r sin v(r, ) rsin  r Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. VD 7.2.1: Giới hạn Xác định: lim z2 ? z 1 j f(z) z2 (x 2 y 2 ) j(2xy) lim(x22 y ) 0 lim(2xy) 2 x1 x1 y1 y1 lim z2 j2 z 1 j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12. b) Liên tục: . f(z) là liên tục tại z0 nếu: limf(z) f(z0 ) zz 0  f(z) liên tục nếu u(x,y) & v(x,y) liên tục.  Tính chất của hàm phức liên tục: như hàm biến thực. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. VD 7.2.3: Liên tục z2 /abs(z) (z 0) (a) f(z) is continuous at z 0. 0 (z 0) 2 Because: limz 0 z0 abs(z) z / z (z 0) (b) f(z) is not continuous at z 0. 0 (z 0) Because: limz not exist. z0 z Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. VD 7.3.2: Đạo hàm của hàm phức  Cho f(z) = sin(z), tìm f’(z) ? zz f (z z) f (z) sin(z z) sin(z) 2cos(z 22 )sin( ) 2cos(z zz )sin( ) (sinz)' lim22 lim cos(z z ) cos(z) z 0 z z 0 2  Cho f(z) = cos(z), tìm f’(z) ? zz f (z z) f (z) cos(z z) cos(z) 2sin(z 22 )sin( ) 2sin(z zz )sin( ) (cosz)' lim22 lim sin(z z ) sin(z) z 0 z z 0 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. Đạo hàm một số hàm phức cơ bản khác: i) f(z) C f' (z) 0 i)i f(z) ez f'z (z) e 1 f' (z) 1 ii) f(z) z z2 ii i) f(z) zn f' (z) nz n 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16.  Điều kiện C–R và đạo hàm trong tọa độ cực: . Nếu f(z) u(r,  ) iv(r,  ) thì điều kiện C-R là: 1 u v (CR1) r r  1 v u (CR2) r r  Và: f sin  i cos   f f '(z) cos  i sin  rr  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17.  VD 7.4.2: Điều kiện C–R Tìm phần thực và ảo của hàm phức w = f(z) = ez ? Chứng tỏ rằng u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện C-R ? z x jy x x  Ta có: e e e (e cosy) j(e sin y)  Tính các đạo hàm riêng bậc nhất: x x ux e cosy vx e sin y x x uy e sin y vy e cos y  Kết luận: chúng thỏa điều kiện C-R. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
18. 7.5 Hàm phức giải tích và tính chất: a) Một số định nghĩa của Hàm giải tích:  f(z) = là hàm giải tích (modern term : holomorphic) tại z0 nếu nó khả vi tại z0 và trong miền lân cận của z0 (|z – z0| < ) .  f(z) = giải tích trong miền D nếu f(z) = giải tích tại mọi điểm của tập hở D  C.  Giải tích tại mọi z : hàm nguyên.  Nếu f(z) không giải tích tại z0, z0 gọi là điểm bất thường (singular point) của f(z).  Example: f(z) = 1/z : không giải tích tại z = 0; giải tích trong miền D = C \ {0} .  Example: f(z) = sin(z) : là hàm nguyên. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
19.  VD 7.5.1: Kiểm tra hàm giải tích Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
20.  VD 7.5.3: Kiểm tra hàm giải tích Hàm phức f(z) = z.z* có phải hàm giải tích ? 22  Ta có: u(x,y) x y v(x,y) 0  Tính các đạo hàm riêng bậc nhất: ux 2x v0x uy 2y v0y Điều kiện C-R chỉ thỏa tại z = 0 (một điểm, không phải tập hở)  Kết luận: Hàm đã cho không phải là hàm giải tích. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
21.  Dạng toán 1 về hàm giải tích:  Khi biết u(x,y) và v(x,y) của một hàm giải tích ta có thể suy ra f(z) chỉ theo biến z dễ dàng theo các bước: i. Ta có: f(z) = f(x,y) = u(x,y) + jv(x,y) . ii. Cho y = 0 : f(x,0) = u(x,0) + jv(x,0) . iii. Thay biến x bằng z : f(z) = f(z,0) = u(z,0) + jv(z,0) . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
22.  VD 7.5.4: Harmonic & its conjugate % Problem (i) % Problem (ii) syms x y ; syms x y ; u = exp(y)*cos(x); u = 2*x - x^3 + 3*x*y^2; ans =diff(u,x,2)+diff(u,y,2); ans = diff(u,x,2)+ diff(u,y,2); disp(ans); % ans = 0 disp(ans); % ans = 0 % Find conjugate % Find conjugate v = int(diff(u,x),y); v = int(diff(u,x),y); disp(v);%v = -exp(y)*sin(x) disp(v);%v= 2*y-3*x^2*y+y^3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
23.  VD 7.5.6: Harmonic & its conjugate CMR hàm u = y3 – 3x2y là điều hòa ? Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x, y) ? Biểu diễn f(x, y) theo biến z ? 22 Điều hòa: ux 6xy uy 3y 3x uxx 6y uyy 6y 2 Find v: uxy v 6xy v 3xy g(x) 2 2 2 3 vxy 3y g'(x) u 3y 3x g(x) x C v 3xy23 x C Find f(z): f(x,y) (y3 3x 2 y) j( 3xy 2 x 3 C) f (z) jz3 jC Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
