Đề ôn tập Xác suất thống kê (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập Xác suất thống kê (Có đáp án)

1. Caùc ñeà toaùn 5 xaùc suaát 0,9 ñöôïc coâng nhaän laø toát, vaø moät boùng ñeøn hoûng coù xaùc suaát 0,95 bò loaïi boû. Haõy tính tyû leä boùng ñaït tieâu chuaån sau khi qua khaâu kieåm tra chaát löôïng saûn phaåm. 37. Coù boán nhoùm xaï thuû taäp baén. Nhoùm thöù nhaát coù 5 ngöôøi, nhoùm thöù hai coù 7 ngöôøi, nhoùm thöù ba coù 4 ngöôøi vaø nhoùm thöù tö coù 2 ngöôøi. Xaùc suaát baén truùng ñích cuûa moãi ngöôøi trong nhoùm thöù nhaát, nhoùm thöù hai, nhoùm thöù ba vaø nhoùm thöù tö theo thöù töï laø 0,8; 0,7; 0,6 vaø 0,5. Choïn ngaãu nhieân moät xaï thuû vaø xaï thuû naøy baén tröôït. Haõy xaùc ñònh xem xaï thuû naøy coù khaû naêng ôû trong nhoùm naøo nhaát. 38. Trong soá beänh nhaân ôû moät beänh vieän coù 50% ñieàu trò beänh A; 30% ñieàu trò beänh B vaø 20% ñieàu trò beänh C. Xaùc suaát ñeå chöõa khoûi caùc beänh A, B, vaø C trong beänh vieän naøy töông öùng laø 0,7; 0,8 vaø 0,9. Haõy tính tyû leä beänh nhaân ñöôïc chöõa khoûi beänh A trong toång soá beänh nhaân ñaõ ñöôïc chöõa khoûi beänh. 39. Trong moät kho röôïu soá löôïng loaïi A vaø röôïu loaïi B baèng nhau. Ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân moät chai röôïu trong kho vaø ñöa cho 5 ngöôøi saønh röôïu neám thöû ñeå xaùc ñònh xem ñaây laø loaïi röôïu naøo. Giaû söû moãi ngöôøi coù xaùc suaát ñoaùn ñuùng laø 75%. Coù 4 ngöôøi keát luaän chai röôïu loaïi A vaø 1 ngöôøi keát luaän chai röôïu loaïi B. Hoûi khi ñoù xaùc suaát ñeå chai röôïu ñöôïc choïn thuoäc loaïi A laø bao nhieâu? 40. Bieát raèng moät ngöôøi coù nhoùm maùu AB coù theå nhaän maùu cuûa baát kyø nhoùm maùu naøo. Neáu ngöôøi ñoù coù nhoùm maùu coøn laïi (A hoaëc B hoaëc O) thì chæ coù theå nhaän maùu cuûa ngöôøi cuøng nhoùm vôùi mình hoaëc ngöôøi coù nhoùm O. Cho bieát tyû leä ngöôøi coù nhoùm maùu O, A, B vaø AB töông öùng laø 33,7%; 37,5%; 20,9% vaø 7,9%. a) Choïn ngaãu nhieân moät ngöôøi caàn tieáp maùu vaø moät ngöôøi cho maùu. Tính xaùc suaát ñeå söï truyeàn maùu thöïc hieän ñöôïc. b) Choïn ngaãu nhieân moät ngöôøi caàn tieáp maùu vaø hai ngöôøi cho maùu. Tính xaùc suaát ñeå söï truyeàn maùu thöïc hieän ñöôïc. 41. Moät beänh nhaân bò nghi laø coù theå maéc moät trong ba beänh A, B, C vôùi caùc xaùc suaát töông öùng laø 0,3; 0,4 vaø 0,3. Ngöôøi ñoù ñeán khaùm beänh ôû 4 baùc só moät caùch ñoäc laäp. Baùc só thöù nhaát chaån ñoaùn beänh A, baùc só thöù hai chaån ñoaùn beänh B, baùc só thöù ba chaån ñoaùn beänh C vaø baùc só thöù tö chaån ñoaùn beänh A. Hoûi sau khi khaùm beänh xong, ngöôøi beänh caàn ñaùnh giaù laïi xaùc suaát maéc beänh A, B, C cuûa mình laø bao nhieâu. Bieát raèng xaùc suaát chaån ñoaùn ñuùng cuûa moãi oâng baùc só laø 0,6; vaø chaån ñoaùn nhaàm sang hai beänh coøn laïi laø 0,2 vaø 0,2. Chương 2
