Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 9: Chuổi phức - Hoàng Minh Trí

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Chương 9: Chuổi phức - Hoàng Minh Trí

1. Chapter 9: Chuổi phức
2. 9.1 Chuổi phức (complex series) a) Định nghĩa:  Cho dãy các số phức: z1, z2, , chuổi phức định nghĩa là tổng vô hạn các số phức viết dưới dạng: : Chuổi phức. (9.1) zn z 1 z 2 z 3 n1  Do zn = an + jbn nên chuổi phức sẽ hội tụ khi các chuổi thực là hội tụ. Tuy nhiên, giống như tích phân phức, chuổi phức có thể xét riêng về hội tụ cũng như cách khai triển chứ không dựa trên chuổi thực. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. b) Hội tụ của chuổi phức:  Cả chuổi thực và chuổi phức đều tuân theo định lý hội tụ Cauchy.  Gọi Sn = tổng n số hạng đầu tiên của chuổi phức. Sn z 1 z 2 z n If limSn S : Chuổi hội tụ. n Ngược lại ta nói chuổi phân kỳ. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. VD 9.1.2: Kiểm tra hội tụ Xác định tính hội tụ hay phân kỳ của chuổi phức: e (2 j3)n n1  Dùng điều kiện tỉ số: (2 j3)(n 1) zen1 (2 j3) 2 lim lim (2 j3)n e e 1 nn zn e  Kết luận: chuổi hội tụ. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. e) Chuổi hàm phức :  Trong trường hợp tổng quát, mỗi số hạng của chuổi là một hàm phức f(z) thay vì một số phức : ta có chuổi hàm phức. : Chuổi hàm phức (9.2) f(z)n f(z) 1 f(z) 2 f(z) 3 n1  Tập hợp tất cả các số phức z để chuổi hàm phức hội tụ ta gọi là “miền hội tụ” của chuổi. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
6. VD 9.1.4: Tìm miền hội tụ ( 1)n 1 z 2n 1 Tìm miền hội tụ của chuổi hàm phức:  n1 (2n 1)!  Dùng điều kiện tỉ số: n 2n 1 2 fn1 (1)z (2n1)! z lim limn 1 2n 1 lim 0 n fn n (2n1)! ( 1) z n 2n(2n1)  Kết luận: chuổi hội tụ với mọi giá trị của z. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
7. 9.2 Chuổi lũy thừa Là chuổi phức cơ bản nhất. 1. Định nghĩa: Chuổi lũy thừa tâm a có dạng: n2(9.3) a(zn a) a 0 a(z 1 a) a(z 2 a) n0 (a = số phức) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
8. 3. Tính chất của Chuổi lũy thừa: . Nếu chuổi lũy thừa hội tụ tại z1 : thì sẽ hội tụ trong đĩa |z – z0| |z2 – z0|. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
9. VD 9.2.1: Chuổi lũy thừa Tìm miền hội tụ của chuổi lũy thừa:  n(z j)n n0 an1 n 1  Ta có: an n L lim lim 1 nn ann 1  Bán kính hội tụ: Radius of convergence R L 1  Chuổi hội tụtrong đĩa hở, tâm j , bán kính 1: | z j| 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
10. VD 9.2.3: Chuổi lũy thừa n Tìm miền hội tụ của chuổi :  z(1 3i) 3 i n0  Ta viết lại:  z(1 3i) 3 in (1 3i)n z i n n 0 n 0 n1 n an1 (1 3i)  Ta có: an (1 3i) L lim limn 10 nn an (1 3i) 11  Bán kính hội tụ: Radius of convergence R L 10  Chuổi hội tụ trong đĩa hở, tâm i , bán kính 1/sqrt(10): | z i | 1/ 10 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
11. 2. Xác định miền hội tụ của chuổi Taylor:  Có thể tính bán kính hội tụ R bằng một trong hai cách sau: i. Cách 1: Phải có chuổi Taylor, rồi dùng điều kiện tỉ số: a f(n) (a) R limn lim(n 1) nn (n 1) an1 f (a) i. Cách 2: Không cần có chuổi Taylor, tính khoảng cách từ điểm khai triển đến các điểm bất thường của hàm phức f(z). Gọi {z1, z2, } là các Điểm bất thường của f(z) và tính Rk = |zk – a| = khoảng cách từ điểm bất thường zk đến điểm khai triển a ta có: R = min{Rk} = khoảng cách từ a đến Điểm bất thường gần a nhất Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
