Bài giảng Xác suất thống kê - Chương III: Vectơ ngẫu nhiên

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương III: Vectơ ngẫu nhiên

1. Chương III: VECTƠ NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU) III.1. Khái niệm. Nếu các biến ngẫu nhiên X1,X2, , Xn cùng xác định trên các kết quả của một phép thử thì ta nói Z = (X1,X2, , Xn ) là một vectơ ngẫu nhiên n chiều. III.2. Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều (X,Y). III.2.1 Bảng phân phối XS đồng thời. III.2.2 Phân phối XS theo các BNN thành phần X, Y (PP lề). III.2.3 PP XS có điều kiện. III.2.4 Điều kiện độc lập của X và Y. III.2.5 Hàm phân phối XS của (X,Y). 1
2. III.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT của VTNN RỜI RẠC 2 CHIỀU III.2.1 Bảng phaân phối XS đồng thời: Cho X = {x1, x2, , xm}; Y = {y1, y2, , yn}. Ñaët pij = P(X = xi, Y= yj); i 1,m, j 1,n, . Dưới ñaây laø baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi cuûa (X, Y): Y X y1 y2 Yn x1 p11 p12 p1n x2 P21 P22 P2n xm pm1 pm2 pmn p 1 Khi đó 01 pij vaø  ij . ij 3
3. III.2.3 Phân phối xác suất có điều kiện: Baûng PPXS cuûa X vôùi ñieàu kieän Y y j ( j 1, n) laø: X x1 x2 xm Xy/ p1j p2j pmj P j qj qj qj p ij tức là P(X=xij |Y=y ) = q j X x (i 1, m) Baûng PPXS cuûa Y ñoái vôùi ñieàu kieän i laø: Y y1 y2 yn pi pi pi Y / x 1 2 n P i pi pi pi 5
4. III.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT của VTNN LIÊN TỤC (X,Y) III.3.1 Hàm mật độ XS đồng thời: của VTNN (X,Y) là hàm xác định trên toàn mặt phẳng, thỏa: f( x , y ) 0;  ( x , y ) 2 f( x , y ) dxdy 1 2 • Tính chất: P (,)(,) X Y D f x y dxdy III.3.2 Hàm mật độ lề: D + f (x)= f(x,y)dy, x X - laø haøm maät ñoä theo X; + f (y)= f(x,y)dx, y Y - laø haøm maät ñoä theo Y. III.3.3 Điều kiện độc lập của X, Y: X và Y độc lập F x, y FX x .FY y f(x,y) = fXY (x).f( y) 7
5. III.4 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG của BNN hai chiều: * Kz vọng toán: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) * Hiệp phương sai (Covarian, mômen tương quan): cov(X,Y)= E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] = E(XY) - E(X).E(Y) * Ma trận tương quan ( ma trận hiệp phương sai) của (X,Y): cov(X,X) cov(X,Y) D(X) cov(X,Y) D(X,Y)= = cov(Y,X) cov(Y,Y) cov(Y,X) D(Y) * Hệ số tương quan của X và Y: cov(X,Y) E(XY)-E(X).E(Y) RXY = D(X) D(Y) D(X) D(Y) 9
