Bài tập Toán kỹ thuật

Nội dung text: Bài tập Toán kỹ thuật

1. Chương 1: Chuổi Fourier P1.6: Tìm chuổi Fourier của tín hiệu 1 ( 2 t 1) tuần hoàn chu kỳ T = 4s và: f(t) 0 ( 1 t 1) 1 (1 t 2) 2 2 1 3 1 5 (Ans : f(t) [sin2 t sin 2 t 3 sin 2t 5 sin 2 t ] ) P1.7: Xác định hệ số i(t), A chuổi Fourier dạng mũ 8 phức C cho tín hiệu f(t) 2 T/2 n 20 28 t(ms) đối xứng nửa sóng : 0 4 12 36 -2 4i nπ - 8 (Ans: Cn nπ [1 3cos 4 ]; n odd) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 7
2. Chương 1: Chuổi Fourier P1.9: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t): a) Cho biết tính đối xứng của tín hiệu ? b) Tìm hệ số a3 và b3 của chuổi Fourier dạng lượng giác ? c) Tìm trị hiệu dụng của tín hiệu dùng 5 hài khác 0 đầu tiên trong chuổi Fourier của f(t) ? (Ans: a) lẻ b) 0 , – 0.04503 c) 0.383 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 9
3. Chương 1: Chuổi Fourier (Đáp số: P1.10) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 11
4. Chương 1: Chuổi Fourier P1.12: Cho tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T = 2 có hàm mô tả trong chu kỳ: f(t) = 1 – t2 ( – 1 < t < 1). a) Tìm chuổi Fourier dạng lượng giác của f(t) ? b) Tìm chuổi Fourier phức của f(t) ? n 1 (Ans: (a) 2 4 ( 1) cos(nπt) ) 3 π2 n 2 1 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 13
5. Chương 2: Biến đổi Fourier P2.2: Dùng định nghĩa biến đổi Fourier, xác định F() cho các tín hiệu : A (  / 2 t 0) a) f(t) A (0 t  /2) 0 (elsewhere) 0 (t 0) b) f(t) at te (0 t ); a 0 (Ans: a) i2A [1 cosω ] b) 1 ) ω 2 (a iω)2 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 15
6. Chương 2: Biến đổi Fourier P2.5: Cho tín hiệu f(t) như hình vẽ. f(t) a) Xác định f’(t) ? 1 b) Tìm biến đổi Fourier của f’(t) ? t(s) c) Suy ra F() = F{f(t)} ? – 1 0 1 (Ans: (c) F(ω) 2 1 cos ) ω2 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 17
7. Chương 2: Biến đổi Fourier P2.7: Cho tín hiệu tuần hoàn f(t) : f(t) 1 a) Biểu diễn f(t) ở dạng chuổi Fourier phức ? t(s) b) Tìm biến đổi Fourier: F{einω0 t } –3T–2T –T 0 T 2T 3T c) Suy ra F() = F{f(t)} ? 1 (Ans: a) f(t) einω0 t  T inω0 t b) F{e } 2 .  (  n 0 ) c) F( ) 0 (  n  0 ) ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 19
8. Chương 2: Biến đổi Fourier P2.9: Cho R1 = R2 = 2, L = 1H, e(t) = 10[u(t) – u t – 2)]V, xác định hàm truyền trong miền tần số H(j) = V()/E() ? Dùng biến đổi Fourier tìm điện áp v(t) ? Cho biết giá trị v(t = 1s) ? (Ans: v(t) = 5e–tu(t) – 5e–(t – 2)u(t – 2 ) ; v(1s) = 1,839 V) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 21
9. Chương 3: Biến đổi Laplace P3.1: Tìm biến đổi Laplace của các tín hiệu: a) 2e4t b) 2t2 e t c) 6sin2t 5cos 2 t d) (sint cos t)2 3 (Ans: a) 2 b) 4 4s s c) 12 5 s d) 1 2 ) s 4s3 (s 1) s 2 4 s s 2 4 P3.2: Tìm biến đổi Laplace của các tín hiệu: a) t3 e 3t b) 2e3t sin(4t) c) e 4t cosh(2t) d) 5cos(t) (t 2 ) (Ans: a) 6 b) 8 c) s 4 d) 5cos(2)e 2s ) (s3) 4 s625 2 s s812 2 s Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 23
