Bài tập Toán kĩ thuật - Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)

Nội dung text: Bài tập Toán kĩ thuật - Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue)

1. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.1: Xác định các điểm bất thường cô lập của f(z) và cho biết loại của chúng ? z2 2z3 −+ z 1 sin(mz) 1− cos z a) 3 b) 2 c) 2 (z+ 1) (z− 4) (z − i)(z −+ 1 2i) (z++ 2z 2) d) z (Ans: a) z = -1 : cực cấp 3 3. b) z = 4: cực cấp 2; z = i và 1 – 2i : cực đơn . c) z = – 1 + i and – 1– i : cực đơn . d) z = 0 : điểm bất thường bỏ được . Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1
2. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.4: Tìm thặng dư của hàm phức : = 1 f(z) z(z− 2)4 tại z = 2 dùng phương pháp : a) Khai triển chuổi Laurent quanh điểm z = 2 ? b) Dùng công thức tính thặng dư tại cực ? (Ans: (a), (b) : – 1/16 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.6: Tìm thặng dư của các hàm tại các cực: 3z2 + 2 z6+ 4z 43 ++ z 1 a) 2 5 (z−+ 1)(z 9) c) (z− 1) 32 z− z +− z1 3+ 4z b) 3 (z+ 4z) d) (z32++ 3z 2z) (Ans: a) Res{f,3i} = (15-5i)/12; Res{f,-3i} = (15+5i)/12; Res{f,1} = 1/2 b) Res{f,2i} = (-3+6i)/8; Res{f,-3i} = (-3-6i)/8; Res{f,0} = -1/4 c) Res{f,1} = 19 d) Res{f,-2} = -5/2; Res{f,-1} = 1 ; Res{f,0} = 3/2) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.8: Cho C là đường tròn |z| = 4 , tính: I= f (z)dz ∫C z 1 1 = b) f(z) = 2 c) f(z) = 3 a) f(z) z12 − z (z+ 2) z(z− 2) z2 1 1 = e) fz( ) = 2 = d) f(z) (z22++ 3z 2) (z++ z 1) f ) f(z) z(z2 ++ 6z 4) (Ans: a) 2iπ b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) − 0.27i ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
5. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.10: Dùng định lý thặng dư, tính các tích phân: zi+ [C = hình vuông, cạnh = 8, tâm tại gốc tọa độ] a) 2 dz ∫ C z6+ z2 − 2z [C = hình tròn |z + i| = 2 ] b) 22 dz ∫ C (z++ 1) (z 4) 1 c) 3 dz [C = hình chữ nhật, các cạnh là ± i; 3 ± i ] ∫ C (z+ 1) (z −− 1)(z 2) π2ππ −−19 i (Ans: a) 2 i b) 25 (25 39i) c) 108 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9