Bài tập tham khảo Xác suất thống kê - Chương I

Nội dung text: Bài tập tham khảo Xác suất thống kê - Chương I

1. BÀI TẬP THAM KHẢO CHƯƠNG I 1. Tung một đồng xu 10 lần. Tìm xác suất của các biến cố : a) Số lần được mặt sấp bằng số lần được mặt ngửa; b) Số lần được mặt sấp nhiều hơn số lần được mặt ngửa. 2. a) Có n học sinh ngồi theo 1 bàn dài. Tìm xác suất để 2 bạn A, B ngồi cạnh nhau. b) Có n học sinh ngồi theo 1 bàn tròn. Tìm xác suất để 2 bạn A, B ngồi cạnh nhau. 3. Có 7 người cùng vào thang máy để lên lầu. Có tất cả 10 lầu và mỗi người đều có thể lên một lầu tùy ý. Tìm xác suất của các biến cố sau: a) 7 người lên cùng một lầu. b) 7 người lên đúng 7 lầu đầu tiên . c) 7 người lên 7 lầu khác nhau. d) A và B cùng lên một lầu. e) A và B cùng lên một lầu, ngoài ra không còn ai khác lên lầu này. 4. Người ta xếp ngẫu nhiên 7 cuốn sách Toán , Lý, Hóa, Sinh,Văn, Nhạc, Sử liên tiếp trên một hàng từ trái sang phải. Tìm xác suất của các biến cố sau: a) Sách Toán ở chính giữa các sách khác. b) Các sách Toán – Lý – Hóa ở cạnh nhau theo thứ tự đó. c) Sách Văn và Nhạc luôn ở cạnh nhau. d) Sách Văn và Nhạc bị cách nhau bởi 1 cuốn khác. 5. Một hộp có 15 viên bi kích cỡ giống hệt nhau, gồm 5 đỏ, 3 xanh và 7 vàng. a) Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm xác suất lấy được đủ cả 3 màu. b) Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm xác suất có được đúng 2 bi xanh. c) Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm xác suất có được ít nhất 1 bi xanh ( 2 cách). d) Chia đều số bi vào 3 hộp. Tìm xác suất để mỗi hộp có 1 bi xanh. 6. (1.21) Lấy ngẫu nhiên một số điện thoại có 8 chữ số, số đầu khác 0 và 1. Tìm XS: a) Cả 8 chữ số đó đều khác nhau. b) Số điện thoại này chia hết cho 5. c) Tổng 8 chữ số đó là một số lẻ . 7. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 7 chữ số. a) Tìm xác suất được số có 4 chữ số lẻ, 3 chữ số chẵn và khác nhau đôi một. b) Tìm xác suất lấy được số mà chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. 8. Gieo 20 lần một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tìm xác suất có 4 lần xuất hiện mặt một chấm, 3 lần xuất hiện mặt hai chấm, 5 lần xuất hiện mặt ba chấm, 2 lần xuất hiện mặt bốn chấm, 2 lần xuất hiện mặt năm chấm và 4 lần xuất hiện mặt sáu chấm. 9. Có 12 người cùng lên một chuyến tàu. Chỉ còn 3 toa cho hành khách và mỗi người có thể lên một toa bất kỳ trong 3 toa này với xác suất như nhau. Tìm xác suất của các biến cố sau: a) Số người lên mỗi toa là bằng nhau. b) Toa thứ nhất có 8 người lên, toa thứ hai có 4 người lên và toa thứ 3 không có ai lên cả. c) Hành khách A và B lên cùng toa nhưng không cùng toa với hành khách C. BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 1