2. Caùc ñeà toaùn 7 X 0 1 2 3 4 5 P 0,15 0,3 0,25 0,2 0,08 0,02 vaø Y 0 1 2 3 4 5 P 0,3 0,2 0,2 0,15 0,1 0,05 a) Tính EX vaø EY. b) Tính P {X + Y 3} neáu X vaø Y ñoäc laäp. 51. Hai ñaáu thuû A vaø B thi ñaáu côø. Xaùc suaát thaéng cuûa A laø 0,4 trong moãi vaùn chôi (khoâng coù hoøa). Neáu thaéng A seõ ñöôïc moät ñieåm, neáu thua seõ khoâng ñöôïc ñieåm naøo. Traän ñaáu seõ keát thuùc khi hoaëc A giaønh ñöôïc 3 ñieåm tröôùc (khi ñoù A laø ngöôøi thaéng) hoaëc B giaønh ñöôïc 5 ñieåm tröôùc (khi ñoù B laø ngöôøi thaéng). a) Tính xaùc suaát thaéng cuûa A. b) Goïi X laø soá vaùn caàn thieát cuûa toaøn boä traän ñaáu. Laäp baûng phaân boá xaùc suaát cuûa X. 52. Moät loâ haøng goàm 7 saûn phaåm trong ñoù coù 3 pheá phaåm. Choïn ngaãu nhieân ra 4 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Goïi X laø soá saûn phaåm toát trong 4 saûn phaåm laáy ra. Tìm phaân boá xaùc suaát cuûa X vaø tính EX. 53. Trong moät chieác hoøm coù 10 taám theû trong ñoù 4 theû ghi soá 1, 3 theû ghi soá 2, 2 theû ghi soá 3 vaø 1 theû ghi soá 4. Haõy tìm phaân boá xaùc suaát cuûa X vaø EX. 55. Moät tuùi chöùa 4 quaû caàu traéng vaø 3 quaû caàu ñen. Hai ngöôøi chôi A vaø B laàn löôït ruùt moät quaû caàu trong tuùi (ruùt xong khoâng traû laïi vaøo tuùi). Troø chôi keát thuùc khi coù ngöôøi ruùt ñöôïc quaû caàu ñen. Ngöôøi ñoù xem nhö thua cuoäc vaø phaûi traû cho ngöôøi kia soá tieàn laø soá quaû caàu ñaõ ruùt ra nhaân vôùi 5 USD. Giaû söû A laø ngöôøi ruùt tröôùc vaø X laø soá tieàn A thu ñöôïc. Laäp baûng phaân boá xaùc suaát cuûa X. Tính EX. Neáu chôi 150 vaùn thì trung bình A ñöôïc bao nhieâu? 56. Caùc ÑLNN X vaø Y coù baûng phaân boá xaùc suaát ñoàng thôøi nhö sau: Y 1 2 3 X 1 0,12 0,15 0,03 2 0,28 0,35 0,07 a) Chöùng minh raèng X vaø Y ñoäc laäp. b) Tìm quy luaät phaân boá cuûa ÑLNN Z = XY. c) Tính EZ baèng hai caùch vaø kieåm tra EZ = EX.EY. 57. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá xaùc suaát nhö sau: X 0 1 2 3 P 0,4 0,3 0,2 0,1 Y 0 1 2 3 4 P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05
3. Caùc ñeà toaùn 9 a) Giaû söû X  B (1; 0,2) vaø Y  B (2; 0,2). Laäp baûng phaân boá xaùc suaát cuûa X, Y vaø X + Y. b) Giaû söû X  B (1; 0,5) vaø Y  B (2; 0,2). Laäp baûng phaân boá xaùc suaát cuûa X + Y; X + Y coù phaân boá nhò thöùc hay khoâng? 64. Tung moät ñoàng xu caân ñoái 2n laàn; goïi f(n) laø xaùc suaát ñeå soá laàn ra maët saáp baèng soá laàn ra maët ngöûa. Tính f(n) vaø chöùng toû raèng f(n) laø moät haøm giaûm cuûa n. 65. Hai ñaáu thuû A vaø B ñaáu vôùi nhau 2m + 1 vaùn côø. Xaùc suaát thaéng cuûa A trong 1 vaùn laø p. Tìm xaùc suaát ñeå A thaéng nhieàu vaùn hôn B. Tính giaù trò cuûa xaùc suaát ñoù vôùi m = 2 vaø p = 0,25. 66. (Baøi toaùn Banach). Moät nhaø toaùn hoïc luoân mang trong mình hai bao dieâm, moät bao ôû tuùi phaûi, moät bao ôû tuùi traùi. Khi caàn laáy dieâm oâng ta choïn ngaãu nhieân moät tuùi moùc bao dieâm töø tuùi ra vaø laáy moät que dieâm. Giaû söû luùc ñaàu moãi bao coù n que dieâm. Xeùt thôøi ñieåm maø nhaø toaùn hoïc phaùt hieän ra raèng bao dieâm ñöôïc moùc ra ñaõ heát dieâm. Tính xaùc suaát ñeå khi ñoù bao kia coøn k que dieâm ( k = 0, 1, 2, , n). 