Bài tập Toán kĩ thuật - Chương 7: Hàm phức giải tích

Nội dung text: Bài tập Toán kĩ thuật - Chương 7: Hàm phức giải tích

1. Chương 7: Hàm phức giải tích 2 2 P7.1: Cho hàm f(z) = xy + ix y, tìm số phức z0 để f(z) là : (a) Khả vi tại z0 ? (b) giải tích tại z0 ? (Ans: (a) C-R thỏa tại z0 = 0 (b) vô nghiệm ) P7.2: Tìm hàm giải tích f(z) mà hàm phần thực của nó là u(x,y) = x2 + y ? (Ans: u không phải hàm điều hòa ) P7.3: Chứng tỏ rằng hàm phần thực và phần ảo của hàm phức f(z) = (z + 1)3 thỏa điều kiện Cauchy – Riemann . Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 1
2. Chương 7: Hàm phức giải tích P7.7: Hàm nào trong các hàm sau là điều hòa ? Tìm một hàm điều hòa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ? (a) u(x,y) = 2x(3 – y) ? (b) u(x,y) = excosy ? (Ans: (a) v = x2 + 6y – y2 (b) v = exsiny ) P7.8: a) Chứng tỏ rằng u(x,y) = x2 – y2 – x – y là phần thực của một hàm giải tích f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ? b) Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x,y) và cho biết hàm giải tích f(z) đó (biểu diễn f(z) theo z) ? (Ans: (a) dùng pt Laplace (b) v = 2xy – y + x + C; f(z) = z2 + (i – 1)z + iC ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 3
3. Chương 7: Hàm phức giải tích P7.11: Cho hàm u(x, y) = x.sinx.coshy – y.cosx.sinhy. a) Chứng tỏ rằng u(x, y) là hàm điều hòa ? b) Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x, y) sao cho f(z) là giải tích và f(0) = 0 ? (Ans: (b) v = y.sinx.coshy + x.cosx.sinhy ; f(z) = z.sinz ) P7.12: Cho hàm f(z) = x2 + ay2 – 2xy +i(bx2 – y2 + 2xy). a) Xác định a và b để f(z) giải tích ? b) Theo câu a), xác định f(z) và f’(z) chỉ theo biến z ? (Ans: (a) a = – 1; b = 1 (b) f(z) = (1 + i)z2 ; f’(z) = 2(1 + i)z ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 5
4. Chương 7: Hàm phức giải tích P7.14: Tìm nghiệm của phương trình phức : a) e0z = b) coshz= 0 c) e2z = − d) coshz= − 2 e) cosz= 2 f) ln z =ei −π π +π (Ans: a) no solutions b) i(2 k ) c) ln2+ i π+ ik2 π d) ± arccosh(2) + i π+ ik2 π e) k2π± iarccosh(2) f) −15.154 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7