Bài giảng Xác suất thống kê - Chương I: Các định lý xác suất

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương I: Các định lý xác suất

1. Giới thiệu môn học Môn học: XÁC SUẤT THỐNG KÊ Số tiết: 45 Cách tính điểm: - Kiểm tra giữa kz ( trắc nghiệm): 20% - Bài tập lớn theo nhóm ( ƯD phần mềm thống kê): 20% - Thi cuối kz (Tự luận 90 phút): 60% 1
2. PHẦN I: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT • Lý thuyết xác suất là bộ môn Toán học xác lập những quy luật tất nhiên ẩn giấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên khi nghiên cứu một số lớn lần lặp lại cùng các hiện tượng ấy. Việc nắm bắt những quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. • Các khái niệm đầu tiên của xác suất hình thành vào giữa thế kỷ 17, gắn liền với tên tuổi của các nhà bác học Fermat, Pascal, Bernoulli, dựa trên việc nghiên cứu các quy luật ẩn náu trong các trò chơi cờ bạc may rủi. • Đến năm 1933, nhà toán học Nga A.N.Kolmogorov đã đưa ra định nghĩa xác suất dựa vào hệ tiên đề, từ đó xây dựng được cơ sở chặt chẽ của lý thuyết xác suất. • Hiện nay, các phương pháp của lý thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế - xã hội. 3
3. 0.2.1 Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án riêng biệt nhau, – phương án 1 có n1 cách hoàn thành công việc, – phương án 2 có n2 cách hoàn thành công việc, – phương án k có nk cách hoàn thành công việc, Khi đó có n1 + n2 + + nk cách thực hiện công việc. 0.2.2 Quy tắc nhân: Giả sử một công việc được thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp, – giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện, – giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện , – – giai đoạn k có nk cách thực hiện . Khi đó sẽ có n1 .n2 . . . nk cách thực hiện công việc trên. 5
4. 0.3.1 Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k từ n phần tử khác nhau ( k ≤ n) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau đôi một từ n phần tử đã cho . Số các chỉnh hợp chập k từ n phần tử : n! Ak n( n 1)( n 2) ( n k 1) n (nk )! k so 0.3.2 Chỉnh hợp lặp : Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhau là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử , không nhất thiết khác nhau, từ n phần tử đã cho . kk Số các chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử : Ann 7
5. Ví dụ 2: Từ các số khác nhau 1,2,3,4,5; 1. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một? 2. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số? (các chữ số có thể trùng nhau). 3. Có thể tạo được bao nhiêu tập con gồm 3 chữ số khác nhau đôi một từ 5 chữ số trên? 4. Có bao nhiêu cách xếp thứ tự 5 chữ số trên? 3 3 3 KQ: 1.A55 =60 2.A =5 =125 3 3.C55 =10 4.P =5! =120 9
6. Bài tập chương 0 1. Có 7 bức tranh khác nhau và 5 cái móc trên tường, mỗi móc chỉ để treo đúng một tranh. Có bao nhiêu cách treo tranh trên tường? 2. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một ban cán sự lớp 3 người ( gồm lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ ) từ một lớp 50 sinh viên? 3. Một hộp có 7 bi đỏ, 3 bi vàng và 5 bi xanh. Có bao nhiêu cách để lấy ra 5 bi mà: a) trong đó có đúng 3 bi xanh. b) trong đó có ít nhất 3 bi xanh. c) trong đó không màu nào có quá 2 bi. 11
