Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 3: Phép biến đổi Lapalace

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 3: Phép biến đổi Lapalace

1. Phần 2 Toán tử Laplace  Phép biến đổi Lapalace  Phép biến đổi Lapalace ngược  Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân  Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. Chương 3 Phép biến đổi Laplace Định nghĩa  f(t) là hàm (có thể phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + jb  Ảnh của hàm f(t) qua biến đổi Laplace là hàm F(s) được định nghĩa +∞ Fs()=L { ft ()} = ∫ fte () −st dt 0−  F(s) : ảnh Laplace  f(t) : gốc  Ký hiệu khác Fs () ft () hay ft() Fs ()  Lưu ý trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét các giá trị s trong khoảng tích phân là hội tụ Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 3
3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng  Hàm dirac : δ(t) δ ()t ∞=t 0 d δ ()t =  δ ()t= ut () 00t ≠ dt t +∞ +∞ F() s= ∫∫δδ () t e−st dt= () t e0 dt = 1 00−− L {δ ()t } = 1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 5
4. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng  Hàm lượng giác : f1(t) = cos(at) s L {cos(at )} = sa22+ Miền hội tụ Re{S} > 0  Hàm lượng giác : f2(t) = sin(at) a L {sin(at )} = sa22+ Miền hội tụ Re{S} > 0 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 7
5. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng f(t) F(s) Miền hội tụ 1 ut() Re{s} > 0 s δ ()t 1 1 −at Re{sa} >− e sa+ s cos(at ) Re{s} > 0 sa22+ a sin(at ) Re{s} > 0 sa22+ n! n Re{s} > 0 t sn+1 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 9
6. Ví dụ Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau 4! s ft( )= 2 t4 − 3cos(5 t ) L { ft()} = 2 − 3 ss5 22+ 5 − 1 gt()= 4δ () t − 6 e2t L {gt()} = 4 − 6 s + 2 ππ π scos− 6sin ht( )= 3cos(6 t + ) L {ht()} = 3 33 3 s22+ 6 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 11
7. Ví dụ Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau ft( )= 2 e−−64tt t − 3 e 2 cos(5 t ) 4! s + 2 L { ft()} = 2 − 3 (ss+ 6)5 ( ++ 2) 22 5 −10t π gt( )= 3 e cos(6 t+ 3 ) (s +− 10)cosππ 6sin L {gt()} = 3 33 (s ++ 10)22 6 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 13
8. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Hệ quả dời theo t ◦ Nếu L { ft()} = Fs () −st0 ◦ Thì L { f().()tt− 00 u tt− } = e Fs () (0t0 > ) −st0 ◦ Và LL{ ftu( ). (tt− 0 )} = e {(f t + t0 )} ftutt().()(−=0 ftt +− 00000 tutt ).()().() −= gttutt − − →=+gt() f ( t t0 ) −st0 LL{ ftutt().()−=0} { gttutt ().() − 00 −} = e L{ gt ()} −st0 →LL{ ftut( ). ( −= t00 )} e{ ft() + t } Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 15
9. Ví dụ Tìm biến đổi Laplace cho các hàm sau f( t )= e−2t tut . ( − 4) −+ −+14 =−4s 2(ts 4) +=4( 2) + LL{ ft()} e{ e( t 4)} e 2 (ss++ 2) 2 −10t ππ gt( )= 3 e cos(6 t− 3).ut ( − 18) −π (s+ 10) (s + 10) L {gt()} = 3 e18 (s ++ 10)22 6 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 17
10. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Đạo hàm gốc f(t) ◦ Nếu L { ft()} = Fs () − ◦ Thì L { f'( t )} = sF( s) − f (0 ) +∞ +∞ +∞ f'() te−−st dt= s f() test dt +=− f () te−−st sFs () f (0) ∫∫ 0− 00−− L { f''( t )} = s2 F( s) −− sf(0−− ) f '(0 ) L { f()nnn() t} = sF( s) − s−1 f(0 − ) − s n −2 f '(0 − ) −− f(n −− 1) (0 ) Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 19
11. Ví dụ Cho f(t) như hình vẽ tìm biến đổi Laplace của f ”(t) ft() 2 f( t )= tut . ( ) − 3( t − 2). ut ( −+ 2) 2( t − 3). ut ( − 3) 0 2 3 t  Dùng tính chất đạo hàm 13ee−−23ss 2 Fs()=−+22 2 2 ss s d 2 −− L 2 f( t )= s F ( s ) −− sf (0 ) f '(0 ) dt ff(0−− )= 0 ; '(0 ) = 0 2 d −−23ss L 2 ft()=−+ 1 3 e 2 e dt Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 21
12. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Nhân hàm gốc cho tn [đạo hàm ảnh F(s)] ◦ Nếu L { ft()} = Fs () n n n d ◦ Thì L {tft( )} = ( − 1) Fs( ) dsn +∞ +∞ d −−st ∂ st F'() s= ∫∫ f () t e dt=  f() t e dt −−∂ ds 00s +∞ =−=−∫ [ tf. () t] e−st dtL { tf. () t} 0− d ⇒=−L {tf. () t} Fs () ds Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 23
13. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn f(t) = f(t+T) T f() t e−st dt ft() ∫ t 0 L { ft()} = 0 T 2T 3T 4T 1− e−sT ft1() ftftftftft()=++++1234 () () () () t 0 T 2T 3T 4T ft()= ft11 () + ft ( − TutT ).( −+ ) ft2 () +−f11( t 2 T ). ut ( −+− 2 T ) f ( t 3 T ). ut ( −+ 3 T ) t −−sT 2sT 0 T 2T 3T 4T Fs()=++ Fs11 () e Fs () e Fs 1 () + ft3 () Fs() 1 1 1++nn23 + n + = ; n < 1 t Fs()= − 1− e sT 1− n 0 T 2T 3T 4T Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 25
14. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Định lý giá trị cuối ◦ Nếu L { ft()} = Fs () ◦ Thì limf ( t )= f ( +∞ ) = lim sF ( s ) t→+∞ s→0+  Ví dụ minh họa 3 L {3e−2t } = s + 2 3s lim 3e−2t = 0 = lim t→+∞ s→0+ s + 2 Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 27
15. Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất f(t) F(s) Tuyến tính af11() t+ af 2 2 () t aF11() s+ aF 2 2 () s Dời theo s e−at ft() Fs()+ a −st0 Dời theo t fttutt().()−−00 e Fs() 1 s Đổi thang f() at F  aa Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 29
16. Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất f(t) F(s) T ∫ f() t e−st dt Hàm tuần hoàn ft()= ft ( + T ) 0 1− e−sT + limsF ( s ) Giá trị đầu f (0 ) s→+∞ f ()+∞ lim+ sF ( s ) Giá trị cuối s→0 Tích chập miền t f() t∗ gt () FsGs() () 1 Tích chập miền s f() tgt () Fs()∗ Gs () 2π j Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 31
17. Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) F(s) −at n n! et n+1 sa>− ()sa+ −at sa+ etcos(ω ) 22 sa>− ()sa++ω −at ω etsin(ω ) 22 sa>− ()sa++ω s22−ω tt.cos(ω ) s > 0 ()s2+ω 22 2ωs tt.sin(ω ) 2 22 s > 0 ()s +ω s cosh(ωt ) sa> s22−ω ω sinh(ωt ) sa> s22−ω Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 33