›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên

•Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.

•Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

•Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

ppt 43 trang thamphan 28/12/2022 2580
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pptbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_2_dai_luong_ngau_nhien_ve.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

  1. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên §1: Đại lượng ngẫu nhiên • Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu nhiên nhận một số giá trị với xác suất tương ứng xác định. • Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được • Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số. Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 1 @Copyright 2010
  2. Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng  1 2 3. . . 19 20 x  p pq pq2 . pq18 q19 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục): • Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là: FX (x) = F(x)= (X x) Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm các t/c đặc trưng 2. F(− ) = 0, F(+ ) =1 3. (a X b) = FX (b)− FX (a) Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F X ( x ) liên tục trên toàn trục số Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 3 @Copyright 2010
  3. Chú ý: Hàm phân phối F X ( x ) = 0 bên trái miền giá trị của X và bên phải miền giá trị của X. FX (x) =1 • 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục) • Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là: / fXX( x) == f( x) F( x) • Định lý 2.1: x x F x= f t dt XX( ) ( ) − • Tính chất: (1) fx ( ) 0  +  t/c đặc trưng (2) f ( x ) dx = 1 −  b (3)P ( a X b ) = f ( x ). dx X a Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 5 @Copyright 2010
  4. 2. Hãy tìm hàm phân phối FxX ( ) 0 nếu x<0 xx 4 2 sin 2x F x= f t dt =cos2 tdt = x + X ( ) ( ) , nếu 0 x − 0 2 2 1 ,nếu x /2 3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng: (− / 4, / 4) ( − / 4 XFF / 4) =( / 4) −( − / 4) /4 /4 ( − /4 X /4) = f( x) dx = (4/)cos 2 xdx − /4 0 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 7 @Copyright 2010
  5. X 1 2 . . .k . . . X kk−−11  pqpqqpqp11212112+( + ) qq 12( pqp 112 + ) . . . Y 0 1 2 . . .k . . . Y pqpqp++ qqqpqp . . . qqkk−−11 . . .  11221( ) 121221 ( ) 12   Z 2kk− 1 2 Z k−1 k − 1 k k − 1  q1 q 2 p 1 q 1 q 2 p 2 , k = 1,2, Xác Suất Thống Kê. Chương 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính @Copyright 2010 9
  6. y Y y1 y2 yh Px X x1 P11 P12 P1h P1 x2 P21 P22 P2h P2 x xk Pk1 Pk2 Pkh Pk PY q1 q2 qh 1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 11 @Copyright 2010
  7. 5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục) Định nghĩa 3.1: F( x,, y) = ( X x Y y) Tính chất: (1) F ( x , y ) là một hàm không giảm theo từng biến (2) FF(− , − ) = 0, ( + , + ) = 1 (3)(,)(,)(,)(,)(,)a X bcY d = Fac + Fbd − Fad − Fbc Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ mặt phẳng. (2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên, khi ấy ta có: F(,) x y=  pij xxi yyj Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 13 @Copyright 2010
  8. . (1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X: X 02 X (2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y P 0,3 0,7 0,1 0,3.0,4XY , là phụ thuộc (3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5: X 02 0.2 0.4 (4)Tìm hàm phân phối: P XY/5= 0.6 0.6 0, xy 03  0.1, 0 xy 2,3 5 F( x, y) =+ 0.1 0.2, 0 xy 2,5 0.1+ 0.3, 2 xy ,3 5 1, 2 xy ,5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 15 @Copyright 2010
  9. . HINH 3.1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 17 @Copyright 2010
  10. .Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề: FX ( x) = F( x, + ) FY ( y) = F( + , y) 4.Điều kiện độc lập của X và Y X,Y độc lập =f( x,. y) fXY( x) f( y) =F( x,. y) FXY( x) F( y) 5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện: f( x, y ) fx()= 0 X/ Y= y0 fyY ( 0 ) f( x, y) fy()= 0 Y/ X= x0 fxX ( 0 ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 19 @Copyright 2010
  11. (2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề. + f x== f x, y dy X ( ) − ( ) 0 , neáu x 0 ; = + (hình 3.2) 2e−x − y dy= 2 e −2 x , neáu x 0 x Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 21 @Copyright 2010
  12. HÌNH 3.3 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 23 @Copyright 2010
  13. 4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2(HÌNH 3.4) 0,xx 0  2 fx( ,2) fx()==2e−−x 2 XY/2= ,0 x 2 fY (2) −−24 2(ee− ) Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3(HÌNH 3.5) 0 nếu y<3 fy3, ( ) −−3 y fyYX/3= ()== 2e f 3 X ( ) −6 nếu y 3 2e Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 25 @Copyright 2010
  14. HÌNH 3.5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 27 @Copyright 2010
  15. HÌNH 3.6 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 29 @Copyright 2010
  16. HÌNH 3.8 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 31 @Copyright 2010
  17. $4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên YX= ( ) 1. Trường hợp rời rạc. Giả sử: ( x = xi) = p i ( Y = y j) =  p i (xyij)= Ví dụ 4.1 : Cho X -2 -1 0 1 2  0,1 0,2 0,1 0,2 0,4 Suy ra:  0 1 4 YX= 2 0,1 0,2+0,2 0,5 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 33 @Copyright 2010
  18. 2. Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục X fXXYY( x),,? F( x) = F( y) f( y) Bước 1. Tìm miền giá trị của YX= ( ) Bước 2. FY ( y) = ( Y y) = ( ( X) y) = f x dx X ( ) Bước 3. (xy) dF( y) fy()= Y Y dy Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 35 @Copyright 2010
  19. Ví dụ 4.3 : Cho X có phân phối đều trên đoạn [0,1] . (1) Tìm hàm mật độ của Y= - lnX (2)Tìm hàm mật độ của Z= - 3X+2 Bài giải: B1: Y= - lnX > 0 B2: − y FY (y) = P(Y y) = P(−ln X y) = P(X e ) = −−yy 1−P( X e) = 1 − FX ( x) , x = e Vì X có phân phối đều trên đoạn [0,1] nên 0,x 0 FX ( x) = x,0 x 1 1,x 1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 37 @Copyright 2010
  20. $4. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên ZXY= (,) 1. Trường hợp rời rạc. Giả sử: (,)X = xi Y = y j = pij ( Z = z k ) =  p ij Ví dụ 4.1: Cho X,Y có bảng (xi, y j)= z k Y 3 5 X 0 0,1 0,2 2 0,3 0,4 Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y và X.Y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 39 @Copyright 2010
  21. . Bước 2 FZ ( z) = ( Z z) = ( ( X, Y) z) = f( x, y) dxdy Dz :, ( x y) z dF() z Bước 3. fz()= Z Z dz Ví dụ 4.2:  1 ,nếu 0 xy , 1 f(,) x y = 0 ,nếu trái lại. Tìm hàm phân phối của Z=X+Y Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 41 @Copyright 2010
  22. • HÌNH 4.1 • HÌNH 4.2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 2 43 @Copyright 2010