Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 5: Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 2: Toán tử Laplace - Chương 5: Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân

1. Phần 2 Toán tử Laplace  Phép biến đổi Lapalace  Phép biến đổi Lapalace ngược  Ứng dụng biến đổi Lapace vào PT vi phân  Ứng dụng biến đổi Lapace vào Giải tích Mạch điện Toán Kỹ Thuật 2014 1
2. Dùng biến đổi Laplace  Qui trình Nghiệm Phương trình vi phân biến t y(t) Biến đổi Biến đổi Lapalce thuận Lapalce ngược Nghiệm Phương trình đại số biến s Y(S) Toán K ỹ Thuật 2014 3
3. Ví dụ : Giải phương trình vi phân 1t ∈ [0,1]  Cho biết y(0)=0 ; y’(0)=1 y"+= 4 y ft () = 0t ∉ [0,1]  Tìm nghiệm riêng y(t) Giải f() t= ut () −− ut ( 1) Biến đổi Laplace cho 2 vế 1− e−s − −s 2 −+ = 11e  sY14 Y ⇒=Y  +1 2 s ss+ 4 1− e−s  21 1 1 ⇒= − − + Y 2 8ssj−+ 22 sj s + 4 (2− 2 cos 2t) ut ( ) −−( 2 2 cos 2(t − 1)) ut ( − 1) sin 2t yt()= + ut() 82 Toán K ỹ Thuật 2014 5
4. Ví dụ : Giải phương trình vi phân y"5'6++=+ y yf ' f  Cho biết y(0-)=2 ; y’(0-)=1 −4t f() t= e ut ()  Tìm yzero_input ; yzero_state Giải s 1 (s2 Y− 2 s −+ 1) 5( sY − 2) + 6 Y = + ss++44 s +1 ⇒Ys(2 ++= 5 s 6) + 2s + 11 s + 4 Do f(t) Do sơ kiện  Nghiệm zero_state là nghiệm gây ra do tác động f(t)  Nghiệm zero_input là nghiệm do sơ kiện Toán K ỹ Thuật 2014 7
5. Ví dụ : Giải phương trình vi phân y"5'6++=+ y yf ' f  Tìm nghiệm tổng quát y(t) f() t= e−4t ut () Giải Trường hợp này không có sơ kiện  Đặt y(0-)=A ; y’(0-)=B s 1 (sYAsB2 −−+) 5( sYAY −+ ) 6 = + ss++44 s +1 As2 ++ Cs D ⇒Y( s2 + 5 s + 6) = +As +5 A += B ss++44 As2 ++ Cs D kkk ⇒=Y =12 + + 3 (sss+++ 2)( 3)( 4) s + 2 s + 3 s + 4 −−−234ttt →=y() t( ke123 ++ ke ke) u() t Toán K ỹ Thuật 2014 9
6. Ví dụ x'2= xy − 3 x(0)= 8 Giải hệ:  Biết:  yyx'2= − y(0)= 3 Giải sX−=82 X − 3 Y  Biến đổi Laplace  sY−=32 Y − X  53 X = +  ss+−14  Giải trong miền s  52 Y = −  ss+−14 xt()= 5 e−tt + 3 e4  Biến đổi ngược  −tt4 yt()= 5 e − 2 e Toán K ỹ Thuật 2014 11