10. Chương 3: Biến đổi Laplace P3.5: Tính: t a) £ (3 2sin  )d  0  t b) £ (e ax cos(ωx)dx 0  d at  c) £ e sin(ωt  dt  (Ans: a) 6 2 b) s a c) sω ) s5 s(s 2 4) s[(s a) 2 ω 2 ] [(s a) 2 ω 2 ] Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 25
11. Chương 3: Biến đổi Laplace P3.8: Cho tín hiệu : 2t2 khi 0 t 3 f(t) t 4 khi 3 t 5 9 khi 5 t a) Vẽ dạng f(t) theo t ? b) Xác định ℒ{f(t)} ? (Ans: b) 4 4 11 11e 3s 1 e 5 s ) s3 s 3 s 2s s 2 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 27
12. Chương 3: Biến đổi Laplace P3.10: Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu không tuần hoàn : Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 29
13. Chương 3: Biến đổi Laplace P3.13: Tìm biến đổi Laplace của dãy xung tuần hoàn : P3.14: Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn : f(t) 1 t(s) s (Ans: 1 e ) 0 1 2 3 4 s2 s(1 e s ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 31
14. Chương 4: Biến đổi Laplace ngược P4.2: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau dùng bảng tra gốc - ảnh và các tính chất của biến đổi : a) 1 e 2s b) 8 e 3s s2 s2 4 s 2s 1 3s c) 2 e d) e s 3s 2 s2 2s 5 (Ans: a) (t 2)u ( t 2) b) 4sin2(t 3) u ( t 3) c) [2e 2(t 2) e (t 2) ]u( t 2) 1 (t 3) d) 2 e sin 2(t 3) u ( t 3) ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 33
15. Chương 4: Biến đổi Laplace ngược P4.4: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau dùng phương pháp khai triển Heaviside ? 2 a) 3s 2 c) 6s 4 (s 1)( s 2)( s 4) (s2 4 s 20) 2 2s 9 s 19 s 1 b) 2 d) (s 3)( s 1) (s 3)( s2 2 s 2) 1 t 7 2t 4tt 3 t 2t (Ans: a) 3 e 3 e 5e b) (3t 2)e 4e c) 2e (3cos 4 t sin 4 t ) 1 t 4 3t d) 5 e (4cost 3sin t ) 5 e ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 35
16. Chương 4: Biến đổi Laplace ngược P4.6: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau: 10(s2 119) (4s2 7 s 1) a) 2 c) (s 5)( s 10 s 169) s( s 1)2 2 s 4 s 5 4s2 7 s 13 b) 2 d) (s 3)( s 2 s 2) (s 2)( s2 2 s 5) (Ans: (a) 10e 5t 8,33e 5 t sin12 t (b) 0,4 e 3 t e t (0,6cost 0,8sin t ) (c) 1 2te t 3 e t d) 3 e 2 t 2e t cos(2t 45 o ) ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 37
17. Chương 4: Biến đổi Laplace ngược P4.8: Tìm biến đổi Laplace ngược của các ảnh Laplace sau: 2 3 2 a) 5s 29 s 32 b) 16s 72 s 216 s 128 (s 2)( s 4) (s2 2 s 5) 2 2 10s 85 s 95 5(s2 8 s 5) c) 2 d) (s 6 s 5) (s2 4 s 5) (Ans: (a) 5δ(t) (3e 2t 2e 4t ) (b) 50 t e t cos(2t 16,3 o ) 20e t cos(2t 36,9 o ) (c) 10δ(t) (5e t 20e 5t ) d) 5δ(t) 44.72e 2t cos( t 63,4 o) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 39
18. Chương 4: Biến đổi Laplace ngược P4.10: Tìm z(t) = x(t)*y(t) ? (Dấu * ký hiệu tích chập) a) z(t) = u(t)*et ? b) z(t) = et*et ? c) z(t) = u(t)*cost ? d) z(t) = u(t – 1)*t ? (Ans: (a) z(t) et 1 (b) z(t) te t (t 1)2 (c) z(t) sint (d) z(t) 2 u(t 1) ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 41
19. Chương 4: Biến đổi Laplace ngược P4.12: Tìm z(t) = x(t)*y(t) ? 8t khi 0 t 2 16 8t khi 2 t 6 16 khi 6 t 8 (Ans: z(t) ) 8t 80 khi 8 t 12 112 8t khi 12 t 14 0 khi 14 t Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 43
20. Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE P5.3: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân: t 0 t 1 Với điều kiện biên : y(0) = 0 . y' y 0 1 t (Ans: y(t) e t (t 1) (t 1)u(t 1) ) P5.4: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân: y'' 4 y u ( t 2) Với điều kiện biên : y(0) = 0, y’(0) = 1 . 1 2 sin 2t (0 t 2) (A:ns y(t) ) 1sin 2t 1 [1 cos 2( t 2)] (2 t) 2 4 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 45
21. Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE P5.7: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân: y'' 3 y ' 2 y 4 t 12 e t Với điều kiện biên : y(0) = 6, y’(0) = – 1 . (Ans: 3et – 2e2t + 2t + 3 + 2e–t ) P5.8: Dùng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân: y'' 4 y ' 5 y 125 t 2 Với điều kiện biên : y(0) = 0, y’(0) = 0 . (Ans: 25t2 + 40t + 22 + 2e2t(2sint – 11cost) ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 47
22. Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE P5.10: Dùng biến đổi Laplace tìm x(t) và y(t) : x'' y t t x'' y e Với điều kiện biên: x(0) = 0, x’(0) = – 2, y(0) = 0 . 12 1 t 1 3 x 1 2 t 2 e 2 cos t 2 sin t (Ans: ) y 1 1 e t 1 cos t 3 sin t 2 2 2 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 49
23. Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace giải ODE P5.12: Cho hệ phương 2x ' 3 x y ' 3 sin t trình vi phân: 2y ' 3 y x ' Với điều kiện biên: x(0) = 0, y(0) = 0 . a) Tìm Y(s) ? b) Suy ra y(t) khi t > 0 ? (Ans: Y(s) s (s 1)( s2 1)( s 3) 1 3t t y(t) 20 3e 5 e 2cos t 4sin t ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 51
24. Chương 6: Biến đổi Laplace giải tích mạch điện P6.3: Cho R = 10, L = 1H, C = 0,01F, e(t) = (t). Biết áp trên tụ và dòng qua cuộn dây bằng 0 tại t = 0. Dùng biến đổi Laplace tìm và vẽ dạng điện áp trên tụ điện khi t > 0 ? (Ans: 20 e 5t sin(5 3t) V) 3 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 53
25. Chương 6: Biến đổi Laplace giải tích mạch điện P6.6: Biết áp trên tụ và dòng qua cuộn dây bằng 0 tại t = 0, dùng biến đổi Laplace tìm áp v0(t) ? P6.7: Biết dòng qua cuộn dây bằng 0 tại t = 0, dùng biến đổi Laplace tìm áp v0(t) ? Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 55
26. Chương 6: Biến đổi Laplace giải tích mạch điện P6.9: Biết v0(0) = 0, tìm và vẽ dạng v0(t) khi t > 0 ? 40 40e 50t if 0 t 10 ms 50(t 10 ms ) (Ans: v0 (t) 40 55.74e if 10 t 20 ms ) 6.19e 50(t 20 ms ) if t 20 ms P6.10: Tìm v0(t) khi t > 0 ? Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 57
27. Chương 7: Hàm phức giải tích P7.4: Cho hàm f(z) = [x3 + x2 – (3x + 1)y2] + i[xy(3x + 2) – y3], chứng minh rằng f(z) giải tích với mọi z và tìm f’(z) ? Biểu diễn f(z) và f’(z) là các hàm theo z ? (Ans: f(z) = z3 + z2 ; f’(z) = 3z2 + 2z ) P7.5: Chứng tỏ rằng f(z) = e–y(cosx + isinx) thỏa điều kiện Cauchy-Riemann với mọi z ? Tìm f’(z) và viết kết quả dưới dạng hàm theo biến z ? (Ans: f’(z) = ieiz ) P7.6: Chứng minh rằng các hàm sau là hàm toàn phần (hàm giải tích với mọi z) ? a) f(z) = 3x + y + i(3y – x) b) f(z) = sinx.coshy + icosx.sinhy Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 59
