Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - II. Biến đổi Fourie - Nguyen Phuoc Bao Duy

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 1: Giải tích Fourier - II. Biến đổi Fourie - Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 1: Giải tích Fourier I. Chuỗi Fourier ►II. Biến đổi Fourier s
2. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Biến đổi Fourier a. Tích phân Fourier: Giả sử f(t) là một hàm không tuần hoàn. Khi đó f(t) có thể xem như ‘tuần hoàn’ với chu kỳ T Chuỗi Fourier phức của hàm ‘tuần hoàn’ f(t): jn tjn t 1 T /2 f( tc );( ecf ) t edt 00  nn T /2 n T 1 T /2 jnjn  t f( tfed )( ) e 00  T /2 n T 2 Đặt:  nn  ;     n0T n n 1 0
3. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Biến đổi Fourier b. Biến đổi Fourier: Tích phân Fourier có thể viết lại dưới dạng: Ff( t )( edt ) jt 1 f( tFed )( ) jt 2 F(ω) được gọi là biến đổi Fourier của f(t). f(t) được gọi là biến đổi Fourier ngược of F(ω). Ký hiệu: F(ω) = F{f(t)} f(t) = F-1{F(ω)}
4. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Biến đổi Fourier Ví dụ 2.01: Tìm biến đổi Fourier của hàm số sau: et at ;0 fta( );0 0;0 t F()() f t e j t dt e at e j t dt 0 1 F() aj 
5. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Biến đổi Fourier c. Phổ Fourier liên tục: Với F(ω) = F{f(t)} là biến đổi Fourier của f(t), viết lại F(ω) thành dạng mũ phức: FFewithF()(),()arg()  j() Đồ thị | F(ω)| và ϕ(ω) được gọi là phổ biên độ and phổ pha của f(t). Lưu ý: - Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số rời rạc (tương ứng với chuỗi Fourier). - Nếu f(t) không tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số liên tục (tương ứng với biến đổi Fourier).
6. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Biến đổi Fourier Ví dụ 2.03 (tt): Phổ biên độ: Phổ pha:
7. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Tính chất của biến đổi Fourier a. Tuyến tính F{a1f1(t) + a2f2(t)} = a1F{f1(t)} + a2F{f2(t)} b. Dời thời gian -jωt0 -jωt0 F{f(t – t0)} = e F{f(t)} = e F(ω) c. Dời tần số -jω0t F{e f(t)} = F(ω – ω0) d. Co giãn theo thời gian F{f(at)} = (1/a)F(ω/a)
8. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Tính chất của biến đổi Fourier h. Điều chế tín hiệu F {f(t)cos(0t)} = [F(ω + ω0) + F(ω – ω0]/2 F {f(t)sin(0t)} = j[F(ω + ω0) - F(ω – ω0]/2
9. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions a. The Unit Impluse Function δ(t): The Unit Impulse Function (or Dirac Function) is defined as: 0;0 t (tandt )( )1 dt ;0t No ordinary function behaves this way! Some real impulse approximations:
10. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions Fourier Tranform of the Unit Impulse Function: F{δ(t)} = 1 F{δ(t - T)} = e-jωT F{1} = 2πδ(ω) Integral of impulsive functions: Integral of a function with impulses has jump at each impulse, equal to the magnitude of impulse. Ex: f(t) = 1 + δ(t – 1) - 2δ(t – 2) t y()() t f d 0 y( t ) t u ( t 1) 2 u ( t 2) Check: y '( t ) f ( t )
11. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions c. Applications Example 2.05: Calculate the Fourier transform of function: 0 (|t | 2) 1 ( 2 t 1) ft() 1 ( 1 t 1) 1 (1 t 2) Using Fourier Integral: 1 1 2 F( ) e j t dt e j  t dt e j  t dt 4sinc(  ) 4sinc(2  ) 2 1 1
12. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 2: Some signal operations a. Time-shift f(t) f(t - T) A A a 0 b t a + T 0 T b + T t b. Time-inversion f(t) f(-t) A A a 0 b t -b 0 -a
13. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Exercises Calculate the Fourier transform of following functions: et at ;0 1.(fta )0 at et;0 2. sinat ; t / a 3.ft ( ) 0;ta /