Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 8: Tích phân phức - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 8: Tích phân phức - Hoàng Minh Trí

1. Chapter 8: Tích phân phức
2. 8.1 Tích phân phức (Complex line integral) a) Định nghĩa: Cho hàm phức f(z) và đường cong C có hướng, trơn từng đoạn trong mặt phẳng phức, tích phân đường phức của f(z) trên đường cong C được định nghĩa: n f (z)dz lim f ( k ) z k z k 1 C n  k1 y z-plane n b z1 zn zn-1 a 1 (C) z0 x 0 Nếu a  b, C là Đường kín, ta có Tích phân f(z)dz chu tuyến (chiều dương là CCW) ký hiệu : C Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. c) Các tính chất cơ bản của TP đường phức: k.f (z)dz k f (z)dz; k complex const CC [f (z) g(z)]dz f (z)dz g(z)dz CCC [f (z)]dz f (z)dz f (z)dz CCCC 1 2 1 2 BA f (z)dz f (z)dz AB Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. VD 8.1.1: TP phức TP đường loại 2 (ttheo) 55 I (x2 1)dx j 2xdx 36 j24 1 11 Trên c-b: x = 5 dx = 0 và 1 y 3. b 3 3 I z2 dz ( 2xy)dy j (x 2 y 2 )dy 2 c 1 1 x5 33 I ( 10y)dx j (25 y2 )dy 40 j 124 2 11 3 196 I I12 I 4 j 3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. e) Ứng dụng của tích phân đường phức: i. Tính giá trị hay đạo hàm cấp n của một hàm phức tại một điểm trong miền D (công thức tích phân Cauchy). ii. Tính một số tích phân thực đặc biệt sẽ được đưa về tính tích phân đường phức. iii. Tính biến đổi Laplace và Fourier ngược bằng lý thuyết tích phân đường phức. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. b) Xác định phương trình thông số z(t): . function PathRep(zi, zf, f) cung cấp trên trang web của MATLAB dùng rất tốt cho mục đích này. . Nếu thành lập bằng tay, ta dựa vào nếu đường cong C là: i. Đường tròn, tâm z và bán jt 0 z z r.e ; 0 t 2 kính r , chiều CCW: 0 ii. Đoạn thẳng nối từ điểm za z za t(z b z);0 a t 1 đến điểm zb: iii. Đường cong có phương trình z t j.f(t); a t b y = f(x) với a x b hay x = (y) với a y b : z (t) j.t; a t b Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. VD 8.2.1: TP phức Path representation b 2 Tính z dz a Thay vì dùng TP đường loại 2, ta tính theo PP biểu diễn thông số z(t). c i. Tính z2 dz a . Viết z(t) = (-1+j) + t[(5+j)-(-1+j)] = (-1+j) + 6t với 0 ≤ t ≤ 1. . Tính z’(t) = 6. . Thế vào: f(z(t)) = (-1+j)2 + 12t(-1+j) + 36t2 c1 . Suy ra: z22 dz f (z(t))z'(t)dt 6[( 1 j) 6( 1 j) 12] a0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8.  VD 8.2.2: Viết phươngtrì nh thông số y Tính tích phân I zdz khi C là: j C a) Đường C ? 1 (C1) (C ) b) Đường C2 ? 2 x 2 c) C cho bởi : x = 3t; y = t (– 1 ≤ t ≤ 4) -1 0 1 a) Phương trình C1: Phương trình thông số: z(t) = ejt khi 0 ≤ t ≤ . Tính z’(t) = Thế vào: f(z(t)) = Dùng công thức ta có: zdz j C 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9.  VD 8.2.2: Viết phươngtrì nh thông số(ttheo) y Tính tích phân I zdz khi C là: j C a) Đường C ? 1 (C1) (C ) b) Đường C2 ? 2 x 2 c) C3 cho bởi : x = 3t; y = t (– 1 ≤ t ≤ 4) -1 0 1 c) Phương trình C3: Phương trình thông số: z(t) = 3t + jt2 khi -1 ≤ t ≤ 4. Tính z’(t): z' 3 j2t Thế vào hàm f(z(t)): f (z) z 3t jt2 4 t42 9t 3 4 Dùng công thức ta có: zdz 2 jt 195 j65 C 1 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10.  VD 8.2.4: C cho bởi phương trình thông số Evaluate dz if C: |z| 1, CCW. C z Let z ejt ; 0 t 2 . z ejt z' je jt . 1 jt f (z) z e . 2 dz f (z)dz (e jt )(je jt )dt j2 j2 C0 C z Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11.  VD 8.2.5: (tiếp theo) b y Compute I z2 dz ? a j4 b y = 3x – 2 a) Follow y = x2 ? b) Follow y = 3x – 2 ? y = x2 a j x 0 1 2 b) z = (1+j) +t(1+j3). z’ = 1 + j3 (0 t 1. f(z) = z2 = (j2) + 2t(j4 – 2) + (-8 + j6)t2 b1 3 1 22 1 1 t z dz f (z)z'(t)dt (1 j3) j2 t j4 2 t j6 8 3 a0 0 0 0 I (1 j3) j2 (j4 2) (j6 8)/3 28.67 j6 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12. 8.3 Định lýCauchy và các hệ quả Nhắc lại: Miền đơn liên D có tính chất: một đường cong kín bất kỳ chỉ D (C) chứa các điểm thuộc về D. (H8.4) 1. Định lýCauchy:  Cho f(z) giải tích trong miền đơn liên D (H8.4). C là đường cong kín trơn từng đoạn nằm hoàn toàn trong D.  