28. Chương 7: Hàm phức giải tích P7.9: Chứng minh rằng hàm u(x, y) đã cho là hàm điều hòa ? Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ? (a) u(x,y) = x2 –y2 +2x (b) u(x,y) = x3 –3xy2 – 5y (Ans: (a) v = 2xy + 2y + C (b) v = 3x2y – y3 + 5x + C ) P7.10: Chứng minh rằng hàm u(x, y) đã cho là hàm điều hòa ? Tìm một hàm điều hòa liên hợp v(x,y) để f(z) là giải tích ? Biểu diễn lại f(z) chỉ theo biến z ? (a) u(x,y) = sinx.coshy (b) u(x,y) = ex[xcosy – ysiny] (Ans: (a) v = cosx.sinhy; f(z) = sin(z) (b) v = ex[xsiny + ycosy]; f(z) = zez ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 61
29. Chương 7: Hàm phức giải tích P7.13: Tính toán giá trị các hàm phức sau và đặt kết quả dưới dạng đại số a + ib : a) e2 i3 b) ln(1 i 3) c) sin(1 i) d) cosh(1 i) e) Trị chính của ii f) Trị chính của (1 + i)1 + i 2 (Ans : a) e b) ln2 i3 ik2 c) 1.299 0.635i d) 0.8337 0.9889i e) e / 2 f) 0.274 0.5837i ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 63
30. Chương 8: Tích phân phức P8.1: Tính tích phân hàm phức biến thực : 1 i 1 i 1 a) (e2z )dz b) (cosz)dz c) (ez )dz 0 0 i (Ans: (a) [e2(cos2 + isin2) – 1]/2 (b) (sin1cosh + icos1sinh ) (c) e + 1 ) P8.2: Tính : 3 i (z2 )dz 0 a) Dùng công thức thứ nhất (tìm một nguyên hàm). b) Dùng công thức thứ hai với đường (c) là đoạn thẳng nối từ điểm z = 0 đến z = 3+ i . (Biểu diễn đường (c) có phương trình z(t) = x(t) + i.y(t) với a ≤ t ≤ b ) (Ans: (a) = (b) = (18 + 26i)/3 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 65
31. Chương 8: Tích phân phức 1 i P8.5: Tính : (x y)dz 0 Với đường lấy tích phân : a) Dọc theo trục Oy, từ 0 đến i, sau đó dọc theo đường y = 1 đến 1+ i . b) Đoạn thẳng từ z = 0 đến z = 1+ i. (Ans: (a) (3 + i)/2 (b) (1 + i) ) i P8.6: Tính : (x2 iy 2 )dz i Với đường lấy tích phân là : a) Nửa đường tròn |z| = 1 trong nửa trên mặt phẳng phức. b) Dọc theo đường thẳng x = 0 . (Ans: (a) (-2 + i4)/3 (b) – 2/3 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 67
32. Chương 8: Tích phân phức P8.8: a) Xác định các nghiệm của phương trình : z3 – 1 = 0 ? b) Dùng công thức tích phân Cauchy để tính : 1 I 3 2 dz |z 1| 1 (z 1) (Ans: (a) 1; 1120o; 1-120o (b) chỉ nghiệm 1 là bên trong C, ta có I = – 4 i/9 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69
33. Chương 8: Tích phân phức P8.10: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính : z z3 3z 1 a) 2 dz d) 2 2 dz |z| 2 (z 7z 6) |z| 2 z (z 5) z3 b) 2 2 dz |z i| 0,5 (z 1)(z z 1) (z 1) c) 2 dz |z| 1 z(z 2) (z 3) (Ans: (a) -2 i/5 (b) – (c) i/6) (d) -6 i/5 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 71
34. Chương 8: Tích phân phức P8.12: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính : 5z dz C (z 1)(z 2)(z 4i) Với C là: a) Đường tròn |z| = 3 ? b) Đường tròn |z| = 5 ? (Ans: (a) (4 /17)[9 + 2i] (b) 0 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 73
35. Chương 8: Tích phân phức P8.14: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính : z 1 a) 2 dz (C: đường tròn đơn vị |z | = 1 ) C z (z 2) z 1 b) 2 dz (C: đường tròn |z – 2 – i | = 2 ) C z (z 2) z 1 c) 2 dz (C: đường tròn |z – 1 – 2i | = 2 ) C z (z 2) 1 d) dz (C: đường tròn |z + i | = 1 ) C (2z 3i)(z i) (Ans: (a) – 3i /2 (b) 3i /2 (c) 0 (d) 2 i/5 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 75
