Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - III. Tích phân đường phức - Nguyen Phuoc Bao Duy
2. Định lý Cauchy
Đường cong kín: là đường cong có điểm đầu và
điểm cuối trùng nhau, có thể đơn hoặc không đơn:
Định lý Cauchy: Nếu f(z) là hàm giải tích với đạo hàm
f’(z) liên tục tại mọi điểm bên trong và trên đường
cong kín đơn C, khi đó:
Goursat sau này chứng minh được rằng định lý
Cauchy đúng cho cả trường hợp f’(z) không liên tục
trên C.
Đường cong kín: là đường cong có điểm đầu và
điểm cuối trùng nhau, có thể đơn hoặc không đơn:
Định lý Cauchy: Nếu f(z) là hàm giải tích với đạo hàm
f’(z) liên tục tại mọi điểm bên trong và trên đường
cong kín đơn C, khi đó:
Goursat sau này chứng minh được rằng định lý
Cauchy đúng cho cả trường hợp f’(z) không liên tục
trên C.
13 trang
27/12/2022
2760
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - III. Tích phân đường phức - Nguyen Phuoc Bao Duy", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- bai_giang_toan_ki_thuat_phan_3_ham_bien_phuc_iii_tich_phan_d.pdf
Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - III. Tích phân đường phức - Nguyen Phuoc Bao Duy
- Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 3: Hàm biến phức I. Hàm biến phức II. Chuỗi phức III. Tích phân đường phức IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư s
- Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Tích phân đường phức . Cho f(z) là một hàm phức liên tục tại mọi điểm trên một đường cong đơn C trong mặt phẳng z và hai điểm đầu a và b: n fz()lim() dzfzz C z 0 kk k k 1 . Nếu z = x + jy và f(z) = u(x,y) + jv(x,y): f()(,)(,)() z dz u x y jv x y dx jdy CC
- Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Tích phân đường phức 1 Ví dụ 4.02: Tính tích phân đường phức dz C n 1 ()zz 0 với C là đường tròn |z – z0| = r (r là hằng số) Đáp án: 1 2(0) jn dz C n 1 ()zz 0 0(0) n
- Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Định lý Cauchy Miền giới hạn: là miền được giới hạn bởi các đường cong kín, có thể đơn liên hoặc đa liên: . Tích phân không phụ thuộc đường đi: Nếu f(z) giải tích trong một miền đơn liên D, khi đó tích phân của f(z) không phụ thuộc vào zz đường lấy tích phân 22f()() z dz f z dz zz trong D. 11 CC12
- Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Định lý Cauchy . Nếu f(z) có hữu hạn các điểm bất thường z = zi (i = 1,2, ,n) bên trong một đường cong kín đơn C, và có n đường con kín i bao quanh các điểm bất thường này (mỗi đường i chỉ bao quanh duy nhất một điểm bất thường zi), khi đó: f( z )( dzf )( z ) ( dzf ) z dzf z dz C112 n
- Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Định lý Cauchy . Công thức tích phân Cauchy: Cho f(z) là một hàm giải tích bên trong và trên biên một đường cong kín đơn C. Nếu z0 là một điểm bất kỳ bên trong C, thì khi đó: fz() dzj f2. z ( ) C 0 zz 0 f( zj )2 dzfz .(()n ) C n 1 0 ()zz 0 n! Ví dụ 4.05: Tính tích phân đường: 2z f()() z dz with f z C (z 1)( z 2)( z j ) với C là đường cong bao cả ba điểm z = 1, - 2 and –j.
- Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Định lý Cauchy Ví dụ 4.06: Tính tích phân đường z4 I dz C (z 1)3 với C là đường cong kín bao quanh z = 1. Đáp án: I = 12πj