6. Ví dụ 1 Một hộp đựng 5 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm mà không kiểm tra thì không biết. Các sản phẩm được lấy ra kiểm tra cho đến khi phát hiện thấy 2 phế phẩm thì dừng lại. Kí hiệu X là BNN chỉ số lần kiểm tra cho tới khi phế phẩm đầu tiên được phát hiện. Y là BNN chỉ số lần kiểm tra thêm cho tới khi phế phẩm thứ hai được phát hiện. Hãy : a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y). b) Tính cov(X,Y) và hệ số tương quan của X, Y. c) X,Y có độc lập hay không ? d) Tìm phân phối XS và kz vọng có điều kiện của X khi Y=2. 11
7. b) Tính Cov(X,Y) Y 1 2 3 PX X và RXY: 1 3/10 2/10 1/10 6/10 2 2/10 1/10 0 3/10 3 1/10 0 0 1/10 PY 6/10 3/10 1/10 Viết lại các bảng PPXS thành phần của X và Y ( phân phối lề): X 1 2 3 Y 1 2 3 PX 6/10 3/10 1/10 PY 6/10 3/10 1/10 E(X)= E(Y)=1,5 D(X)= D(Y) = 0,45 3 2 1 2 1 1 E XY x y p 1.1. 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 3.1. 2,1  i j ij 10 10 10 10 10 10 ij; E(XY)-E(X).E(Y) -1 cov(X,Y)= E(XY)- E(X).E(Y) = - 0,15. R = = XY 3 D(X) D(Y) 13
8. c) Theo đn, X,Y độc lập P(X=xi; Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj);  i,j. Trong bảng PPXS đồng thời, P(X=1;Y=1) = 3/10 ; nhưng P(X=1).P(Y=1) = (6/10).(6/10) =1/100 P(X=1;Y=1) nên ta kết luận X,Y không độc lập. d) Từ bảng PPXS đồng thời, suy ra bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y=2: X |Y=2 1 2 2 /10 2 1/10 1 PX|Y=2 3 /10 3 3 /10 3 và E(X|Y=2) = 4/3. 15
9. Y X 0 1 -1 1/8 1/8 Z = 3 Z = 5 1 2/8 2/8 Z = 3 Z = 5 2 1/8 1/8 Z = 12 Z = 14 Suy ra bảng phân phối xác suất của Z: Z 3 5 12 14 3 3 1 1 P 8 8 8 8 Vậy E(Z) = 6,25 và D(Z) = 16,1875. b) HD: E(5X - 3Y +10) = 5E(X) - 3E(Y) + 10. D(5X -3Y + 10) = 25D(X) + 9D(Y).
10. Ví dụ: + F(x,y) = P( X<x; Y<y). + F(3; 20)=P(X<3,Y<20)= 0,1. + F(6; 14)=P( X< 6; Y< 14) = 0,3 +F(4;25)=P(X<4; Y<25) =0,4. 19
11. Ví dụ 4 Cho vec tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời: x a x y2 khi01 y f x y , 2 0 ôû nôi khaùc a) Xác định hệ số a. b) Tìm P(X<1; Y<1/4). c) Tìm các hàm mật độ xác suất của X, của Y ( hàm mật độ lề). d) Tính covarian của vec tơ ngẫu nhiên (X,Y). e) Tìm hệ số tương quan của X,Y. f) Tìm hàm phân phối xác suất đồng thời của X,Y. g) Tìm các hàm mật độ có điều kiện của X,Y. 21
12. a) f(x,y) là hàm mật độ XS của một vectơ ngẫu nhiên nào đó f( x , y ) 0,  ( x , y ) 2 a 0 (1) f(, x y)1 dxdy a( x y2 ) dxdy 1 (2) 2 D 2x /2 2 2 (2) dx a ( x y ) dy 1 a , thỏa (1). 00 3 b) 1 14 1/2x /2 1 1/4 1 222 2 PX1;Y dx f (,) x y dy dx () x y dy dx () x y dy 4 3 3 0 0 1/2 0 1/4 1 1/4 1 22 2 3 2 1 181 hay P X 1;Y dy ( x y ) dx 2 y y dy 4 0 2y 3 3 0 2 2304 c) Trước tiên ta tìm hàm mật độ lề theo X: Với mỗi x R, f()(,) x f x y dy X 23
