Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư - Nguyen Phuoc Bao Duy

Nội dung text: Bài giảng Toán kĩ thuật - Phần 3: Hàm biến phức - V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư - Nguyen Phuoc Bao Duy

1. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 3: Hàm biến phức I. Hàm biến phức II. Chuỗi phức III. Tích phân đường phức IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư  V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư s
2. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Định lý thặng dư . Định lý thặng dư: Nếu f(z) là một hàm giải tích bên trong và trên đường cong kín C, ngoại trừ tại một số hữu hạn điểm cực zi (i = 1, 2, n), khi đó: n fz()2Res(), dzjfzz C  i  i 1 Ví dụ 5.01: Tính tích phân zzz32 1 dz C zz3 4 với C là đường tròn: a. |z| = 1 b. |z| = 3
3. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 1. Định lý thặng dư Ví dụ 5.02: Tính tích phân dz C zzz32(22) với C là đường tròn |z| = 3. Đáp án: 1 1 11 1 f( z )2 dzjjj .0 C 4 8 88 8
4. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Tính tích phân thực Ví dụ 5.03: Tính tích phân dx (x22 4) Đáp án: dxdz (4)(4)xz2222 C với C là đường cong kín vô cùng lớn, bao toàn bộ nữa trên mặt phẳng phức. Dùng định lý thặng dư (hoặc công thức tích phân Cauchy) để tính tích phân phức ở vế phải: dx dz 1 2 jj .Res ; 2 2 2 2 2  2 2 (x 4)C ( z 4)  ( z 4) 16
5. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Tính tích phân thực Hệ quả 2: Tích phân có cận với dạng: Px() n f( xaxdxaxdxf )coscos2 ImRes( z ez ), jaz  i Qx() i 1 Px() n f( xaxdxaxdxf )sinsin2 ReRes( z ez ), jaz  i Qx() i 1 Trong đó . P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và m, với m > n + 1. . zi (i = 1,2, ,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên mặt phẳng phức, tức là Im{zi} > 0.
6. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Tính tích phân thực Loại 2: Tích phân hữu hạn có dạng sau: 2 IG (sin ,cos  )d  0 trong đó G là hàm phân thức của sin và cos . Đổi biến z = ej, khi đó: 1 11 1 sin; cos zz 22j zz dz d jz Tích phân I trở thành: I f( z ) dz where C is the unit circle z 1 C
7. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 2. Tính tích phân thực Ví dụ 5.06: Tính các tích phân sau: 2 cosd a. 0 32cos  dx b. xx2 225 Đáp án: 35 a.1 5 b. 26
8. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy 3. Tìm biến đổi Laplace ngược Đáp án ví dụ 5.07: 1 Re s{F ( s ),2} eeztt 2 4 1 Re s{F ( s ), eeztt 2} 2 36 12 Re s{F ( s ),1} eteezttt 39 1112 L-1{F(s)} = f(t) eetee22tttt 43639