7. Chương I: CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT §1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1.1 Phép thử và các loại biến cố. 1.2 Định nghĩa xác suất : I.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất. I.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất. I.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất. I.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề (tham khảo). 1.3 Nguyên l{ xác suất lớn và xác suất nhỏ. 13
8. Tung 1 con Phép thử xúc xắc Xuất hiện Các biến cố sơ cấp Ai. mặt có i chấm i = 1,2 ,6. D là biến cố số chấm A1 A2 A3 xuất hiện chia hết cho 3 A A5 A6 4 Không gian mẫu  15
9. 1.2 Định nghĩa xác suất: Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử. 1.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất : Xét một phép thử mà không gian mẫu có thể chia thành n kết cục duy nhất đồng khả năng; trong đó có mA kết cục thuận lợi cho biến cố A khi thực hiện phép thử . Ta định nghĩa xác suất của biến cố A theo cổ điển: m P(A)= A n Để thuận lợi, người ta hay lấy n = số các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu, với điều kiện các biến cố này duy nhất và đồng khả năng. Các tính chất : • 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1 P() = 0 17
10. 6 11 Ví dụ 2: a) b) 36 36 CC32. sô' cáchlâ'y 5bi mà có 3bi xanh 150 Ví dụ 3: a) 5 10 5 sô' cáchlâ'y 5bi tùy ý trong 15bi 1001 C15 CCCCCCC3 2 4 1 5167 3 2 b) 5 10 5 10 5 5 12 55 CC151001 15 2 2 1 2 1 2 CCCCCC7 3 5 7 3 5 45 c) 23 CC78. 56 Ví dụ 4: CCCC2 2 3 3 672 5 3 8 5 58 15625 n = số cách xếp ngẫu nhiên 8 hành khách lên 5 toa tàu. 19
11. Qua ví dụ trên , ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5. Điều đó cho phép hy vọng khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất sẽ hội tụ (*) về giá trị 0,5 . Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần suất xuất hiện biến cố đó sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn. Như vậy: Khi n đủ lớn ta có thể coi P(A) f(A) (*): SV có thể tìm hiểu thêm trong tài liệu tham khảo (4) về sự khác nhau giữa khái niệm hội tụ theo xác suất và khái niệm hội tụ trong môn Giải tích đã được học. 21
12. I.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất : • Giả sử một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng có thể biểu diễn bởi một miền hình học G nào đó đo được, còn tập các kết cục đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A được biểu diễn bởi một miền hình học S nào đó đo được. Khi đó xác suất của biến cố A được tính như sau: . P(A) = Độ đo miền S / Độ đo miền G • Tùy theo miền G là một đường thẳng, một miền phẳng hay khối không gian mà độ đo được xác định tương ứng là độ dài, diện tích hay là thể tích. 23
13. VD7: a) Do a, b là 2 tham số độc lập nên ta dùng trục Ox trong mặt phẳng Oxy để biểu diễn cho các giá trị của a, và trục Oy để biểu diễn cho các giá trị của b. Độ đo được sử dụng ở đây là diện tích miền phẳng. Phương trình có 2 nghiệm thực PB a 2 > 0 b < . 4 Miền Ga =[0; 1] [-1; 1]. Miền Sa chính là miền phẳng x2 trong G giới hạn bởi y < . a 4 Xác suất cần tìm: 1 x2 ( 1) dx Dientich S 4 13 0 DientichG 2 24 25