2. 20. Có n cặp nhẫn khác loại nhau, không thể dùng 1 chiếc của cặp này ghép với 1 chiếc của cặp khác. Giả sử các nhẫn này bị để lẫn lộn trong 1 hộp. Bốc ngẫu nhiên 2k chiếc nhẫn, 4 ≤ 2k < n. Tìm xác suất có đúng 2 cặp nhẫn được lấy ra. 21. Giả sử một phòng đọc của thư viện chỉ có 2 loại sách : sách toán và sách kỹ thuật, mỗi người đọc chỉ được mượn đọc tại chỗ một cuốn sách. Xác suất để một người đọc bất kỳ mượn sách kỹ thuật là 70% và mượn sách toán là 30%. Hiện trong phòng chỉ có 5 người đọc. a) Tìm xác suất cả 5 người đều mượn cùng một loại sách. b) Tìm xác suất có ít nhất một người mượn sách toán. 22. Một trường có 730 học sinh, giả định rằng mỗi học sinh đ chào đời vào một ngày bất kỳ trong năm. Tìm xác suất có 3 học sinh sinh đúng vào ngày 02/09 . 23. Biết tỉ lệ trẻ bị cận thị trong một trường là 15% . Hỏi cần phải chọn bao nhiêu học sinh để chắc chắn không dưới 90% rằng trong số đó có ít nhất một em bị cận thị. 24. Biết tỉ lệ sống của một loại cây non sau khi trồng là 0,85 . H y cho biết cần đem trồng bao nhiêu cây để số cây sống có khả năng nhất là 25 cây. 25. Người ta trồng 20 cây non cùng một loại trên đường dẫn tới trường học. Sau đó, nếu cây nào chết người ta s trồng thay thế vào đợt thứ 2. Biết rằng xác suất để một cây non sống sau khi được trồng ở mỗi đợt là 80% . a) Tìm xác suất sau đợt trồng thứ 2 có ít nhất 18 cây sống. b) Số cây non còn sống sau 2 đợt trồng cây có khả năng nhất là bao nhiêu? 26. Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng tiền liên tiếp, ai gieo được mặt sấp đầu tiên s thắng cuộc. Tìm xác suất thắng cuộc của mỗi cậu bé. 27. A và B cùng chơi cờ. Xác suất thắng của A trong mỗi ván là 0,3; không có ván nào hòa. Trận đấu s kết thúc nếu A thắng cuộc ( thắng được 5 ván) hoặc B thắng cuộc (thắng được 8 ván). Tìm xác suất A thắng cuộc. 28. Một người viết 4 lá thư khác nhau cho 4 người bạn, nhưng do đ ng trí nên đ bỏ ngẫu nhiên 4 bức thư này vào 4 bao thư đ đề sẵn địa chỉ. Tìm xác suất : a) Có ít nhất 1 thư đến đúng địa chỉ. b) Chỉ có 1 thư đến đúng địa chỉ. 29. Bài toán GameShow: Một người chơi được chọn mở một trong 3 cánh cửa A,B,C để nhận quà, biết rằng chỉ có 1 cánh cửa đằng sau có quà. Sau khi người chơi đ chọn 1 cánh cửa thì người dẫn chương trình mở 1 trong 2 cánh cửa còn lại và thấy không có quà. Người chơi tiếp t c được đề nghị giữ nguyên cánh cửa đ chọn ban đầu hay thay đổi sang cánh cửa thứ 3. Theo bạn người chơi có nên thay đổi hay không? 30. Một nhà máy sản xuất một lô hàng 20.000 sản phẩm, trong đó có 300 phế phẩm. Một khách hàng quy ước s mua hết lô hàng nếu kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thấy có không quá một phế phẩm. a) Tìm xác suất lô hàng được khách hàng mua? b) Nếu nhà máy có 10 lô hàng như vậy, và đối với mỗi lô hàng khách kiểm tra bằng cách lựa chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm như cách trên thì xác suất khách chấp nhận từ 8 lô trở lên là bao nhiêu? 31. Một vườn hoa lan trồng hai loại Lan Ngọc Điểm chưa nở hoa, loại I có bông màu BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 3
3. 38. (1.38) Một tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu (.) và vạch (-). Qua thống kê cho biết là do tạp âm nên khi truyền tin, bình quân 2/5 tín hiệu chấm và 1/3 tín hiệu vạch bị méo. Biết rằng tỉ số các tín hiệu chấm và vạch trong truyền tin đi là 5: 3. Tính xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu: a) Nhận được chấm (.) ; b) Nhận được vạch (-) . 