Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên

1. Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên. §1 Kỳ vọng 1. Định nghĩa   =x = p   = x p Định nghĩa 1.1: Giả sử ( i) i( )  i i i Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là + fx   = x. f x dx X ( ) ( ) X ( ) − Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X 2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 1 @Copyright 2010
2. §3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và (  =xpii) = Mod  = x neáu p = Max p i00 i i Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm , ta có fxX ( ) Mod  = x00 neáu fXX( x) = Max f( x) 2. Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med = m (  m) 1/ 2, ( X m) 1/ 2 Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì m 1 MedX= m F() m = f( x) dx = XX − 2 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 3 @Copyright 2010
3. 2 /2 2 D( X) = xcos xdx − − 1 = − 3 0 2 ( X 2 ) Mod X =0 mm Med X = m f( x) dx =cos xdx = 1/ 2 − X 0 sinmm = 1/ 2 = / 6 Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau 1 2 m − 1 m m + 1 k  p pq pqm−2 pq m − 1 pq m pq k − 1 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 5 @Copyright 2010
4. . m−1 m−1 1 1− q m−1 q p. 1/ 2 1− q 1/ 2 2 1− q m q 1/ 2 m 1 1− qm 1/ 2 q 2 mln q − ln 2,( m − 1) ln q − ln 2 −−ln 2 ln 2 +1 m lnqq ln Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 7 @Copyright 2010
5. Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode Stat On(Off) • Nhập: Mode Stat 1-var xnii 2 0,4 5 0,3 7 0,3 AC: báo kết thúc nhập dữ liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x =→ ( ) = 4,4 xn=→( ) = 2,107 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 9 @Copyright 2010
6. Ví dụ 3.4: Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân đối,đồng chất .Gọi X là tổng số điểm nhận được. Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i  = 1 +  2 + +  5 =( ) ( 1) + +( 5) = 5 ( 1 ) Xi độc lập =+++=DDDDD( ) ( 1) ( 2) ( 5) 5 (  1 ) X 1 2 6 7 35 1 ( ) =, D( ) = 1 1 1 112 12 P X 6 6 6 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 11 @Copyright 2010
7. . 2 /2 sin1 x /2 ===(Yxxdx) sincos 0 220 3 /2 /2 22 sin1x ===(Yxxdx) sincos 0 0 33 2 111 D( YYE) = −=−= Y( 2 ) ( ( )) 3412 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 13 @Copyright 2010
8. HÌNH 5.1 y 1  → 0 1 X Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 15 @Copyright 2010
9. §6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) 2. Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0 (2) cov(X,X) = D(X) m n m n (3)cov i , YY j =  cov(  i , j ) i=1 j = 1 i = 1 j = 1 m m m (4)cov i ,   k = DX(  i) +  cov(  i , k ) i=1 k = 1 i = 1 i k Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 17 @Copyright 2010
10. • Ví dụ 6.1:Cho các biến ngẫu nhiên  1 ,  2 , ,  mn ; YYY 1 , 2 , , có phương sai đều bằng 1 và cov(i ,  j) =p1 ;cov( Y i , Y j) = p 2 ;cov(  i , Y j ) = p 3 Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên: U=++( 1 2 +mn) v à V =( Y 1 ++ Y 2 + Y ) Giải: m n m n cov(U , V) = cov  i ,  Y i =  .  cov(  i , Y j ) = m . n . p3 i=1 j = 1 i = 1 j = 1 m n m D( U) =cov  i ,  X k =  D(  i) +  cov(  i ,  k ) = m + m ( m − 1). p1 i=1 k = 1 i = 1 i k D( V) = n + n( n − 1). p2 cov(UV , ) m n p R == 3 UV UV. ( ) ( ) m+ m( m −1) p12 . n + n( n − 1) p Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 19 @Copyright 2010
11. b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa dữ liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập dữ liệu : xi,; y j p ij M + Cách đọc kết quả: SHIFT S-VAR xX=→ ( ) SHIFT S-VAR x n=→ ( X ) SHIFT S-VAR yY=→ ( ) SHIFT S-VAR y n=→ ( Y ) SHIFT S-VAR rR=→ XY SHIFT S-SUM xy=→ ( XY ) Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 3 21 @Copyright 2010
12. .Bảng trên tương đương với bảng sau: xi y j nij 0 3 0,1 0 5 0,2 2 3 0,3 2 5 0,4 Khoa Khoa Học và Máy Tính Xác Suất Thống Kê. Chương 8 23 @Copyright 2010