14. §2. CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 2.1 Quan hệ giữa các biến cố 2.2 Một số phép toán giữa các biến cố 2.3 Các định l{ xác suất : 2.3.1 Công thức cộng. 2.3.2 Công thức nhân và xác suất có điều kiện. 2.3.3 Công thức Becnoulli. 2.3.4 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. 27
15. Ví dụ 8 Tung ngẫu nhiên 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi Ai là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bằng i; i = 1,2, ,6. Gọi B là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn. Gọi C là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ. Gọi D là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc chia hết cho 3. • Hãy sử dụng các biến cố trên để minh họa cho các khái niệm và các phép toán được định nghĩa trong bài này. 29
16. -Hệ n biến cố , A1, A2, ,An } được gọi là hệ biến cố đầy đủ nếu các biến cố trong hệ xung khắc với nhau đôi một và tổng của chúng là biến cố chắc chắn; tức là: Ai . Aj =  với  i j và A1 + A2 + + An =  . 31
17. Các tính chất : 1. A + B = B + A ; AB = BA 2. ( A+B) + C = A + ( B + C) ; (AB)C = A(BC) 3. A( B+C) = AB + AC; A + (BC) = ( A+B)( A+C) 4. A \ ( B+C) = ( A\B)( A\C); A\ (BC) = ( A\B) + ( A\C) 5. Nếu A  B thì A+B = B; AB = A 6. A = A 7. A + A =  ; A. =  8. A+B+C A.B.C A.B.C A B C 33
18. a) A = A1 A2 A3 b) B = A.A.A(A)1 2 3 c) C = A1 + A2 + A3 = B d) D = A.A.A1 2 3 A.A.A 1 2 3 A.A.A 1 2 3 e) E = AAAA1 2 3 f) F = A.A.A123 A.A.A 123 A.A.A 123 A.A.A 123 g) G = A.A.A123 A.A.A 123 A.A.A 123 A.A.A 123 h) H = A.A.AA.A.AA.A.AA.A.A123 123 123 123 A.A(A1233 A) A.A(A 1233122 A) A(A A) A 1 35
19. Ví dụ 10 Trong một lớp gồm 50 học sinh (HS) , người ta thấy: có 20 HS chơi bóng đá; 15 HS chơi bóng chuyền ; 10 HS chơi bóng rổ; 8 HS chơi cả bóng đá và bóng chuyền; 5 HS chơi cả bóng đá và bóng rổ; 3 HS chơi đồng thời bóng chuyền và bóng rổ; còn 1 học sinh chơi cả 3 môn trên. Lấy ngẫu nhiên một HS. a) Tìm xác suất HS đó chơi ít nhất một môn bóng; b) Tìm xác suất để HS đó chơi đúng 2 môn bóng. 37
20. 2.3.2 Công thức nhân : - ĐN: Xác suất của biến cố A với điều kiện B chính là XS của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra, k{ hiệu P(A/B) hay P(A|B) . Ví dụ 11: Trong lớp có 20 bạn nữ và 30 bạn nam, ta thấy có 8 bạn nữ và 15 bạn nam mặc áo màu xanh. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Hãy tính: a) XS bạn được chọn là bạn nữ. b) XS bạn đó mặc áo màu xanh. c) XS chọn được một bạn nữ mặc áo màu xanh. d) Biết rằng bạn đó là nữ thì xác suất bạn đó mặc áo màu xanh là bao nhiêu? e) Nếu bạn đó mặc áo màu xanh thì khả năng bạn đã chọn được một học sinh nam là bao nhiêu? 39
21. - Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại, tức là: P A/B =P A/B =P A và P B/A =P B/A = P B - Hệ các biến cố {A1, A2, ,An } được gọi là độc lập toàn thể (hay độc lập tương hỗ) nếu mỗi biến cố trong hệ đều độc lập với một tích bất kz các biến cố còn lại. Dễ thấy {A1, A2, ,An } độc lập toàn thể thì nó cũng độc lập đôi một. Điều ngược lại nói chung không đúng (sinh viên có thể tham khảo thêm ví dụ trong tài liệu (4)). 41