39. Một thống kê trên các cặp trẻ sinh đôi cho thấy tỉ lệ các cặp sinh đôi cùng trứng là một số p. Các cặp sinh đôi cùng trứng đều cùng giới tính, còn đối với các cặp sinh đôi khác trứng thì tỉ lệ cùng giới tính chỉ là 50%. Biết rằng với mỗi cặp trẻ sinh đôi có cùng giới tính, xác suất chúng được sinh đôi cùng trứng là 1/3. Hãy tìm số p. 40. Trong hộp có n sản phẩm, trong đó mỗi sản phẩm đều có thể là chính phẩm hoặc phế phẩm với xác suất như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt k sản phẩm theo phương thức có hoàn lại thì được toàn chính phẩm. Tính xác suất để hộp đó chứa toàn chính phẩm. 41. Hai đấu thủ A và B thi đấu trong vòng 10 hiệp hoặc cho đến khi có người thắng trước. Mỗi trận A có khả năng thắng với xác suất là p, không có kết quả hòa. Sau mỗi trận đấu thủ thắng được 1 điểm, đấu thủ thua không có điểm. A được coi là thắng cuộc nếu dẫn trước B 2 điểm, Tìm xác suất A thắng cuộc. 42. Có n hộp bi, mỗi hộp chứa m bi trắng và k bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ hai bỏ sang hộp thứ ba, làm như thế cho tới hộp thứ n . Tìm xác suất viên bi cuối cùng rút từ hộp thứ n là bi trắng. 43. (1.41) Trong một thành phố nọ, người ta thống kê được như sau: Số con trong gia đình ( n) 0 1 2 3 4 5 Tỉ lệ phần trăm gia đình có n con 15 20 30 20 10 5 ( trong tổng số các gia đình) Cho rằng xác suất mỗi đứa trẻ sinh ra là trai hay gái đều bằng 0,5 . a) Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong thành phố đó. Tìm xác suất gia đình đó có đúng 2 con gái. b) Chọn ngẫu nhiên một đứa con . Tìm xác suất đứa con đó thuộc gia đình có đúng 2 con gái ở câu a). 44. (1.42) Có 2 hộp bi cùng cỡ, hộp I chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp II chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi thì được bi trắng, trả bi trắng đó vào hộp đ lấy ra. Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra, là bi trắng. 45. Có một quả cầu đ được đánh dấu, có khả năng nó ở trong hộp cầu I với xác suất p và khả năng nó ở trong hộp cầu II với xác suất 1- p. Nếu chọn đúng hộp đang chứa quả cầu đánh dấu thì xác suất để rút được đúng nó từ hộp ra là d . Rút liên tiếp có hoàn lại n quả cầu từ 2 hộp đó. Hỏi cần rút từ mỗi hộp bao nhiêu quả cầu để xác suất rút được quả cầu đ đánh dấu, dù chỉ một lần, là lớn nhất? BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 5
4. 111 21 1 2 2 1 3 3 1 4 1 4 CCC5 3 7 CC3. 12 CCCCC3 12 3 12 3 C12 CCCC3 12 2 8 5. HD: a) 3 b) 3 c) 33 1 d) 35 C15 C15 CC15 15 CC15. 10 6. Đáp số: a) 0,018144 b) 1/5 c) 1/2 CAACAA4 4 3 4 4 2 CCACC2. 3 . 2 2 . 3 .7 7. HD: a) 7 5 5 6 5 4 b) 7 5 8 6 4 9 106 9.106 CCCCCC4 3 5 2 2 4 8. Có thể dùng XS cổ điển hay định lý Becnoulli mở rộng. 20 16 13 8 6 4 620 9. Hướng dẫn giải: a) Số cách xếp ngẫu nhiên 12 người lên 3 toa là n = 312. 4 4 Số cách xếp để mỗi toa có 4 người là m = C 12.C 8 . CC44 Xác suất cần tìm: 12 8 . 312 CC84 b) Tương tự câu a), xác suất cần tìm là 12 4 . 312 c) Để tìm m, tiến hành các bước: xếp toa cho hành khách A,B; sau đó xếp toa cho hành khách C rồi xếp cho những người còn lại. Sử d ng quy tắc nhân. 3.2.39 2 Xác suất cần tìm: . 3912 10. Đáp số: 5/9. Gọi thời điểm người thứ nhất đến Miền S là miền được tô màu trong chỗ h n là 8 giờ + x phút. hình v . Gọi thời điểm người thứ hai đến chỗ h n là 8 giờ + y phút; 0 x,y 60. Miền các trường hợp duy nhất đồng khả năng là G =[0; 60] [0; 60]. Theo giả thiết, 2 người gặp nhau khi | x – y| 20 -20 x-y 20 y x+ 20 và y x – 20. 