67. Trong moät cuoäc xoå soá ngöôøi ta phaùt haønh 10 vaïn veù trong ñoù coù 1 vaïn veù truùng giaûi. Caàn phaûi mua ít nhaát bao nhieâu veù ñeå vôùi xaùc suaát khoâng nhoû hôn 0,95 ta seõ truùng ít nhaát 1 veù? 68. Trong moät thaønh phoá nhoû, trung bình moät tuaàn coù 2 ngöôøi cheát. Tính xaùc suaát ñeå: a) Khoâng coù ngöôøi cheát naøo trong voøng 1 ngaøy. b) Coù ít nhaát ba ngöôøi cheát trong voøng 2 ngaøy. 69. Taïi moät traïm kieåm soaùt giao thoâng trung bình moät phuùt coù hai xe oâtoâ ñi qua. a) Tính xaùc suaát ñeå coù ñuùng 6 xe ñi qua trong voøng 3 phuùt. b) Tính xaùc suaát ñeå trong khoaûng thôøi gian t phuùt, coù ít nhaát 1 xe oâtoâ ñi qua. Xaùc ñònh t ñeå xaùc suaát naøy laø 0,99. 70. Taïi moät nhaø maùy naøo ñoù trung bình moät thaùng coù hai tai naïn lao ñoäng. a) Tính xaùc suaát ñeå trong khoaûng thôøi gian ba thaùng xaûy ra nhieàu nhaát laø ba tai naïn. b) Tính xaùc suaát ñeå trong ba thaùng lieân tieáp, moãi thaùng xaûy ra nhieàu nhaát laø moät tai naïn. 71. Moät traïm cho thueâ xe taxi coù 3 chieác xe. Haøng ngaøy traïm phaûi noäp thueá 8 USD cho 1 chieác xe (duø xe ñoù coù ñöôïc thueâ hay khoâng). Moãi chieác xe ñöôïc cho thueâ vôùi giaù 20 USD. Giaû söû soá yeâu caàu thueâ xe cuûa traïm trong moät ngaøy laø ÑLNN X coù phaân boá Poaùtxoâng vôùi tham soá  = 2,8. a) Goïi Y laø soá tieàn thu ñöôïc trong 1 ngaøy cuûa traïm. Laäp baûng phaân boá xaùc suaát cuûa Y. Tính soá tieàn trung bình traïm thu ñöôïc trong 1 ngaøy. b) Giaûi baøi toaùn treân trong tröôøng hôïp traïm coù 4 chieác xe. c) Traïm neân coù 3 hay 4 chieác xe?
4. Caùc ñeà toaùn 11 78. Cho ÑLNN lieân tuïc X coù haøm maät ñoä f(x) = k(1 – x) neáu 0 x 1 vaø f(x) = 0 neáu traùi laïi. Tìm haèng soá k, median vaø phöông sai cuûa X. 79. Cho ÑLNN lieân tuïc X nhaän giaù trò trong khoaûng [0, ) coø haøm phaân boá: x2  1 exp  vôùi x 0 F (x) 2  0 neáux 0 Tìm haøm maät ñoä, kyø voïng, median vaø mod. 80. Cho ÑLNN X coù phaân boá ñeàu treân [1, 2]. Tính P{2  1. a) Tìm haèng soá k. b) Tính EX. 84. Cho ÑLNN lieân tuïc X coù haøm maät ñoä: kx2 neáu0 x 3 f (x) 0 neáutraùi laïi a) Tìm haèng soá k. b) Tính P{X > 2}. c) Tính median cuûa X. 3 d) Tìm a ñeå P{X 1,5} vaø P{0,1 < X < 1,1}. 86. Cho ÑLNN lieân tuïc X coù haøm maät ñoä:
5. Caùc ñeà toaùn 13 0 neáu x 0 2 x F (x) neáu0 x 2 2 x 1 neáu x ôû ñoù > 0 laø haèng soá. a) Tìm haøm maät ñoä f(x). b) Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa X theo . 92. Khoái löôïng cuûa moät con gaø 6 thaùng tuoåi laø moät ÑLNN X (ñôn vò laø kg) vôùi haøm maät ñoä nhö sau: k(x2 1) vôùi 2 x 3 f (x) 0 vôùi x coønlaïi Tìm khoái löôïng trung bình cuûa con gaø 6 thaùng tuoåi vaø ñoä leäch tieâu chuaån. 