12.  Các Chuổi MacLaurin quan trọng: Dùng định nghĩa chuổi Taylor, ta có một số chuổi cơ bản và ROC , dùng để tìm chuổi Taylor cho một số hàm phức tạp hơn: n z z (Chuổi nhị thức) e  |z|< n0 n! 1 n 1 nn  z |z|< 1 ( 1) z |z|< 1 1z n0 1z n 0 z2n 2n 1 n n z cosz  ( 1) |z|< sinz  ( 1) |z|< n0 (2n)! n0 (2n 1)! z2n z2n 1 coshz sinhz  (2n)! |z|<  |z|< n0 n0 (2n 1)! Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
13. VD 9.3.1: Tìm an chuổi Taylor từ công thức Tìm khai triển chuổi Taylor của f(z) = 1/(z + 1) tại lân cận z = 1 và cho biết miền hội tụ của chuổi ? Ta tính: 1 f (1) 1 f (z) (z 1) 2 1 1 f '(z) z=1 (z 1)2 f '(1) 4 R f ''(z) 2 1 (z 1)3 f ''(1) 4 6 6 f '''(z) f '''(1) 4 (z 1)4 2 Điểm bất thường z = – 1 1 1/4 1/423 6/24 f(z) 2 1! z1 2! z1 3! z1 Ta khoảng cách từz = 1 đến điểm bất thường z = -1 là: R = |1 – (– 1)| = 2 Miền hội tụ: |z – 1| < 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
14. VD 9.3.3: Tìm an chuổi Taylor từ công thức Find the Taylor Series of f(z) 1 about the origin ? z2 z 1 Ta tính: f (z) 1 (z2 z 1) f (0) 1 13 zj 2z 1 22 f '(z) f '(0) 1 (z22 z 1) 2 f ''(z) 2(2z 1) 2 f ''(0) 0 z=0 (z2 z 1) 3 (z 2 z 1) 2 3 f '''(z) 6(2z 1) 12(2z 1) f '''(0) 6 13 (z2 z 1) 4 (z 2 z 1) 3 zj 22 Điểm bất thường f (z) 1 z z3 Bán kính hội tụ: 13 R | 0 (22 j ) | 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
15. VD 9.3.4: Chuổi Taylor & PP thế Tìm khai triển Taylor của hàm f(z) = 1/(1 + z) tại lân cận z0 = 1 dùng PP thế ? Xác định bán kính hội tụ RoC ?  Dùng Phương pháp thế : Đặt w z 1 z w 1 1 1 1 1 f (z) (1 z) (2 w) 2 w 1 (1 ) 2 R 23 1 1 w w w Điểm bất 2 2 2 2 thường z = – 1 23 Chuổi Taylor: 1 (z1) (z1) (z1) f (z) 2 4 8 16 Bán kính hội tụ: R RoC 1 ( 1) 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
16.  VD 9.3.6: Biểu diễn chuổi Taylor hàm hữu tỷ 1 Tìm chuổi Taylor biểu diễn hàm f (z) (z 2)(z 3) quanh điểm z0 = 1. Xác định bán kính hội tụ (RoC)?  Phân tích f(z) = tổng các hàm hữu tỷsơ cấp: 1 1 1 (z2)(z3) (2z) (3z)  Dùng chuổi nhị thức: 11 2n (2 z) 1 (z 1) 1 (z 1) (z 1) (z 1) . Bán kính hội tụ: (RoC:| z 1| 1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
17.  VD 9.3.7: Biểu diễn chuổi Taylor hàm hữu tỷ 2i Tìm chuổi Taylor biểu diễn hàm f (z) (4 iz) quanh điểm z0 = – 3i . Xác định bán kính hội tụ R ?  Đểphân tích f(z) thành chuổi lũy thừa của (z + 3i) ta viết lại: 2i 2i 2i 2i 1 f (z) i (4 iz) 4 i(z 3i) 3 7 i(z 3i) 7 1 (z 3i) 7  Dùng chuổi nhị thức: n 1 n i i ( 1) (z 3i) 1 (z 3i)  7 0 7 i . Miền hội tụ: | (z 3i) | 1 7 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
18. VD 9.3.8: MacLaurin Series z1 Find the MacLaurin Series of f(z) z1 ? Determine the convergent radius (RoC) ? z 1 2  Partial fraction : f (z) z 1 1 z 1  Basic series : f (z) 1 2[1 z z23 z ] f (z) 1 2z 2z23 2z  RoC = 1 : distance from 0 to – 1 . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
19. VD 9.3.10: Chuổi Taylor & tính chất 3 5 7 Multiplication of Series: z z z sin(z) z 3! 5! 7! 1 1 3z2 9z 4 27z 6 1 3z2 3 5 6zz35 6 f (z) z 3z 9z O(z ) 3! 2! O(z ) z5 6 19 3 1141 5 6 5! O(z ) z 6 z 120 z O(z ) (RoC:|z| 1/ 3) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
20. 9.4 Chuổi Laurent (Laurent Series) 1) Định nghĩa chuổi Laurent:  Nếu f(z) không giải tích tại z = a nhưng giải tích trong hình vành khăn D ( 0 < |z – a| < R hay R1 < |z – a| < R2 ) thì nó không thể khai triển thành chuổi Taylor mà chỉ có thể khai triển chuổi Laurent có dạng: n (9.6) D f(z)  an (z a) (C) n R 1 1 f(z)dz Với hệ số: a (9.7) a n n 1 R2 2 j C ()za (C = đường kín trơn từng đoạn trong D, bao lấy a) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