11. HD: a) Diện tích hình tròn – Diện tích tam giác. b) 0. 12. Đáp số: ¼. Độ dài đoạn thứ nhất là x; 0< x< a. Độ dài đoạn thứ hai là y-x; x< y< a. Độ dài đoạn thứ ba là a-y. Miền G = OAB. Miền S = BMN ( dùng tính chất tổng độ dài 2 cạnh bất kỳ của tam giác luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại, và miền S  miền G). BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 7
5. 21. Bài toán có dạng Becnoulli với n = 5. Xác suất mỗi độc giả mượn sách kỹ thuật là p = 70%, xác suất mỗi độc giả mượn sách Toán là q = 30% . a) Xác suất cần tìm là xác suất cả 5 người đều mượn sách kỹ thuật hay cả 5 người 5 5 0 5 đều mượn sách Toán: C 5 (0,7) + C 5 (0,3) b) Gọi A là biến cố trong 5 độc giả có ít nhất 1 người mượn sách Toán. Khi đó biến cố đối lập A là biến cố trong 5 độc giả không có ai mượn sách Toán. 5 5 Suy ra P(A) = 1 – P( ) = 1- C 5 (0,7) . 22. Đáp số: 0,18069. 23. Đáp số: ≥ 15. Gọi n là số học sinh được chọn. Gọi A là biến cố có ít nhất 1 học sinh trong đó bị cận thị. Bài toán yêu cầu tìm n để P(A) 90%. 0 0 n n Do P(A)=1–XS không có học sinh nào bị cận thị =1–C n(0,15) (0,85) = 1-(0,85) , nên YCBT trở thành tìm n để (0,85)n 0,1 ; suy ra n (ln 0,1) : (ln 0,85). 24. Đáp số: 45 hoặc 46. 25. Hướng dẫn giải: Trước tiên chúng ta xem xét tại mỗi hố trồng cây: Gọi A1 là biến cố cây trồng sau đợt 1 sống. Nếu cây chết và phải trồng thay vào hố đó 1 cây khác, khi đó ta gọi A2 là biến cố cây trồng lần sau sống. Gọi B là biến cố sau 2 đợt trồng cây có 1 cây sống trong hố. B = A1 + A1 A2 . P(B) = P(A1) + P( ).P(A2| ) = 0,8 + 0,2. 0,8 = 0,96 . a) Bài toán có dạng Becnoulli với n =20, p = 0,96 , q = 0,06 , k1= 18, k2 = 20 . 18 18 2 19 19 1 20 20 Xác suất cần tìm : C20 (0,96) (0,04) C 20 (0,96) (0,04) +C 20 (0,96) b) Dùng công thức tìm được k0 = 20. 26. Gọi Si là biến cố lần tung đồng tiền thứ i được mặt sấp, i=1,2,3. Gọi Ni là biến cố lần tung đồng tiền thứ i được mặt ngửa, i=1,2,3. A là biến cố cậu bé thứ nhất thắng cuộc. A = S1 + N1N2N3S4 + N1N2N3N4N5N6S7 + . P(A) = P(S1) + P(N1N2N3S4) + P( N1N2N3N4N5N6S7) + . 1 1 1 1 1 4 = . . ( tổng cấp số nhân vô hạn) 47 1 2 2 2 21 7 23 2 1 Tương tự, xác suất để cậu bé thứ 2 và thứ 3 thắng cuộc lần lượt là và . 7 7 27. Xác suất A thắng cuộc là tổng XS của các biến cố được liệt kê trong các trường hợp sau: 55 1) A thắng sau 5 ván chơi: nghĩa là A thắng cả 5 ván. PC15 (0,3) 2) A thắng sau 6 ván chơi: đồng nghĩa với biến cố tích “Trong 5 ván đầu A thắng 4 ván, B thắng 1 ván” và “ ván thứ 6 A thắng”. 44 PC25 (0,3) (0,7) (0,3) 45 C5 (0,3) (0,7) BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 9
