Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 1: Chuỗi Fourier (Tiếp theo)

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 1: Chuỗi Fourier (Tiếp theo)

1. Chương 1 Chuỗi Fourier  1.1 Hàm tuần hoàn  1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn  1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier  1.4 Khai triển bán kỳ  1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. Ví dụ khai triển bán kỳ f(t)  Cho hàm f(t) định nghĩa bởi f(t)= t+2 ( 0 < t < 2) 4  Xác định chuỗi Fourier sin biểu 2 diễn cho f(t) Giải F(t) 2 t  Thiết lập hàm lẻ F(t) 4  Xác định hệ số bn 2 4 bn=(1 − 2 cosπ ) n nπ -2 -2 2 4 t -4  Chuỗi Fourier sin của f(t) 12 ππππ2 4 1 fttttt( )=−+−+ππ sin( 2222) sin( 2) π sin( 3) π sin( 4) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 3
3. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  Chuỗi Fourier dạng sóng hài +∞  Dạng sóng hài cosin ft() =++ F00∑ Fnncos( nωα t ) n=1 +∞  Dạng sóng hài sin ft() =++ F00∑ Fnnsin( nωβ t ) n=1 a F= 0 ; F= ab22 + 0 2 n nn  Các hệ số khai triển bann αβnn=−=arctg ; arctg abnn Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 5
4. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier T  1 Định nghĩa trị hiệu dụng F= f2 () t dt RMS T ∫  Đẳng thức Parseval 0 +∞ • ω xt()= X ejn0 t ∑ n T +∞ •∗+∞ •∗ =−∞ 1 n x() t y () t dt= X Y = Y X +∞ • ∫ ∑∑nn n n T =−∞ =−∞ jmω0 t 0 nn yt()= ∑ Ym e m=−∞ +∞ • +∞ •∗ +∞ •2 jnω0 t ft()= Cen ∑ FRMS = ∑∑ CCn n = Cn n=−∞ nn=−∞ =−∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 7
5. 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier  Phổ biên độ của hàm f(t) +∞ • jnω0 t ft()= ∑ Cen  Hàm f(t) có khai triển phức n=−∞ • CCn= nn ∠α  Có tần số cơ bản ω0 = 2π/T  Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T  Định nghĩa : Phổ biên độ của chuỗi Fourier mũ phức của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Cn|). Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ. Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 9
6. Tổng kết : Khai triển Fourier Khai triển Fourier lượng giác +∞ a0 ft() =++∑[ anncos( ntωω00 ) b sin( nt )] 2 n=1 2 T /2 a= f() t dt 0 ∫  Hàm số chẵn : T −T /2 T /2 2 ft()= f ( −→ t ) bn = 0 a= f( t )cos( nω t ) dt n T ∫ 0 −T /2  Hàm số lẻ : T /2 2 =−−→ = = = ω ft() f ( t ) a0 an 0 bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T −T /2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 11
7. Hàm số lẻ ft()=−−→ f ( t ) a0 = an = 0 +∞ ft( )= ∑ bn sin( nω0 t ) n=1 4 T /2 = ω bn ∫ f( t )sin( n0 t ) dt T 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 13