Ta có: f(z)dz 0 C Với  = Ký hiệu vị trí các điểm bất thường của f(z) trong D. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. 2. Nguyên lý độc lập đường tích phân:  Nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D thì tích phân đường phức độc lập với đường lấy tích phân trong D. (C ) B  Tức là giữa 2 điểm A và B trong D, tích 1 phân đường phức cho giá trị như nhau trên các đường C1 và C2. (C2) A f(z)dz f(z)dz D (H8.6) CC12 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. 3. Nguyên lý biến dạng chu tuyến:  Nếu C1 có thể biến dạng liên tục thành C2 mà không vượt qua bất kỳ điểm bất thường nào của f(z) (H8.7) thì: f(z)dz f(z)dz CC12 (C2)  Tính chất này có ích khi ta thay thế (C1) tích phân trên đường C1 phức tạp thành tích phân trên đường C đơn giản hơn. 2 (H8.7)  Ta cũng có thể thấy rằng f(z) giải tích trên C1, C2 và trong miền giữa C1 và C2. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. 4. Định lýCauchy cho miền đa liên: C0  Cho f(z) giải tích trong miền D đa liên D (H8.8), C0 bao lấy các C Cn 3 đường cong kín C1, C2, , Cn, ta có : C2 C1 H8.8 f(z)dz f(z)dz f(z)dz f(z)dz CCCC0 1 2 n Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16.  Nguyên hàm của một số hàm thông dụng: n1 ezz dz e C zn dz z C n1 z az dz a C 1 dz Ln(z) C ln a z sin(z)dz cos(z) C sinh(z)dz cosh(z) C Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17.  VD 8.3.5: Tính tích phân phức Cho hàm phức f(z) = z2. Tính: a) I f (z)dz 1 |z| 1 1i b) I f (z)dz ? 2 0 a) Ta có : f(z) giải tích với mọi z trong miền |z| = 1 nên : I f (z)dz 0 1 |z| 1 b) Ta xác định được một nguyên hàm của f(z) là: F(z) = z3/3nên : 1i 331i I z2 dz z (1 i) 2 2 i 2 0 3 3 3 3 0 22 Ii 2 33 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
18. 8.4 Công thức tích phân Cauchy  Định lý Cauchy xoay quanh tính tích phân phức trong miền giải tích.  Với công thức tích phân Cauchy, chúng ta tiếp cận các phép tính tích phân phức có chứa các điểm bất thường bên trong đường lấy tích phân. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
19. VD 8.4.1: Tích phân Cauchy thứ1 Với C = đường tròn đơn vị z Find 2 dz ? theo hướng dương. C (4 z )(z j/ 2) z Im Let f (z) 2 j 4z (C) j/2 . f(z) = giải tích trong và trên C Re (z = ±2 nằm ngoài C ) . –2 2 . a = j/2 bên trong C. –j Dùng CT tích phân Cauchy thứ 1 f (z) j/ 2 4 dz 2 j.f (j/ 2) 2 j 2 C (z j/ 2) 4 ( j/ 2) 17 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
20. VD 8.4.3: Tích phân Cauchy thứ1 1 Với C = đường tròn | z – 3i| = 3 theo Find 2 dz ? C (z 4z 13) hướng dương. 1 6i Im Let f (z) [z ( 2 3i)] (C) -2+3i 3i . f(z) = giải tích trong và trên C (z = – 2 – 3i nằm bên ngoài C) . Re –3 3 . a = – 2 + 3i bên trong C. Dùng CT tích phân Cauchy thứ 1 -2-3i 1 [z ( 2 3i)] dz 2 i.f ( 2 3i) 2 i 1 C [z ( 2 3i)] 6i 3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
21. b) Công thức tích phân Cauchy thứhai: . Nếu f(z) giải tích trong miền đơn liên D thì nó cũng có đạo hàm đến mọi cấp trong D. Giá trị đạo hàm cấp n của f(z) tại điểm a (C) z = a nằm bên trong D xác định theo công thức tích phân Cauchy thứ hai : D (n) n! f (z) (H8.11) f (a) n1 dz 2j C (z a) f (z) 2 j (n)  Từ đó cho phép tính tích phân: n1 dz f (a) C (z a) n! Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
22. VD 8.4.6: Tích phân Cauchy thứ2 Let C = circle |z – 1| = 3. ez Find 2 dz ? C (z 1) Let f (z) ez Im (C) . f(z) = giải tích trong và trên C. a Re . z = – 1 : là1 điểm bên trong C. –2 – 1 1 4 Dùng công thức tích phân Cauchy. D . Tính đạo hàm: f’(z) = ez . f (z) 2 j 2 j 1 2 j 2 dz f '( 1) e C (z 1) 1! 1 e Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
23. VD 8.4.8: Áp dụng tích phân Cauchy 1 Tính: I 2 dz ? C z (z 2)(z 4) . Do có2 điểm bất thường bên trong C, ta phân tích: (z) 1/8 3/32 1/8 1/32 f(z) z2 z z 2 z 4 . Áp dụng công thức tích phân Cauchy 1 & 2 : 0 3 1 j I 2 j1! 2 j 32 2 j 8 0 I 16 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45