22. Ví dụ 12 Xác suất máy tự động thứ nhất sản xuất ra 1 một sản phẩm tốt là 0,9; còn xác suất máy thứ hai sản xuất ra sản phẩm tốt là 0,7. Cho mỗi máy sản xuất một sản phẩm. Tính xác suất của các biến cố: a) Cả hai sản phẩm thu được đều tốt. b) Chỉ được đúng một sản phẩm tốt. c) Được ít nhất một sản phẩm tốt (làm bằng nhiều cách). Hướng dẫn: Gọi A1 là biến cố sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất là tốt; A2 là biến cố sản phẩm do máy thứ hai sản xuất là tốt; a) Gọi A là biến cố cả 2 sản phẩm thu được đều tốt. 43
23. Ví dụ 13 (Bài tập 1.30) Một hộp có 2 bi xanh, 3 bi trắng và 4 bi đỏ cùng cỡ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng viên bi ( không hoàn lại ), cho đến khi được bi đỏ thì dừng. Tìm các xác suất: a) Có 2 bi trắng và một bi xanh được lấy ra (làm theo 2 cách). b) Không có bi trắng nào được lấy ra. c) Tìm xác suất lấy được ít nhất 1 bi xanh biết rằng không có bi trắng nào được lấy ra. 45
24. Cách 2: Nếu gọi F là biến cố trong 3 viên bi đầu có 2 bi trắng, 1 bi xanh thì A = F .Đ4 . CC21. 41 P(A) = P(F). P(Đ /F ) = 32 4 C3 6 21 9 b) Gọi B là biến cố không có bi trắng nào được lấy ra. 4 2 4 2 1 4 4 B = Đ + X Đ + X X Đ P(B)= + . + . . = 1 1 2 1 2 3 9 9 8 9 8 7 7 (Mở rộng: tính nhanh kết quả nếu đổi gỉa thiết thành hộp có 8 bi xanh, 3 trắng, 4 đỏ). c) Gọi E là biến cố lấy được ít nhất 1 bi xanh. XS cần tìm: P(EB) P(E.[Đ +X Đ +X X Đ ]) P(E/B) = = 1 1 2 1 2 3 P(B) P(B) P(X Đ +X X Đ ) 2 1 2 1 2 3 P(B) 9 47
25. Hướng dẫn: Gọi Ai là biến cố người thứ i rút được phiếu may mắn. a) Gọi A là biến cố trong 3 người rút phiếu đầu tiên chỉ có 1 12 người rút được phiếu may mắn. C37 .C 21 P(A)= 3 C10 40 b) Xác suất cần tìm là: P(A .A) P(A .A .A ) 1 2 1 2 3 P(A2 |A)= P(A) P(A) 3 c) Gọi F là biến cố trong 7 người đầu có 2 người rút được phiếu may mắn; C là biến cố có 8 người đã tham gia. C= F. A . 8 C25 .C 17 P(C)= P(F.A )=P(F).P(A |F)=37 . 88C7 3 40 10 49
26. Ví dụ 15 Gieo đồng thời ba con xuùc saéc caân ñoái, đồng chất moät caùch ñoäc laäp. Tính xaùc suaát của các biến cố: a) Toång soá chấm xuaát hieän laø 10 neáu bieát raèng ít nhaát coù moät con xuất hiện mặt 3 chấm. b) Coù ít nhaát moät con xuất hiện mặt 1 chấm neáu bieát raèng soá chấm xuất hiện treân 3 con laø khaùc nhau. 15 60 P(AB)3 15 3 1 a) P(A|B)= 6 b) P ( C | D ) 6 P(B)91 91 120 2 63 63 51
27. Ví dụ 17 Tung 5 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. a) Tìm xác suất có đúng 3 lần được mặt 6 chấm. b) Tìm xác suất có từ 2 đến 4 lần được mặt 6 chấm. c) Hãy cho biết số lần được mặt 6 chấm có khả năng nhất? Hướng dẫn: Đây là ví dụ minh họa cho công thức Bernoulli. a) Gọi Si là biến cố lần tung thứ i được mặt 6 chấm; i=1,2, 5. và A là biến cố có đúng 3 lần tung được mặt 6 chấm. A=SSSS12345 S +SS 12345 SS S + +SSSSS 12345 xk P(A) P(S12345 S S S S )+ P(S 12345 S S S S )+ +P(S 12345 S S S S ) dl 3 P(S1 )P(S 2 )P(S 3 ).P(S 4 ).P(S 5 )+ ; cóC5 nhóm 32 1 1 1 5 5 1 1 5 1 5 3 15 . . . . . . . . C5 . . 6666666666 6 6 55
28. Ví dụ 18 Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 phương án lựa chọn. Một sinh viên không học bài đã làm bài bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên. Tìm xác suất sinh viên đó chọn được ít nhất 10 câu đúng. Số câu đúng có khả năng nhất trong bài của sinh viên là bao nhiêu? Ví dụ 19 Một hộp bi có 5 bi đỏ và 7 bi vàng. Rút ngẫu nhiên từng bi, có hoàn lại bi sau mỗi lần rút, cho đến khi đủ 3 lần được bi đỏ thì dừng lại. Tìm xác suất việc rút bi dừng lại ngay sau lần rút thứ 6. Ví dụ 20 Một hộp bi có 5 bi đỏ và 7 bi vàng và 9 bi xanh. Rút ngẫu nhiên từng bi, có hoàn lại bi sau mỗi lần rút, cho đến khi gặp 3 bi đỏ thì dừng lại. Tìm xác suất đã rút được 2 bi vàng và 4 bi xanh. 57
