Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - I. Hàm biến phức - Nguyen Phuoc Bao Duy

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - I. Hàm biến phức - Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 3: Hàm biến phức  I. Hàm biến phức II. Chuỗi phức III. Tích phân đường IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư s
2. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Định nghĩa Hàm biến phức là hàm có biến là số phức. w = f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) with z = x + jy Ví dụ 1.01: w z22 () x 2 .2 y j xy 1 x y wj . z x2 yx 22 y 2 w eaz eay ax cos.sin j ay
3. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Giới hạn, liên tục và khả vi Nếu lim()()fzfz 0 zz 0 ta nói rằng f(z) liên tục tại z0. Điều kiện ở đây là f(z0) phải được xác định và f(z) tiến đến f(z0) khi z tiến đến z0 theo quỹ đạo bất kỳ. f(z) khả vi tại z0 nếu tồn tại giá trị L: f()() z z f z lim00 L f '( z ) z 0 z 0 Với ∆z là số phức và tiến về 0 theo quỹ đạo bất kỳ.
4. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Phương trình Cauchy-Riemann Cho w = f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) khả vi tại z = x + jy, khi đó tại giá trị (x,y): uvvu and (*) xyxy và uvvu f'( zjj ) xxyy (*) được gọi là phương trình Cauchy-Riemann  Nếu f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) thõa mãn phương trình Cauchy-Riemann tại z0 và tại mọi điểm thuộc lân cận của z0, ta nói rằng f(z) giải tích tại z0.  Nếu f(z) giải tích tại mọi giá trị của z, f(z) là một hàm giải tích.
5. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 4. Hàm giải tích và hàm điều hòa Hai hàm thực u(x,y) và v(x,y) thõa mãn phương trình Cauchy-Riemann với mọi giá trị x, y R được gọi là một cặp hàm liên hợp. Một hàm thõa mãn phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa. u(x,y) là một hàm điều hòa nếu: 22uu 0 Laplace equation xy22 Nếu f(z) = u(x,y) + j.v(x,y) là hàm giải tích, khi đó cả u(x,y) và v(x,y) đều là hàm điều hoài, khi đó chúng được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp.
6. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 4. Hàm giải tích và hàm điều hòa Ví dụ 1.05: Given u(x,y) = ex(xcosy – ysiny) a. Chứng minh u(x,y) là hàm điều hòa b. Tìm hàm liên hợp v(x,y) sao cho w = u + j.v là hàm giải tích. c. Chỉ ra rằng v(x,y) cũng là một hàm điều hòa. Đáp án: 22uu a. Kiểm tra phương trình Laplace 0 xy22 b. Dùng phương trình Cauchy-Riemann để tìm v(x,y): v( x , y ) ex ( x sin y y cos y ) wfzex ( ) x ( cos yy sin yjex ) . x ( sin yy cos yze ) z
7. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 4. Hàm giải tích và hàm điều hòa Ví dụ 1.06 (tt): Kiểm tra u’x = v’y và u’y = -v’x F1(y) = c1, F2(y) = c2 (c1, c2: hằng số) eexx f( zyycjyyc )(cos3sin ).(3cossin ) 12 55 ee3 Kiểm tra với f(1) = 1 cand 1 c 1255 exx e e3 e f( z ) (cos y 3sin y ) 1 j . (3cos y sin y ) 5 5 5 5 13 j f( z ) ( ez e ) 1 5
8. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 5. Một số hàm biến phức cơ bản Ví dụ 1.07: giải phương trình ez = 1 + 2j Đáp án: eeyjeyjzxx cossin1 2 eyexxcos15 2 x eyysin2tan2 1 zj ln 5tan 2 1 2 Ví dụ 1.08: Chứng minh các hàm sau đây là các hàm giải tích: 1 2 afze.().().() zz bfze z cfzze
9. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 5. Một số hàm biến phức cơ bản Ví dụ 1.09: Tính: a. sin(1 – 4j) b. cos(3 + 2j) Ví dụ 1.10: Chứng minh rằng: a. sin(z + w) = sinz.cosw + cosz.sinw b. cos(z + w) = cosz.cosw – sinz.sinw Ví dụ 1.11: Chứng min f(z)=cos2z là hàm giải tích.
10. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 5. Một số hàm biến phức cơ bản Example 1.12: Calculate lnz with a. z = 1 + j b. z = -3 Solution: j a.12ln(1 zjejjn ) ln4 22 4 b.3 zej 3ln( n 3)j ln 3(2 1) In complex plane, we can take the logarithm of a negative number!
11. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 5. Một số hàm biến phức cơ bản Example 1.13: a. Calculate 4th roots of 1 + j b. Calculate 5th roots of 1 (5th roots of unity) Solution: 1 j jk 2 a. 1 j 2 e42 2 e 4 1 jk 2 /4 w4 1 j w 28 e 4 with k 0,1,2,3 11 99 w 288 cos j sin ; 2 cos j sin ; 16 16 16 16 11 17 17 25 25 288 cos jj sin ; 2 cos sin 16 16 16 16
12. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 5. Một số hàm biến phức cơ bản 5.5. Complex Power zw zewithww z ln z w are complex, numbers Example 1.14: Compute all values of (1 – j)1 + j Solution (1 je )1 j (1 j )ln(1 j ) jn 2 4 1 j 2 e ln(1)ln2 j j 2 n 4 (1 j ) ln 2 j 2 n 2n jn ln 2 2 e(1 jj )ln(1 ) e 4 eln 2 e4 e 4 1 j 2n (1 j ) 2 e4 cos ln 2 j sin ln 2 44