Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Đại cương về xác suất

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Đại cương về xác suất

1. CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT §1:Biến cố và quan hệ của giữa các biến cố 1. Phép thử và biến cố. 2. Phân loại biến cố : gồm 3 loại - Biến cố chắc chắn:  - Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:  - Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C 3. So sánh các biến cố. Định nghĩa 1.1: AB (A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu A xảy ra thì B xảy ra.Vậy AB AB= BA Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 1 @Copyright 2010
2. • Hình 1.1 Hình 1.2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 3 @Copyright 2010
3. §2: Các định nghĩa xác suất • 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất • Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy. Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố. A Khi ấy xác suất của biến cố A là: m =()A n • Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên ra 5 bi. Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng. 32 • Giải CC 64 . ( phân phối siêu bội) = 5 C10 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 5 @Copyright 2010
4. • Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn. Tính xác suất để 3 đoạn đó lập thành3 cạnh của 1 tam giác. • Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x-y xy 0, 0  x+ y l l xy+ 2 x+ y l − x − y l 1 D x +−− l x y y y () A = 24 y+ l − x − y x l x 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 7 @Copyright 2010
5. • Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng có kẻ những đường thẳng song song cách nhau 1 khoảng là 2a một cây kim có độ dài 2t<2a.Tính xác suất để cây kim cắt 1 trong các đường thẳng song song Giải: Gọi I là điểm giữa cây kim ,IH là khoảng cách từ I tới đường thẳng gần nhất; là góc nghiêng.Khi ấy ta có: 0   dt  = . a 0 h = IH a 0  D 0 h IK = t sin 2t diện tích D = tsin d= 2 t  ( A ) = 0 a Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 9 @Copyright 2010
6. HÌNH 2.3 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 11 @Copyright 2010
7. §3: Các định lý xác suất 1: Định lý cộng xác suất Định lý 3.1. P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) nn n−1  AAAAAAAPAAAi =  ( i) −  ( i j) +  ( i j k) + + ( − 1) (12 n ) i=11 i = i j i j k Ví dụ 3.1: Có k người lên ngẫu nhiên n toa tàu (k>n).Tính xác suất để tất cả các toa đều có người lên Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 13 @Copyright 2010
8. Bài giải • A - tất cả các toa đều có người lên  • - có ít nhất 1 toa không có người lên. n • Ai - toa thứ i không có người lên, i =1, 2, n  =  Ai i=1 (n−1)k( n − 2) k( n − 3) k   =CCC1 − 2 + 3 ( ) nnk n n k n n k k n 1 + +( − 1) C n−1 . + 0 n nk ( ) =1 − ( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 15 @Copyright 2010
9. 2. Định lý nhân xác suất • Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu là P(B/A). • Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B • Ngôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho A tính xác suất B. • Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) ( 12. n) =( 121312) .( / ) .( / ) ( n /  121  n− ) ( ) ( )./ (  ) • Hệ quả: ( / ) = = ( ) ( ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 17 @Copyright 2010
10. Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất. • Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất hỏng của chi tiết thứ i là P i . Tính xác suất để mạng hỏng. • Giải:  - biến cố chi tiết thứ i hỏng n i  =  A - biến cố mạng hỏng  i i=1 • Vậy xác suất để mạng hỏng là: n n =( ) =−=−i1 i 1 ( 1 −12)( 1 −) ( 1 − n )  i=1 ( ) i=1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 19 @Copyright 2010
11. Số cách để có ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng9 : • 1+2+6 suy ra có 3! cách • 1+3+5 suy ra có 3! cách • 1+4+4 suy ra có 3 cách Suy ra có 15 cách để có ít nhất một mặt 1 chấm và tổng bằng 9 2. 6.5.4 =(C) 63 1 ( / C) = 3.5.4 2 ( C) = 63 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 21 @Copyright 2010
12. Chú ý: n 1. ( /// ) = (HHii ) (  ) i=1 ( ) 2. ( / ) = ( ) n Với: ( ) = (HHii) (  / ) i=1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 23 @Copyright 2010
13. Cách 1: ( ) = (HHHH1) ( // 1) + ( 2) (  2 ) 1 4 1 5 =+ 2 10 2 12 14 (HH) (  / ) . (H / ) =11 = 2 10 1 ( ) PA() 15 ( HH) (  / ) . (H / ) =22 = 2 12 2 ( ) PA() =( //.//./) (HHHH1 ) ( 1 +) ( 2 ) ( 2 ) 3/9 4/11 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 25 @Copyright 2010
14. Chú ý • Nếu sau lần 1 đã lấy được bi trắng ta trả bi vào hộp rồi mới lấy tiếp lần 2 thì lời giải thay đổi như sau: 34 → ; 9 10 45 → 11 12 • P(B)=P(A), trong cả 2 bài toán. • Giả sử lần 1 đã lấy được bi trắng tính xác suất để bi đó lấy được ở hộp1 thì đáp số là: PHA(/)1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 27 @Copyright 2010
15. k= n +11 p − Định lý 3.6: k0 =+ ( n1) p hoặc 0 ( ) k n • Chú ý: =(n, k ,1/ 2) Cn .( 0,5) • Ví dụ 3.6: Tung cùng lúc 20 con xúc xắc. 1. Tính xác suất để có đúng 4 mặt lục xuất hiện. 2. Tính số mặt lục có nhiều khả năng xuất hiện nhất. Giải: 4 4 16 1)=( 20,4,1/6) C20 ( 1/6) .5/6( ) 2)kk00= ( 20 + 1) / 6 = 3  = 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 29 @Copyright 2010
16. • Giải : Gọi A là biến cố nhận được chấm, H1 là biến cố truyền đi chấm, H2 là biến cố truyền đi vạch. ( ) = ( HHHH1).// (  1) + ( 2) (  2 ) 5 3 3 1 1 = + = 8 5 8 3 2 53 . ( HH) (  / ) 3 ( H / ) =11 =85 = 1 ( ) 1 4 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 1 31 @Copyright 2010