24.  VD 7.5.8: Harmonic & its conjugate Tìm hàm giải tích f = u + jv và biểu diễn hàm này chỉ theo z biết : u + v = 2x(1 – y) ? uxx v 2(1 y) Tìm f’(z) thông qua tìm ux và vx: uyy v 2x uxx v 2(1 y) u 1 x y Dùng điều kiện C-R: x v u 2x xx vx 1 x y f '(x,y) [1 x y] j[1 x y] f '(z) [1 z] j[1 z] zz22 Từf’ (z) ta suy ra hàm f(z): f(z) [z ] j[z ] C 22 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47
25.  VD 7.5.10: Harmonic & its conjugate Tìm hàm giải tích f = u + jv và biểu diễn hàm này chỉ theo z biết : v 3x2 y 2x2 y3 2y2; f 0 1 22 Harmonic ? vx 6xy 4x vy 3x 3y 4y vxx 6y 4 vyy 6y 4 2 Find u: vxy u 6xy 4x u 3xy 4xy g(x) 2 2 2 3 uxy 3y 4y g'(x) v 3x 3y 4y g(x) x C u x32 3xy 4xy C C1 Find f(z): f (z) z32 j2z 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49
26. 3) Hàm mũ phức: a) Định nghĩa: w ez e x jy e x (cosy jsiny) e x  y b) Tính chất: . Hàm ez giải tích khắp nơi (hàm nguyên). . Đạo hàm: (ez)’ = ez. . Là hàm tuần hoàn: ez = ez + j2n . . Hàm ez có giá trịâm. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51
27. 4) Hàm lượng giác phức: a) Định nghĩa: ejz e jz e jz e jz cosz ;sinz 2 j2 sin z cosz 1 1 tan z ;cot z ;secz ;cosecz cosz sin z cosz sin z b) Tính chất: i. cosz và sinz giải tích khắp nơi. ii. (cosz)’ = – sinz và (sinz)’ = cosz. iii. (cosz)2 + (sinz)2 = 1. iv. cos(a ± b) = cosa.cosb  sina.sinb và cos(jy) = coshy. v. sin(a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb và sin(jy) = jsinhy. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53
28. 5) Hàm Hyperbol phức : a) Định nghĩa: ez e z e z e z coshz ,sinhz 22 sinhz cosh z 1 1 tanhz ;coth z ;sechz ;cosechz coshz sinh z coshz sinhz b) Tính chất: i. coshz và sinhz giải tích khắp nơi. ii. (coshz)’ = sinhz và(sinhz) ’ = coshz. iii. (coshz)2 – (sinhz)2 = 1. iv. cosh(a ± b) = cosha.coshb ± sinha.sinhb và cosh(jy) = cosy. v. sinh(a ± b) = sinha.coshb ± cosha.sinhb và sinh(jy) = jsiny. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55
29. 6) Hàm Logarit phức : a) Định nghĩa: wz ln ln r j(  2n ) (–π <  ≤ π) b) Tính chất: (H 7.2) và(H 7.3) v y . Đây là hàm đa trị.  + 2π r z w2   w x 1 u H 7.2 H 7.3 ln(r) . Trị chính (principal value): Ln(z) lnr jθ . Đạo hàm: ln(z) ' 1/ z . Và: ln(z1 z 2 ) lnz 1 lnz 2 ln(z1 / z 2 ) lnz 1 lnz 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 57
30. 7) Hàm lũy thừa tổng quát : a) Định nghĩa: we zs s.ln(z) b) Tính chất: (H 7.5) và (H 7.6) . Đây là hàm đa trị( vô số trị trả về). w zs e slnz e ( j)[lnrj(   2n)] e[ lnr  ( 2n)] .e j[lnr   ( 2n)] jn n e . Trị chính (principal value): zes s.Ln(z) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 59
31. c) Tính chất của dãy { n}: lnr  2  n 2  n n n e.() e o e o q 2  . { n} là 1 Cấp số nhân với Công bội qe d)Tính chất của dãy {n} : n lnr   2n o n(2)  o np . n là1 Cấp số cộng với Công sai p2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 61
32.  VD 7.6.5: Compute using Casio a) jj ejln( j) e jln(1 2) e j[ j( 2 k2 )] e ( 2 k2 ) e 2 ; e 5 2 ; e 9 2 b) 32+j ee(2 j)ln(3) (2 j)(ln3 jk2 ) e(2ln3 k2 )  (ln3 k4 ) c) 1j2 ej2(ln1) e j2(jk2) e k4 j4 j4( j( k2 )) d) ( j) ej4(ln( j)) e2 e 2 k8 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 63
33.  VD 7.6.6: Elementary Functions j Find the principal value of complex power: ( 3) ? j j j ln( 3) ln3 j  ( 3) e e e 1 j(ln3) /  j ( 3) e 1 cosln3 jsin ln3 j ( 3) 0.3456 j0.126 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 65
34. VD 7.6.8: Compute sin–1z ? Let z  sin ej2 cos  jsin  jz 1 z j ln[jz 1 z2 ] ln[jz 1 z2 ] sin 1 z j Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 67
35. VD 7.6.10: Using MATLAB Write a function my_log(z0) return the multivalued expression of log(z0) ? Print its principal value ? Compare with the function of MATLAB ? % ex7_4: Tinh log(z0) z0 = 5 + i*12; syms n real ; roh = abs(z0); theta = angle(z0); x = vpa(log(roh),5); y = vpa(theta + n*2*pi,5); xdot = x + i*y ; disp(' Answer '); disp(xdot); disp(' Principal value ');value = double(subs(xdot,'n',0)); disp(value); disp(' Compare with MATLAB '); tolerance = (log(5+i*12)-value)/log(5+i*12)*100; fprintf('Tolerance = %5.3f \n ',tolerance); Answer 1.176*i + 6.2832*i*n + 2.5649 Principal value 2.5649 + 1.1760i Compare with MATLAB Tolerance = 0.002 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69