Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Phép biến đổi Laplace - II. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace - Nguyen Phuoc Bao Duy

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Phép biến đổi Laplace - II. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace - Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 2: Phép biến đổi Laplace I. Phép biến đổi Laplace ►II. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace s
2. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Giải phương trình vi phân a. Tính chất biến đổi Laplace của đạo hàm Biến đổi Laplace của f(n)(t) = dnf/dtn: L{f(n)(t)} = snF(s) – sn-1f(0) – sn-2f(1)(0) - - f(n-1)(0) L {f(3)(t)} = s3F(s) – s2f(0) – sf(1)(0) - f(2)(0) L {f’’(t)} = s2F(s) – sf(0) –f’(0) L {f’(t)} = sF(s) –f(0)
3. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Giải phương trình vi phân Một số nhận xét . Ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến đổi Laplace đó là ta có thể thay thế các phép toán đạo hàm (tích phân) bằng các phép toán đại số thông thường. . Khi sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, thì các điều kiện đầu được sử dụng ngay ở bươc đầu tiên. . Phương pháp này bị hạn chế đối với các bài toán không cho trước điều kiện đầu. . Đa thức ở mẫu số của Y(s) chính là đa thức đặc trưng trong lời giải cổ điển.
4. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Giải phương trình vi phân Ví dụ 2.02: Giải các phương trình vi phân sau: a. y’’(t) + 6y’(t) + 9y(t) = sint ; y(0) = 0, y’(0) = 0 b. y’’(t) + 9y(t) = 18t ; y(0) = 0, y(π/2) = 0 Đáp án: 3123 a. y ( tetett )sincos 33tt 50102550 b. y ( ttt ) 2sin 3
5. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Giải phương trình vi phân c. Hệ phương trình vi phân Ví dụ 2.04: Giải hệ phương trình vi phân bậc nhất sau: x'( ty )'( tx )5 ty ( )3 te ( ) t ;(0)2,(0)1xy 2x '( ty )'( tx )( ty)( )3 t Đáp án: Sử dụng phép biến đổi Laplace ta được: 2 2ss 14 9 9 11 25 Xs() x() t e 2tt e s( s 2)( s 1) 2 6 3 32 s 22 s 39 s 15 15 1 t 112 t 25 t Ys() y() t e e e s( s 1)( s 2)( s 1) 2 2 2 2
6. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Ứng dụng trong kỹ thuật Mạch điện trong miền s: . Mô hình của các phần tử cơ bản trong miền s: IR(s) R • Điện trở + UR(s) - IL(s) sL L.iL(0) • Điện cảm + UL(s) - IC(s) 1/sC uC(0)/s • Điện dung + UC(s) - . Các điện áp và dòng điện trong miền s: u(t) U(s); i(t) I(s) . Mối liên hệ giữa các phần tử trong mạch được xác định bởi định luật Kirchhoff và định luật Ohm.
7. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Ứng dụng trong kỹ thuật Ví dụ 2.06: Tìm dòng i trong mạch biên sau: i(t) 1H 3W 5W 0.5F 10 t = 0: open circuit Lời giải: Trong trường hợp này, ta phải xác định các điều kiện đầu: . t < 0: mạch xác lập iAL (0)2 i(t) 3W uVC (0)10 iL(0-) + IMPORTANT NOTICE : 10 5W uC(0-) i(0 ) i (0 ) i (0) - LLL uCCC(0 ) u (0 ) u (0)
8. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Ứng dụng trong kỹ thuật Ví dụ 2.07: Xác định uC(t). iL(t) 30H + 12[1+u(t)] V 5W 0.2F uC(t) - Answer: iA(0) 2  t < 0 điều kiện đầu L uVC (0) 12 1 1 t t u( teet ) 24 243602 3  Kết quả: C uC ( tt ) 120
9. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Ứng dụng trong kỹ thuật b. Các hệ cơ học Basic elements of mechanical translational systems are masses, spings and dampers: The relationships between the forces and displacement at time t are: dx2 mass: F M Mx '' (Newton's law) dt2 spring: F K ( x21 x ) (Hooke'slaw) dx21 dx damper: F B B ( x21 ' x ') dt dt
10. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Ứng dụng trong kỹ thuật Example 2.08 (cont): We have the differential equation representing the motion of the system: x’’(t) + 6x’(t) + 25x(t) = 4sin2t Taking Laplace transform with the given initial conditions, lead to: 8 Xs() (s22 4)( s 6 s 25) 4 4ss 14 2 8( 3) 4 195ss22 4 195 ( 3) 16 42 x( t ) 2sin 2 t 4cos 2 t e 3t 8cos 4 t sin 4 t 195 195