Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - II. Chuỗi phức - Nguyen Phuoc Bao Duy

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - II. Chuỗi phức - Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 3: Hàm biến phức I. Hàm biến phức  II. Chuỗi phức III. Tích phân đường IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư s
2. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Định nghĩa Một chuỗi phức tổng quát có dạng:  fzfzfzfznn( )( )(12 ) ( ) n 0 trong đó fn(z) là một hàm phức theo biến z. Ví dụ 2.01: Xét chuỗi: 1  zzn zif1 ;| z |2 1 n 0 1 z Chuỗi trên hội tụ về 1/(1 – z) khi |z| 1.
3. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Chuỗi lũy thừa Một chuỗi phức có dạng n 2  an ( z z0 ) a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) n 0 với các hệ số ai là hằng số và z0 là một điểm cố định trong mặt phẳng phức, được gọi là một chuỗi lũy thừa quanh điểm z0. ROC của chuỗi lũy thừa: a z z R with R lim n 0 n an 1
4. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Chuỗi lũy thừa Ví dụ 2.03 (tt): Nhận xét: Chúng ta có thể chọn bất kỳ một điểm z0 trong mặt phẳng phức và xác định 1 chuỗi lũy thừa hội tụ về 1/(z – 3) với miền hội tụ là một hình tròn tâm z0, bán kính R.
5. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Chuỗi Taylor Một chuỗi lũy thừa có dạng 1 ()nn f( z ) f ( z00 )( z z ) n 0 n! trong đó f(z) là một hàm phức giải tích bên trong và trên biên một đường cong kín C, được gọi là khai triển chuỗi Taylor của f(z) quanh điểm z0. ROC của chuỗi Taylor: z z0 R
6. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Chuỗi Taylor Một chuỗi Taylor với z0 = 0 được gọi là chuỗi Maclaurin. Ví dụ 2.05: Xác định khai triển chuỗi Maclaurin của các hàm số sau: a. ez b. sinz c. cosz n 23 z z z z Đáp án: a. e  1 z n 0 n! 2 6 z2n 1 z 3 z 5 b.sin z  ( 1)n z n 0 (2n 1)! 6 120 z2n z 2 z 4 cz.cos  ( 1)n 1 n 0 (2n )! 2 24
7. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Chuỗi Taylor Đáp án ví dụ 2.06 (tt): 21n zzn b. f2 ( zROC )1;:2 21 z  n z 44n 0 z 1 n c. f3 ( zzROC )1 2;:1 z  z 1 n 0 11 n d. f4 ( zzROC )1;:1 21 z  n zz 3 22 n 0
8. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 4. Chuỗi Laurent Nếu f(z) giải tích trong hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường tròn C1 và C2 có bán kính lần lượt là r1 và r2 (r1 < r2) và đồng tâm tại z0, khi đó f(z) được biểu diễn bằng chuỗi Laurent: n fzczz()()  n 0 n  ROC của chuỗi Laurent: rzzr102  r1 có thể bằng 0  r2 có thể bằng  Xác định chuỗi Laurent bằng cách khai triển chuỗi nhị thức.
9. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 4. Chuỗi Laurent Ví dụ 2.08: Tìm khai triển chuỗi Laurent quan điểm (a) z = 0 và (b) z = -1 của hàm phức sau: 1 fz() zz2 (1) Xác định miền hội tụ trong mỗi trường hợp. Đáp án: 11 nn a.()()() f z22 z z z( z 1) z nn 02 11 1 zz 2 z2 z ROC: 0 z 1
10. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 4. Chuỗi Laurent Ví dụ 2.09: Xác định khai triển chuỗi (Taylor, Laurent) của hàm 1 fz() (1)(3)zz trong các miền sau: a. 1 3 c. 0 < |z + 1| < 2 d. |z| < 1