Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - I. Chuỗi Fourier - Nguyen Phuoc Bao Duy

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - I. Chuỗi Fourier - Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Created and edited by: Nguyen PhuocBao Duy Phần 1: Giải tích Fourier ►I. Chuỗi Fourier II. Biến đổi Fourier s
2. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy a. Hàm tuần hoàn: Hàm f(t) gọi là hàm tuần hoàn nếu giá trị của nó được lặp lại sau một khoảng thời gian xác định: f(t) = f(t + T) 2 T: chu kỳ,  0 T
3. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier Ví dụ 1.01: kift 0 ft() kift 0 Dùng công thức Euler để tính an, bn: an 0 22kkn bn 1 cos 1 1 n nn 4k 1 1 f( t ) sin t sin 3 t sin 5 t 35
4. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier Ví dụ 1.02: f( ttift )02 2 f( tnt )sin  f(2 tf t )( ) n 1 n Ví dụ 1.03: 9 a0 3tt (0 1) 2 ft() 3 3 (1t 2) ann 2 cos 1 n f( t 2) f ( t ) 3 b n n
5. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier c. Hàm chẵn và hàm lẽ: Nếu f(t) là một hàm chẵn tuần hoàn với chu kỳ T: a 0  f( tan )cos t  n 0 2 n 1 4 T /2 af tn t dt( b )cos;0 nnT 0 0 2 a0 f( t ) t2 ( 1 t 1) 3 Ví dụ 1.05: 4 n f( t 2) f ( t ) an 2 1 n n 14 1 f( t )22 cos n t 3 n 1 n
6. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier d. Công thức lặp để tính các hệ số khai triển chuỗi Fourier: 11m  an b' n J k sin n0 t k nn 0 k 1 11m  bn a' n J k cos n0 t k nn 0 k 1 Trong đó: tk: điểm gián đoạn của f(t) trong một chu kỳ [d; d + T) Jk = f(tk+) – f(tk-): bước nhảy tại tk.
7. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier Ví dụ 1.07: 1;21 t 0;10 t ft() 1;01 t 0;12 t f(4)( tf t ) Các điểm gián đoạn của f(t) trong khoảng [-2; 2): k 1 2 3 4 tk -2 -1 0 1 Jk -1 1 1 -1
8. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier Ví dụ 1.08: fttift()02 ftft(2)() Trong trường hợp này, f’(t) ≡ 1 a’n = b’n = 0. Ví dụ 1.09: f( ttt )( 11)2 f(2)( tf t ) Trong ví dụ này, f(t) không có điểm gián đoạn nào, nhưng f’(t) lại có. a’n 0; b’n 0 f’’(t) ≡ 2 a’’n = b’’n = 0.
9. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier Hàm tuần hoàn (t) với chu kỳ  sẽ có khai triển chuỗi Fourier, và chuỗi này sẽ bằng f(t) trong khoảng [0, ) (nếu ngoài khoảng này, f(t) không xác định, hoặc xác định bằng 0, nhưng chuỗi vẫn tồn tại và khác 0). Ví dụ 1.10: Tìm khai triển chuỗi Fourier toàn kỳ của: tt(0 4) ft() 0 esle where
10. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier ii. Chuỗi Fourier bán kỳ cosin và sin Ta xác định hàm tuần hoàn mở rộng chẵn F(t) và hàm tuần hoàn mở rộng lẽ G(t) của f(t) bởi: f( tt )(0)  f( tt )(0)  Ft() Gt() ftt() (0)  ftt() (0)  F(2 tF )( t ) G(2 tG )( t )
11. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Khai triển chuỗi Fourier Chuỗi bán kỳ cosin: Định nghĩa hàm tuần hoàn chẵn F(t) bởi: fttt( )(04) Ft() fttt()(40) F(8)( tF t ) 81 F( t ) 2 ( 1)n 1 cos n t  2 n 1 ()n 4 81 f( t ) 2 ( 1)n 1 cos n t (0 t 4)  2 n 1 ()n 4
12. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Chuỗi Fourier dạng phức Từ chuỗi Fourier dạng lượng giác: a 0  f( tantbnt )cossin(*) nn00 2 n 1 Thay thế: 11jn tjn tjn tjn t sin;nteentee cos 0000 0022j Khi đó (*) trở thàn chuỗi Fourier phức: jn tjn t 1 dT f( tc );( ecf );0, t edt 1, 2, 00 n  nn d n T cn còn có thể tính theo cách khác (nếu đã biết an, bn): a a jb a jb c 0 ;; c n n c n n c* 0 2n 2 n 2 n
13. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Chuỗi Fourier dạng phức Ví dụ 1.12 (tt): Ở ví dụ 1.02 ta đã tìm được chuỗi Fourier lượng giác: 22 f( tntaab )sin2 ;0; 0 nn n 1 nn cn có thể tính được từ a0, an và bn như sau: a c 0 0 2 a jbjj a jb for n 1,2, , : c n n ; c n n nn22nn j for n 1, 2, 3, : c n n
14. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Chuỗi Fourier dạng phức Ví dụ 1.13(tt): Ở ví dụ 1.05 ta đã tính được dạng lượng giác: n 24n aa ;1 14 1 0 n 2 3 f( tn )cos; t 22 n 3 n 1 n bn 0 c có thể tính từ a , a và b như sau: n 0 n n n a jb 21 nn for n1,2, , : cnn2 c 2 n n 21 a 1 0 for n1, 2, 3, : cn 2 ; c0 n 23
15. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Phổ tần số rời rạc Dạng sóng hài của chuỗi Fourier:  f( tAAnt )cos 00 nn Chuỗi Fourier cosin n 1  f( tAAnt )sin 00 nn Chuỗi Fourier sin n 1 Trong đó: a AAab 0 ;:22Biên độ của sóng hài bậc n 0 2 nnn 11bann nn tan ; tan : Pha của sóng hài abnn bậc n
16. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Phổ tần số rời rạc Phổ tần số rời rạc phức: Sử dụng chuỗi Fourier dạng phức: jnt 0 ftce()  n n 1 jn Biến đổi các hệ số về dạng: ccennn (0;1;2; )  |cn|: biên độ  φn: pha (argument) Bởi vì |cn| = |c-n| nên phổ biên độ sẽ đối xứng qua trục tung.
17. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Phổ tần số rời rạc Ví dụ 1.15: f( tttf )2(02);(2)( tf t ) Chuỗi Fourier phức của f(t): n 2j fte()2  jnt n n Từ đó xác định: n 0 2 /nn ( 1,2,3, ) cn 2 /nn ( 1, 2, 3, ) / 2 (n 1,2,3, ) nn arg c / 2 (n 1, 2, 3, )
18. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Phổ tần số rời rạc Ví dụ 1.15 (tt): Chuỗi Fourier lượng giác của f(t): 4 ftnt()2sin  n 1 n Biến đổi về dạng sóng hài sin: 44 f( t ) 2 sin t sin 2 t 2 44 sin 3 tt sin 4 34
19. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Phổ tần số rời rạc Ví dụ 1.15 (cont): Quay lại chuỗi Fourier lượng giác của f(t): 4 ftnt()2sin  n 1 n Biến đổi về dạng sóng hài cosin: 44 f( t ) 2 cos t cos 2 t 2 2 2 44 cos 3 tt cos 4 3 2 4 2
20. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Historical Note: Charles Fourier François Marie Charles Fourier Born: 7 April 1772 Besançon, France Died: 10 October 1837 (aged 65) Paris, France Fourier was a French philosopher. Some of Fourier's social and moral views, held to be radical in his lifetime, have become mainstream thinking in modern society. Fourier is, for instance, credited with having originated the word feminism in 1837.