Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 4: Phép biến đổi Lapalace ngược

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 4: Phép biến đổi Lapalace ngược

1. Phần 2 Toán tử Laplace  Phép biến đổi Lapalace  Phép biến đổi Lapalace ngược  Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân  Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Tính tuyến tính (,aa12 :caùc haèng soá) −1 L {aF11() s+=+ aF 2 2 () s} a11 f () t a 2 f 2 () t  Tính dời theo s −1 L {Fs(+= a )} e−at ft () (:a soá thöïc)  Tính dời theo t − −1 st0 (0t > ) L { e Fs()().()} =−− fttutt000  Tính đổi thang đo (đồng dạng) −1 1 t L {F() as} = f  (0a > ) aa Toán K ỹ Thuật 2014 3
3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Laplace ngược của đạo hàm ảnh F(s) (nhân gốc cho tn ) L −1 {F()n ( s)} =( − 1)nn t ft ( ) L −1 {Fs()n ( )} L −1 {Fs( )} = (− 1) nnt s +1 11  Ví dụ Fs ( ) = ln →=−Fs'( ) s −1 ss+−11 →L −−1 {Fs'( )} = ett −=− e2sinh t −1 − L {Fs'( )} sinht →=ft()L 1 { Fs ()} = =2 −tt Toán K ỹ Thuật 2014 5
4. Các tính chất của phép biến đổi Laplace  Tích chập (Convolution) t L −1{FsGs() ()} =∗= f () t gt ()∫ f (τ ) gt ( − ττ ) d 0 −1 4  Ví dụ : tìm L  ss(+ 2) Giải t −111 −− 12   t −4 −−τ LL= ut();  = e →=L 1 4ue ()ττ2(t ) d + ∫ ss 2  ss(+ 2) 0 −−2(t τ ) t e − ft( )= 4 = 2(1 − e2t ) 2 0 Toán K ỹ Thuật 2014 7
5. Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ  Hàm hữu tỷ mm−1 Ps() bmm s+ b−1 s ++ bs 10 + b Fs()= = nn−1 Q() s s+ an−1 s ++ as 10 + a Ps() Fs()= ()mn< (ssss−−12 )( ) ( ss −n )  Nghiệm đơn kk k Fs() =12 + ++ n (ss−−12 )( ss ) ( ss −n )  Nghiệm bội akaa anr− =0 +12 + ++r− 1 + i Fs() rr−−12 r ∑ ()()()ss−−00 ss ss − 0 ()() ss − 0i=1 ss −i Toán K ỹ Thuật 2014 9
6. Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ  Phương pháp hàm tường minh (Clearing Fraction) ss2 −−27 ss2 −−27 Fs()= →=Fs() (sss+ 1)(2 ++ 2 5) (1)(12)(12)s+ s ++ js +− j 2 s→++= kkk1231 kk k  Fs()=++12 3 s→2 k ++ (2 jk 2) +− (2 jk 2) =− 2 + +− ++ 123 s1 s 12 js 12 j  0 s→5 k123 ++ (1 jk 2) +− (1 jk 2) =− 7 −+11jj 1 − Fs()=++ s+1 s +− 12 js ++ 12 j f( t )=L −1{ Fs ( )} =−++ e−t (1 je )−−(1jt 2) +− (1 je ) −+(1jt 2) ft( )= e−t ( −+ 1 2cos 2 t − 2sin 2 t ) Toán K ỹ Thuật 2014 11
7. Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ  Phương pháp Heviside (Heviside Cover up) 2ss2 +− 9 11 kk k Fs()= →=++Fs() 123 (ss+− 1)( 2)( s + 3) ss+−123 s + 2ss2 +− 9 11 2(− 1)2 +−− 9( 1) 11 F()s = →=k =3 + −+ 1 (1−− 2)(13) −+ (1s )(s 2)(s 3) S=−1 2ss2 +− 9 11 2(2)2 +− 9(2) 11 Fs()= →=k =1 ++− 2 (2++ 1)(2 3) (ss1) (s 2)( 3) S=2 2ss2 +− 9 11 2(− 3)2 +−− 9( 3) 11 Fs()= →=k =−2 + − + 3 (3−+ 1)(32) −− (ss1) ( 2) (3s ) S=−3 Toán K ỹ Thuật 2014 13
8. Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ  Phương pháp Heviside (Heviside Cover up)  Nghiệm đơn kk k Ps() 12 n =−= Fs() = + ++ kii( s s ) Fs ()= (ss−− )( ss ) ( ss − ) ssi Qs'( ) 12 n ss= i  Nghiệm bội akaa anr− =0 +12 + ++r− 1 + i Fs() rr−−12 r ∑ ()()()ss−−00 ss ss − 0 ()() ss − 0i=1 ss −i r a00=( s − s ) Fs () ss= 0 d 1 d i r = − r a10=(( s − s ) Fs ()) → ai i (( s s0 ) Fs ()) ds i! ds ss= 0 ss= 0 Toán K ỹ Thuật 2014 15
9. Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ  Phương pháp hỗn hợp (Hybrid Method) 4sss32+ 16 ++ 23 13 Fs()= (ss++ 1)3 ( 2) 21aa →Fs() = +12 ++ (s+ 1)32 ( s + 1) ss ++ 1 2 (s++ 1)3 ( s 2) Fs ( ) = =+4sss32 16 ++ 23 13 23 =2(sassass ++ 2)12 ( + 1)( ++ 2) ( + 1) ( +++ 2) ( s 1) 3 sa→22 +=14 → a = 3 13 1 F(0)= =+ 2 aa ++ 3 → = 1 2211 Toán K ỹ Thuật 2014 17
10. Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ  Ví dụ ss2 −−27 ss2 −−27 Fs()= →=Fs() (sss+ 1)(2 ++ 2 5) (1)(12)(12)s+ s ++ js +− j −+11jj 1 − Fs()=++ s+1 s +− 12 js ++ 12 j ft( )=L −1{ Fs ( )} =−+ e−t 2Re{ 2 ∠ 450e (−+ 1jt 2) } −−t t 0 f( t )=−+ e 2 2 e cos(2 t + 45 ) ut ( ) ft( )= e−t ( −+ 1 2cos 2 t − 2sin 2 t ) Toán K ỹ Thuật 2014 19
11. Biến đổi ngược cho các hàm hữu tỷ  Ví dụ 4sss32+ 16 ++ 23 13 Fs()= (ss++ 1)3 ( 2) 2 1 31 →Fs() = + ++ (s+ 1)32 ( s + 1) ss ++ 1 2 2 −1223tt −−tt →ft() =L { Fs ()} = ++e + e 2! 1! 0! 22−−tt f() t=( t ++ t 3) e + e ut () Toán K ỹ Thuật 2014 21
12. Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất f(t) F(s) Tuyến tính af11() t+ af 2 2 () t aF11() s+ aF 2 2 () s Dời theo s e−at ft() Fs()+ a −st0 Dời theo t fttutt()()−−00 e Fs() 1 s Đổi thang f() at F  aa Toán K ỹ Thuật 2014 23
13. Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất f(t) F(s) T ∫ f() t e−st dt Hàm tuần hoàn ft()= ft ( + T ) 0 1− e−sT + limsF ( s ) Giá trị đầu f (0 ) s→+∞ f ()+∞ lim+ sF ( s ) Giá trị cuối s→0 Tích chập miền t f() t∗ gt () FsGs() () 1 Tích chập miền s f() tgt () Fs()∗ Gs () 2π j Toán K ỹ Thuật 2014 25
14. Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) F(s) −at n n! et n+1 sa>− ()sa+ + −at sa etcosω 22 sa>− ()sa++ω ω −at etsinω 22 sa>− ()sa++ω s22−ω ttcosω s > 0 ()s2+ω 22 2ωs ttsinω 2 22 s > 0 ()s +ω s coshωt sa> s22−ω ω sinhωt sa> s22−ω Toán K ỹ Thuật 2014 27