Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 1: Chuỗi Fourier

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 1: Chuỗi Fourier

1. Phần 1: Giải tích Fourier  Chương 0 : Ôn tập số phức  Chương 1 : Chuỗi Fourier  Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 1
2. 1.1 Hàm tuần hoàn  Định nghĩa 1.1 hàm f(t) gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho f(t+T) = f(t) với mọi t trong miền xác định của f(t)  T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn )  Phân loại:  f(t) tuần hoàn sin  f(t) tuần hoàn không sin Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 3
3. 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø : +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 Vôùi : n = 1,2 ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûn a0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier . Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 5
4. Caùc heä soá khai trieån Fourier +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 TT 22 ωω= = ∀ ∫∫cos(m00 t ) sin( n t ) dt 0 m , n −−TT 22 T 2 2 = a0 ∫ f() t dt T −T 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 7
5. Caùc heä soá khai trieån Fourier +∞ a0 ft( )=++∑ ( ann cos ntbωω00 sin nt ) 2 n=1 T 2 ωω= ∀ ∫ cos(m00 t )sin( n t ) dt 0 m, n −T 2 T 0 mn≠ 2  ωω= ∫ sin(m00 t )sin( n t ) dt T −T  mn= 2  2 T 2 2 = ω bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T −T 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 9
6. Ví dụ tìm chuỗi Fourier a) Xác định chuổi Fourier ? b) Kiểm lại dùng MATLAB ? Giải Chu kỳ và tần số cơ bản: Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2, Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 11
7. Ví dụ tìm chuỗi Fourier . Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau 00−π ≤≤t aft) ()=  ;T= 2π sintt 0 ≤≤π b) ft ()= 4 − t2 −≤≤ 2 t 2 ; T = 4 1 sint 2+∞ cos 2nt =+− a) ft () ∑ 2 ππ2n=1 41n − . Kết quả 8 16+∞ (− 1) n+1 ntπ = + b)() ft 22∑ cos 32π n=1 n Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 13
8. Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier Định lý 1.2: Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichlet và có m bước nhảy J1, J2, , Jm tại m điểm gián đoạn t1 < t2 < < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì: m −11' ann= b − ∑ J ksin( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 ( n = 1, 2, ) ( bn’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 15
9. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà định nghĩa trong 1 chu kỳ là f(t) −12 − <t <− 1 1   01−<<t 0 ft()=   10<<t 1 -2 -1 0 1 2 t  01<<t 2 -1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 17
10. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1 m −11' ann= b − ∑ J ksin( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 m 11' bnn= a + ∑ J kcos( ntω0 k ) nnωπ0 k =1 −2 1 nnnπππ( −− 2) ( 1) (0) n π(1) ab=' −( − 1) sin + (1) sin+ (1) sin +− ( 1) sin nnnnππ2 22 2 2 1 nnnπππ(−− 2) ( 1) (0) nπ (1) ba=' +( − 1) cos+ (1) cos+ (1) cos +− ( 1) cos nnnnππ2 22 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 19
11. Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp Xác định các hệ số chuỗi Fourier 10 f(t) dùng công thức lặp ? 0 π 2π Giải  Xác định f’(t), tk và Jk: f(t) π f’(t) 10 tk t1 = 0 t2 = T T Jk 10 – 10 0 π 2π 0 π 2π t1 t2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 21
12. Ví dụ tìm chuỗi Fourier Sóng vuông f1 A +∞  f1(t) hàm lẻ 4A ft10( )= ∑ sin(nω t ) -T/2 T/2 T n=1 nπ nk=21 + -A T /2 4 T /2 4A (−cos(ntω )) b= Asin( nω t ) dt = 0 n ∫ 0 ω T0 Tn0 0 2An(−+ cos(π ) 1) 4A = = nnππnk=2 +1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 23
13. Ví dụ tìm chuỗi Fourier f3 Sóng răng cưa A  f (t) hàm lẻ 3 -T/2 T/2 T -A +∞ −2A ft30( )= ∑ cos(nπω )sin( n t ) n=1 nπ
14. Ví dụ tìm chuỗi Fourier Chỉnh lưu toàn kỳ f5 A ft( )= A sinω t -T T 2T  Tần số cơ bản ω0 = ? Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 27
15. Tổ hợp các khai triển cơ bản f6 4 3 2 1 t [s] -3 -2 -1 1 2 3 5 -1 f2 f1 A A -T/4 T/2 -T/2 T/4 T -T/2 T/2 T -A -A Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2012 29
16. Khai triển chẵn lẻ f(t) f(-t) A A -T/2 T/2 -T/2 T/2 -A -A ft()+− f ( t ) ft()−− f ( t ) ft()= ft()= cl22 fc(t) fl(t) A/2 A/2 -T/2 T/2 -T/2 T/2 -A/2 -A/2