Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - Chương 2: Tích phân Fourier & biến đổi Fourier

1. Chương 2 Tích phân Fourier & biến đổi Fourier  2.1 Tích phân Fourier  2.2 Phép biến đổi Fourier  2.3 Ứng dụng của tích phân Fourier và biến đổi Fourier  2.4 Các hàm bất thường và biến đổi Fourier của chúng Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. 2.1.1 Tích phân Fourier  Cần tìm khai triển Fourier cho f(t) trong khoảng (-∞,+∞) f(t) T →∞  Ta s ẽ bắt đầu từ fΤ(t) fT(t) -T/2 T/2 t  ft( )= lim f ( t ) Dễ thấy rằng T →∞ T Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 3
3. 2.1.1 Tích phân Fourier ωωn = n 0 42sin(nωω ) sin  0 n Đặt an = = ∆ω ∆=ωω0 Tnω0 πωn  Định nghĩa hàm biên độ  2 ω = 0 π A()ω =  2 sinω  ω > 0 πω sin(ω ) = sinc(ωω )=Sa( ) ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 5
4. 2.1.1 Tích phân Fourier 24+∞ sin(nω ) 2 sinω ft() = + 0 cos(nω t ) a = ∆ω n T T∑ Tnω 0 n n=1 0 πωn  Viết lại fT(t) +∞ ∆ω 2 sin(ωn ) ftTn() =+∆∑ {cos(ωωt )} πn=1 πωn 1 +∞ ftTn() =+∆∑ A(ωω ){cos( t )} ω π n=1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 7
5. 2.1.1 Tích phân Fourier  Lý luận tương tự khi dùng khai triển số mũ ta được tích phân Fourier mũ phức T +∞ • • 2 jnω t 1 − jnω t 0 C= f() t e0 dt fTn() t= ∑ Ce n ∫ T T n=−∞ − 2 T +∞ 2 1 − jtωω jt f() t = f() t enn dt e ∆ω T ∑ ∫ n=−∞ 2π −T 2 +∞ ft( )= lim f ( t ) = C (ωω ) ejtω d T →∞ T ∫ −∞ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 9
6. Tích phân Fourier mũ phức +∞ ft()= ∫ C (ωω ) ejtω d −∞ 1 +∞ C(ω )= ∫ f () t e− jtω dt 2π −∞ FC()ω= 2 πω () Miền t: F Miền ω: f(t) F(ω) F -1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 11
7. Ví dụ tích phân Fourier mũ phức Cho hàm f(t) định nghĩa bởi 00t ft()  −at (a 0) et> 0 Tìm tích phân Fourier mũ phức biểu diễn cho f(t) ? Giải +∞ +∞ 11− 1+∞ C(ω )= f () t e−jtωω dt= e−at e − jt dt = e−+()a j ω t ∫∫ 0 2π−∞ 2 π0 2( πωaj+ ) 1 +∞ e jtω C()ωω= ⇒=ft() ∫ d 2(πωaj++ ) −∞ 2( πωaj ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 13