36. Chương 8: Tích phân phức P8.16: Dùng công thức tích phân Cauchy để tính : 1 5z 2 a) 3 dz c) 2 dz |z i| 2 z (z 2) |z| 3 (z z) 1 z10 b) 2 dz d) 10 dz |z| 1 z +4iz 1 |z| 1 (z 0,5)(z 2) (Ans: (a) – i/4 (b) /5 (c) 10 i d) 2 i/(211 + 1) )) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 77
37. Chương 9: Chuổi hàm phức P9.2: Khai triển hàm f(z) = 1/[z( z – 2i)] thành chuổi Taylor quanh điểm z = i dùng hai phương pháp: a) Theo định nghĩa, tức là dùng f(n)(i) cho đến thành phần (z – i)4. b) Theo phương pháp thế và dùng các chuổi cơ bản. c) Cho biết bán kính hội tụ của chuổi. 1 2 4 (Ans : (a) z(z 2i) 1 (z i) (z i) + 1 2 4 6 (b) z(z 2i) 1 (z i) (z i) (z i) + (c) | z i | 1 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 79
38. Chương 9: Chuổi hàm phức P9.5: Khai triển hàm f(z) = (z – 1)/(z + 1) thành chuổi Taylor quanh điểm z = 1 ? Xác định bán kính hội tụ ? (z 1) (z 1)2 (z 1) 3 (Ans : 2 4 8 ; |z1|2 ) P9.6: Khai triển hàm f(z) = 1/z thành chuổi Taylor quanh điểm z = i ? Xác định bán kính hội tụ ? (Ans : i (z i) i(z i)2 (z i) 3 i(z i) 4 ; |z i| 1 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 81
39. Chương 9: Chuổi hàm phức P9.9: Cho hàm phức : f (z) 1 z2 (1 z) Khai triển f(z) thành chuổi Laurent quanh điểm: a) z = 0 . b) z = -1. Xác định miền hội tụ cho mỗi trường hợp ? (Ans : (a) 1 1 1 z z2 ;0 | z | 1 z2 z 1 2 (b) z+1 2 3(z 1) 4(z 1) ;0 | z 1| 1 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 83
40. Chương 9: Chuổi hàm phức P9.11: Tìm khai triển chuổi (Taylor/Laurent) của hàm f(z) = 1/(2 – z) quanh điểm z = 0 trong các miền : a) |z| 2 ? 2n+1  z n+1 n=0 n=0 P9.12: Tìm khai triển chuổi (Taylor/Laurent) của hàm f(z) = 1/(2 – z) + 1/( 1 – z) quanh điểm z = 0 trong các miền : a) |z| 2 ? b) 1 1 1 1 z 1 z2 z2 z 2 4 8 c) 9 5 3 2 ) z4 z 3 z 2 z Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 85
41. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.1: Xác định các điểm bất thường cô lập của f(z) và cho biết loại của chúng ? z2 2z3 z 1 sin(mz) 1 cos z a) b) c) 2 (z 1)3 (z 4)2 (z i)(z 1 2i) (z 2z 2) d) z (Ans: a) z = -1 : cực cấp 3. b) z = 4: cực cấp 2; z = i và 1 – 2i : cực đơn . c) z = – 1 + i and – 1– i : cực đơn . d) z = 0 : điểm bất thường bỏ được . Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 87
42. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.4: Tìm thặng dư của hàm phức : f(z) 1 z(z 2)4 tại z = 2 dùng phương pháp : a) Khai triển chuổi Laurent quanh điểm z = 2 ? b) Dùng công thức tính thặng dư tại cực ? (Ans: (a), (b) : – 1/16 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 89
43. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.6: Tìm thặng dư của các hàm tại các cực: 2 6 4 3 a) 3z 2 c) z 4z z 1 (z 1)(z2 9) (z 1)5 3 2 z z z 1 3 4z b) 3 d) (z 4z) (z3 3z 2 2z) (Ans: a) Res{f,3i} = (15-5i)/12; Res{f,-3i} = (15+5i)/12; Res{f,1} = 1/2 b) Res{f,2i} = (-3+6i)/8; Res{f,-3i} = (-3-6i)/8; Res{f,0} = -1/4 c) Res{f,1} = 19 d) Res{f,-2} = -5/2; Res{f,-1} = 1 ; Res{f,0} = 3/2) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 91
44. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.8: Cho C là đường tròn |z| = 4 , tính: I f (z)dz C z 1 1 a) f (z) b) f (z) 2 c) f (z) 3 z2 1 z (z 2) z(z 2) z2 1 1 d) f(z) e) f ( z ) 2 f ) f (z) (z2 3z 2) 2 (z z 1) z(z2 6z 4) (Ans: a) 2i b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0.27i ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 93
45. Chương 10: Lý thuyết thặng dư (residue) P10.10: Dùng định lý thặng dư, tính các tích phân: z i [C = hình vuông, cạnh = 8, tâm tại gốc tọa độ] a) 2 d z C z 6 z2 2z [C = hình tròn |z + i| = 2 ] b) 2 2 dz C (z 1) (z 4) 1 c) 3 dz [C = hình chữ nhật, các cạnh là ± i; 3 ± i ] C (z 1) (z 1)(z 2) 2 19 i (Ans: a) 2 i b) 25 (25 39i) c) 108 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 95
46. Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư P11.1: Ứng dụng lý thuyết thặng dư, tính : 2 1 2 1 a) (5 3cos  ) d c) d 0 0 (5 4sin  ) 2 2 b) 1 d d) cos(2 ) d 0 (cos 2sin  3) 0 (2 cos  ) (Ans: (a) /2 (b) (c) 2 /3 (d) 2 [7/3 – 4] ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 97
47. Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư P11.3: Ứng dụng lý thuyết thặng dư, tính : a) 1 dx 1 (x2 1) b) 2 2 dx 0 0 (x 1) 1 1 c) 4 dx d) 6 dx 0 (x 1) 0 (x 1) (Ans: (a) /2 (b) /4 (c) /22 (d) /3 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 99
48. Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư P11.5: Ứng dụng lý thuyết thặng dư, tính : 1 x2 a) 2 2 dx b) 4 dx 2 [(x 2) 4] 0 (x 1) 1 x4 c) 2 dx d) 6 dx (x 2x 4) 0 (x 1) (Ans: (a) 0,0982 (b) 1,1107 (c) 1,814 (d) 1,05 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 101
49. Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư P11.7: Ứng dụng lý thuyết thặng dư, tính : sin(3x) a) I 2 dx (x 2x 2) sin(x) b) I 2 dx (x 4x 5) cos(3x) c) I 2 dx 0 (x 1) 3 1 e 3 (Ans : (a) e sin3 (b) e sin2 (c) 2 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 103
50. Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư P11.9: Ứng dụng lý thuyết thặng dư, tìm f(t) biết ảnh Laplace của nó : 1 1 a) F(s) b) F( s) 2 (s 2)(s 2)(s 1)2 (s 2) (s 4) c) F(s) 1 (s2 9)(s 2) 2 1t 2 t 1 2t 1 2t 1 4t t 2t 1 2t (Ans : (a) 3 te 9 e 4 e 36 e (b) 36 e 6 e 36 e t2t 4 2t 12cos3t 5sin3t (c) 13e 169 e 507 ) Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 105
51. Chương 12: Ánh xạ bảo giác P12.2: Xác định ảnh của đường thẳng x = 1 bởi hàm phức w = z2 ? Biểu diễn đồ thị của kết quả ? (Ans: Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 107
52. Chương 12: Ánh xạ bảo giác P12.4: Ánh xạ tuyến tính w = αz + β biến điểm z1 = (2 – i) trên mặt phẳng z thành điểm w1 = 1 trên mặt phẳng w và điểm z2 = 0 thành w2 = (3 + i). a) Xác định α và β ? b) Tìm ảnh của nửa mặt phẳng Re{z} < 0 ? c) Tìm ảnh của đĩa tròn 5|z| ≤ 1 ? (Ans: (a) 3 4i ;β 3 i (b) 3u 4v 13 (c) |w 3 i | 1/ 5 ) 5 Bài tập Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 109