21.  VD 9.4.1: Khái niệm chuổi Laurent Khai triển f(z) = 1/(z + 1) dưới dạng chuổi phức quanh z = 1 ?  Ta có thể khai triển: 1 (z1) (z1) 23 (z1) f (z) 2 4 8 16 Đây là chuổi Taylor và hội tụ trong miền |z – 1| 2 ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
22. 2. Chuổi Laurent của f(z) quanh điểm bất thường z1: . Cho hàm f(z) và z1 là điểm bất thường của nó (H9.8), khai triển chuổi Laurent của f(z) quanh z1 có dạng: n f(z)  an ( z z1 ) (9.8) H9.8 n . Miền hội tụ: 0 |z z12 | R (9.9) . R2 = |z2 – z1| = Khoảng cách từ điểm khai triển z1 đến Điểm bất thường z2 gần z1 nhất. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
23. VD 9.4.3: Chuổi Laurent của f(z) Expand f (z) sin z in a Laurent series about z 0 ? z4 0 z3 z 5 z 7 We have: sinz z 3! 5! 7! sinz 1 1/3! z z3 f (z) (Laurent Series) zz43z 5! 7! (Principal part) (Analytic part) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
24. VD 9.4.4: Xác định chuổi Laurent Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân cận f (z) 1 z = – 2 ? Xác định miền hội tụ của chuổi ? z(z 2)3  Đặt w = z + 2, cóz = w – 2. 1 1 1 w w2 f (z) 3 w 3 1 2 w (w 2)2w3 (1 ) 2w 2 2 2 f (z) 1 1 1 1 (z 2) 2(z2) 3 2(z2) 2 2 2(z2) 3 2 4 2 5  Dựa vào miền hội tụ của chuổi nhị thức: w z 2 2 2 1 Ta có miền hội tụ của chuổi Laurent: 0 | z 2| 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47
25. VD 9.4.6: Xác định chuổi Laurent a) Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân 1 cận z = 0 ? Xác định miền hội tụ của chuổi ? f (z) z(z 1) b) Xác định chuổi Laurent ở các miền khác ? a) Ta viết lại f(z) và dùng chuổi nhị thức: f(z) 1 1 1 1 1 z z23 z z(z 1) z 1 z z Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |z| < 1. 1 Chuổi Laurent: 2 f(z) z 1 z z  Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội tụ của chuổi Laurent: 0 < |z| < 1. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49
26. VD 9.4.7: Xác định chuổi Laurent a) Khai triển f(z) thành chuổi Laurent tại lân 1 cận z = 1 ? Xác định miền hội tụ của chuổi ? f (z) z(z 1) b) Xác định chuổi Laurent ở các miền khác ? a) Ta viết lại f(z) và dùng chuổi nhị thức: 1 1 1 1 23 1 (z 1) (z 1) (z 1) f(z) z(z1) z1[1(z1)] z1   Miền hội tụ của chuổi nhị thức này: |z – 1| < 1. Chuổi Laurent: 1 2 f(z) z1 1 (z 1) (z 1)  Kết hợp với điều kiện hàm giải tích, miền hội tụ của chuổi Laurent: 0 < |z – 1| < 1. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51
27. VD 9.4.8:Laurent Series Find Laurent series about ez the indicated singularity ? 2 ; z 1 Annulus of Convergence ? (z 1) z u 1 2 3 Let u z 1 e e e 1 u u u (z 1)2 u 2 u 2 2! 3! z e e e e e(z 1) e (z 1)2 (z 1)22 (z 1) (z 1) 2! 3! 4! We have: eu converges for all u : R = . Annulus of Convergence: 0 | z 1| Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53
28. 9.5 Tìm chuổi phức dùng MATLAB: VD 9.5.1: 1 1 1 3 1 n By hand: f (z) (z 1) (1 ) (z 1) (2 z) (3 z) 2 4 2n1 MATLAB: syms z ; fz = 1/((z-2)*(z-3)); z0 = 1; % about 1 n = 8; % the first 8 terms Taylor_series = taylor(fz,n,z0); pretty(Taylor_series); -1/4 + 3/4z + 7/8(z - 1)2 + 15/16 (z - 1)3 + 31/32(z - 1)4 + 63/64 (z - 1)5 + 127/128 (z – 1)6 + 255/256 (z – 1)7 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55