13. 2 3 2 2 44y x y dx y (0;1) y (0;1) f()(,) y f x y dx 3 Y 2 y 33 0y (0;1) 0y (0;1) ct1 2 xx2 ( 12) 68 E().(). X x f x dx x dx d) X 0 36 45 ct1 1 4 4y3 2 E().(). Y y f y dy y dy Y 0 3 3 5 2x /2 22 29 E()(,)() XY xyf x y dxdy dx xy x y dy 2 003 45 1 COV( X , Y ) E ( XY ) E ( X ). E ( Y ) 25 ct2 ct2 Công thức khác: E(X) = x.f(x,y)dxdy; E(Y) = y.f(x,y)dxdy; 22 RR
14. x y f) F(x,y) = P(X<x; Y<y) = du f(,) u v dv 0 (x,y) M1 1 (x,y) M 2 xx/2 2xx3 ( 6) du( u v2 ) dv (x,y) M3 0 0 3 36 y 2 2 4y ( y32 2 y 3) dv( u v2 ) du (x,y) M 4 39 0 2 y y x 3 2 2 22 y (2 x 4 y ) y ( x 4 y ) dv( u v ) du (x,y) M5 3 9 3 0 2 y
15. g) Hàm mật độ có điều kiện của X, Y. * Khi y  0,1 : 2 (xy 2 ) . 2yx 2 f(,) x y 3 44y3 (xy | ) fyY () 33 0 * Khi x [0,2]: 2 (xy 2 ) . 0 yx / 2 f(,) x y 3 xx2 ( 12) (yx | ) fxX () 36 0
16. Ví dụ 7 Đoạn thẳng AB có độ dài a cm. Chia ngẫu nhiên AB thành 3 đoạn thẳng. Tìm thể tích trung bình của hình hộp chữ nhật có 3 cạnh tạo bởi 3 đoạn trên. Hướng dẫn Gọi X, Y, a-X-Y là các BNN chỉ độ dài 3 đoạn thẳng. Khi đó (X,Y) có phân phối đều trên miền phẳng D ={(x,y)/ 0<x< a; 0<y< x-a} Suy ra VTNN (X,Y) có hàm mật độ đồng thời: C (x,y) D 12 f(x,y)= C 2 0 (x,y) D S() D a Thể tích hình hộp: V = XY(a-X-Y)= aXY - X2Y - XY2 E(V) = E[aXY - X2Y - XY2] a a x 2 a3 ()(,)()axy x2 y xy 2 f x y dxdy dx axy x 2 y xy 2 dy 2 2 a 60 R 00
17. b) (X,Y) có dạng hàm phân phối chuẩn 2 chiều (tham khảo): 22 1 x a y b ( x a )( y b ) 2R 2 1 2(1 R ) XYXY    f(,) x y e 2 21 XY  R ở đây R là hệ số tương quan của X,Y. Biến đổi hàm mật độ đồng thời f(x,y) đã cho theo dạng trên, ta tìm được: 1 1 1 • a= 0; X= 1; b=0;  ;;Rk Y 22 • Hàm mật độ lề theo X và hàm mật độ lề theo Y: x2 11 2 f();() x e2 f y e y XY2 • Lưu { thêm, ở đây R ≠ 0 nên X,Y không độc lập.
18. Ví dụ 10 : k khi x y 1 Vtnn X có hàm mật độ XS: f(,) x y 01khi x y a) Tìm hệ số k. . b) Tìm các hàm mật độ XS của X . Hướng dẫn: a) k* Diện tích hình vuông = 1 k = 1/2 b) 1 x 1 dy 1 x khi 1 x 0 2 x 1 1 1 x f x dy 1 x khi 0 x 1 X 2 x 1 01x
19. III.5 HÀM CỦA VTNN 2 CHIỀU: • Đối với BNN rời rạc: xem VD2; VD3. Đối với BNN liên tục: VD 9. Ví dụ 12 Giả sử các BNN X,Y độc lập và cùng có phân phối đều trên đoạn *0; 1+. Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z=X+Y. Hướng dẫn: Các hàm mật độ của X và Y là: 1khi x [0;1] fXY x =f x 0khi x [0;1] Do X, Y độc lập nên: 1khi ( x , y ) D  [0;1] [0;1] fXY x, y f X x .f Y y 0khi ( x , y ) D Trước hết ta tìm hàm phân phối XS của Z: FZ (zz ) = P( Z< ) = P(X+Y<zz ) = P((X,Y) G); ở đây : G{(,): x y x y zz }{(,): x yy x }, z