29. 2.3.4 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes: Định lý : Giả sử { H1, H2, ,Hn } là hệ biến cố đầy đủ và F là một biến cố bất kỳ . Khi đó ta có các công thức sau: n a) P(F) = P(H1 ).P(F/H 1 )+ +P(H n ).P(F/H n ) = P(H i ).P(F/H i ) i=1 Công thức xác suất toàn phần hay CT xác suất đầy đủ. b) P(Hkk F) P(Hk ).P(F/H ) P(Hk /F)= = n ;kn 1,2, P(F)  P(Hii )P(F/H ) (()khi P F) 0 i=1 Công thức Bayes. 59
30. Ví dụ 21 Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3 phân xưởng sản xuất. Phân xưởng 1 sản xuất 50%; phân xưởng 2 sản xuất 20%; còn phân xưởng 3 sản xuất 30% số bóng đèn của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 1% ; 3% và 2,5%. a) Tìm tỉ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy. b) Nếu kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm từ trong kho thành phẩm chung của nhà máy mà thấy đó là phế phẩm thì khả năng sản phẩm đó do phân xưởng 2 sản xuất là bao nhiêu? 61
31. Ví dụ 22 (BT 1.32) Hộp I gồm 2 bi trắng và 8 bi đen. Hộp II chứa 3 bi trắng và 2 bi đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 bi bỏ đi, số bi còn lại của 2 hộp dồn chung vào hộp rỗng thứ ba. Từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên một bi. Tìm xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ 3 có màu trắng. Gợi ý: Gọi F là b/c viên bi lấy ra từ hộp thứ 3 có màu trắng H1 là biến cố hộp 1 bỏ đi bi trắng và hộp 2 bỏ đi bi trắng H2 là bi trắng và bi đen H3 là bi đen bi trắng H4 là bi đen bi đen 233 224 834 825 P(F)= .×+ .×+ .×+ .× 10 5 13 10 5 13 10 5 13 10 5 13 63
32. Hướng dẫn giải: a) Gọi B là biến cố người được chọn mắc bệnh này và D là biến cố người được chọn có xét nghiệm dương tính. Áp dụng công thức Bayes thì: P(BD) P(B).P(D|B) 0,001. 1 P(B/D) = P(D)P(B).P(D|B)+P(B).P(D|B) 0,001. 1 0,999. 0,05 0,019627 ( 2%) Ta có thể nói rằng kết quả xét nghiệm (+) không giúp ta kết luận được gì về việc người đó có mắc bệnh hay không. b) Tương tự câu trên, xác suất cần tìm là: 0,001. 14 4 4 0,99379 ( 100%) 0,001. 1 0,999. 0,05 Trong trường hợp này khi có cả 4 lần xét nghiệm (+) , ta thấy gần như chắc chắn người được xét nghiệm mắc bệnh. 65
33. Ví dụ 25 Một sinh viên thi vấn đáp phải bốc thăm tùy ý 3 câu hỏi từ 2 hộp đựng đề thi có hình thức giống nhau. Hộp I đựng có 6 câu hỏi khó và 4 câu hỏi dễ . Hộp II gồm 3 câu hỏi khó và 3 câu hỏi dễ . Nếu 1 sinh viên đã chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút 2 phiếu đều gặp câu hỏi khó thì sinh viên này nên rút câu hỏi tiếp theo ở cùng hộp đó hay ở hộp còn lại thì sẽ có nhiều khả năng gặp được câu hỏi dễ hơn?
34. Tương tự: 11CC2234 .+63 P(A.B ) 22CC22610 2 10 6 P(B2 |A)= = 0,4625 P(A) 11CC22 .63 + . 22 22CC10 6 Suy ra nếu SV tiếp tục rút tiếp câu thứ 3 từ hộp đã chọn thì có nhiều khả năng hơn để gặp câu thứ 3 dễ. Cách 2: { H1; H2- tạo thành nhóm biến cố đầy đủ. * P(H ) = P(H ) = 0,5. XS tiền nghiệm 1 2 1 C 2 . 6 P(H ).P(A|H ) 2 C 2 * P(H |A)=11 = 10 0,625 1 P(H ).P(A|H )+P(H ).P(A|H ) 11CC22 1122.63 + . 2 2 22CC10 6