6. 10 k k10 k KQ  C10 0,5562 (1 0,5562) k 8 31. Gọi H1 là biến cố cây lan được mua là lan loại I. Gọi H2 là biến cố cây lan được mua là lan loại II. { H1, H2} là nhóm biến cố đầy đủ. Gọi A là biến cố cây lan s nở hoa. Do số lan loại I = 5/3 của số lan loại II , nên số lan loại I chiếm 5/8 tổng số hoa lan. Theo công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(H1).P(A|H1) + P(H2).P(A|H2) 53 .90% .80% 86,25%. 88 5 .90% P(H11 ).P(A/H ) 8 15 b) Xác suất cần tìm là: P(H1|A) = == P(A) 86,25% 23 32. Hướng dẫn: Gọi F là biến cố máy bay rơi. Gọi Hi là biến cố máy bay bị trúng i phát đạn, i=0,1,2,3. Dễ thấy { H0 , H1 , H2 , H3 } là 1 nhóm biến cố đầy đủ. Để tính các giá trị P(Hi) , i=0, 3 , ta đặt thêm các biến cố sau: Gọi Ti là biến cố phát đạn thứ i trúng đích, i = 1,2,3. Suy ra H0 = T1 .T 2 .T 3 , và tính được P(H0). ( Bài này có thể không cần tính P(H0)). Tương tự ta tính được P(H1) , P(H2 ), P(H3). Tính F theo công thức xác suất đầy đủ. Đáp số: 0,594. n 1 33. 6n 34. a) HD: 95% 3% + 5% 1% = 2,9%. b) Lưu ý yêu cầu bài toán được hiểu là tìm tỉ lệ sản phẩm bị loại sai trong các sản phẩm bị loại, tức là tìm xác suất 1 sản phẩm bị loại là sản phẩm tốt. 95% 3% P( sản phẩm tốt| sản phẩm bị loại) = 0,3654 95% 3% 5% 99% 35. Đáp số: a) 4/20 b) 1/11 c) 1/26 d) 13/275. 36. a) Giả sử lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Gọi A1,A2,A3 lần lượt là các biến cố sản phẩm lấy ra là do phân xưởng I,II,III sản xuất. Gọi F là biến cố sản phẩm lấy ra là loại A. Tỷ lệ cần tìm chính là P(F). Ta thấy {A1 , A2 ,A3 } là nhóm biến cố đầy đủ nên áp d ng công thức xác suất toàn phần thì : P(F) = P(A1)P(F|A1) + P(A2)P(F|A2) + P(A3)P(F|A3) = 30%. 70% + 45%.50% + 25%.90% = 66% P(A22 )P(F|A ) 45%.50% b) Sử d ng công thức Bayes: P(A2|F) = = 0,3409. P(F) 66% c) Gọi n là số sản phẩm cần mua. Xác suất để gặp ít nhất một sản phẩm không phải loại A là 1 – (0.66)n . BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 11
7. P(A).P(B|A) p.1 1 P(A/B) = = 1 P(A).P(B|A)+P(A).P(B|A) pp.1 (1 ). 3 2 Giải phương trình cuối cùng s được p = 1/5. 40. ( Xem lời giải chi tiết hơn trong m c các đề thi cũ) Đề này cho biết xác suất 1 sản phẩm bất kỳ trong hộp tốt là 0,5 nhưng không có nghĩa một nửa số sản phẩm trong hộp là tốt và một nửa còn lại là phế phẩm. ( Sử d ng phân phối nhị thức, không phải phân phối siêu bội, xem chương 2 ). n i 1 Gọi Hi là biến cố hộp có i chính phẩm, i=0, ,n. P Hi Cn 2 { Ho, H1, ,Hn } là nhóm biến cố đầy đủ. Gọi F là biến cố k sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm. Xác suất cần tìm: 1 PHF(n | ) k k k k 1 nn 1 2 2 nn 2 2 1 1 1 CCCCn n n . n . n n n n nk nk C1 n 1kk C 2 n 2 C n 2 .2 k C n 1 n n n n 02 13 242 353 464 41. Cp2 CpqCpq 3 5 Cpq 7 Cpq 9 . 42. 43. (1.41 – Sách LT – Lời giải của bạn Hoàng Dũng) a) Ai là biến cố chọn được gia đình có i con. i= 0, ,5. { Ai , i=1, ,5} là nhóm biến cố đầy đủ. F là biến cố chọn được gia đình có đúng 2 con gái. P(F) = P(A0).P(F/A0) + P(A1).P(F/A1) + P(A2).P(F/A2) + P(A3).P(F/A3) + + P(A4).P(F/A4) + P(A5).P(F/A5) P(F/A0) = 0 P(F/A1) = 0 2 2 0 2 2 1 P(F/A2) = C2 .(0,5) .(0,5) = 0,25 P(F/A3) = C3 .(0,5) .(0,5) = 0,375 2 2 2 2 2 3 P(F/A4) = C4 .(0,5) .(0,5) = 0,375 P(F/A5)= C5 .(0,5) .(0,5) = 0,3125 P(F) = 15%.0 + 20%.0 + 30%.0,25 + 20%.0,375 + 10%.0,375 + 5%.0,3125 = 0,203125 b) Không mất tính tổng quát, ta xét 100 gia đình, có 15 gia đình 0 con, 20 gia đình 1 con, 30 gia đình 2 con, 10 gia đình 4 con, 5 gia đình 2 con. Loại gia đình 0 con 1 con 2 con 3 con 4 con 5 con Tổng Số đứa con 0 20 60 60 40 25 205 BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 13