93. Cho ÑLNN lieân tuïc X coù haøm phaân boá: 0 neáu x 0 F (x) x neáu0 x 1 1 neáu x 1 ôû ñoù > 1. a) Tìm moâmen caáp k cuûa K. b) Tìm moâmen quy taâm caáp 1, 2, 3, 4. c) Tìm heä soá baát ñoái xöùng vaø heä soá nhoïn. 94. Dieän tích laù cuûa moät loaïi caây naøo ñoù laø moät ÑLNN X (ñôn vò ño laø cm2) vôùi haøm maät ñoä: kx2 (x 2)2 neáu0 x 4 f (x) 0 neáutraùi laïi a) Tìm haèng soá k vaø veõ ñoà thò cuûa f(x). b) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. 95. Cho ÑLNN lieân tuïc X coù haøm maät ñoä: kx 3 / 2 neáux 1 f (x) 0 neáux 1 a) Tìm haèng soá k vaø haøm phaân boá F(x). 1 b) Tìm haøm maät ñoä cuûa ÑLNN Y = . X c) Tính P{0,1 < Y < 0,2}. 96. ÑLNN lieân tuïc X coù haøm maät ñoä nhö sau:
6. Caùc ñeà toaùn 15 f (x) ke  x x ôû ñoù k laø haèng soá,  > 0 laø tham soá cho tröôùc. a) Tìm k theo . b) Tìm haøm phaân boá. c) Tìm kyø voïng, phöông sai, median vaø mod cuûa X. 105. Cho ÑLNN X lieân tuïc coù haøm maät ñoä: kx2e 2x x 0 f (x) 0 x 0 a) Tìm haèng soá k. b) Tìm haøm phaân boá cuûa X. c) Tìm mod cuûa X. d) Tìm kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. 106. Thôøi gian ñi töø nhaø tôùi tröôøng cuûa sinh vieân An laø moät ÑLNN T (ñôn vò laø phuùt) coù phaân boá chuaån. Bieát raèng 65% soá ngaøy An ñeán tröôøng maát hôn 20 phuùt vaø 8% soá ngaøy maát hôn 30 phuùt. a) Tính thôøi gian ñeán tröôøng trung bình cuûa An vaø ñoä leäch tieâu chuaån. b) Giaû söû An xuaát phaùt töø nhaø tröôùc giôø vaøo hoïc 25 phuùt. Tính xaùc suaát ñeå An bò muoän hoïc. c) An caàn phaûi xuaát phaùt tröôùc giôø hoïc laø bao nhieâu phuùt ñeå xaùc suaát bò muoän hoïc cuûa An beù hôn 0,02 ? 107. Moät nhaø maùy baùn moät loaïi saûn phaåm naøo ñoù vôùi giaù 1 USD moät saûn phaåm. Troïng löôïng cuûa saûn phaåm laø moät ÑLNN coù phaân boá chuaån vôùi kyø voïng  kg vaø ñoä leäch tieâu chuaån 1kg. Giaù thaønh laøm ra moät saûn phaåm laø: c = 0,05 + 0,3 Neáu saûn phaåm coù troïng löôïng beù hôn 8kg thì phaûi loaïi boû vì khoâng baùn ñöôïc. Haõy xaùc ñònh  ñeå lôïi nhuaän cuûa nhaø maùy laø lôùn nhaát. 108. Chieàu daøi cuûa moät loaïi caây laø moät ÑLNN coù phaân boá chuaån. Trong moät maãu goàm 640 caây coù 25 caây thaáp hôn 18m vaø 110 caây cao hôn 24m. a) Tính chieàu cao trung bình cuûa caây vaø ñoä leäch tieâu chuaån. b) Öôùc löôïng soá caây coù chieàu cao trong khoaûng töø 16m ñeán 20m trong 640 caây noùi treân. 109. Cho X laø ÑLNN coù phaân boá muõ vôùi tham soá  = 2. Tìm kyø voïng vaø ñoä leäch tieâu chuaån cuûa ÑLNN Y e X . 110. Cho X laø ÑLNN lieân tuïc vôùi haøm maät ñoä: 2 2 kxe h x neáu x 0 f (x) 0 neáu x 0 ôû ñoù h > 0 laø moät tham soá döông cho tröôùc vaø k laø haèng soá. X ñöôïc goïi laø ÑLNN coù phaân boá Reley vôùi tham soá h.
7. Caùc ñeà toaùn 17 c) X vaø Y coù ñoäc laäp hay khoâng ? 115. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN coù haøm maät ñoä ñoàng thôøi laø: 1 x2 y2 neáu 1 f (x, y) 6 9 4 0 neáutraùi laïi Tìm haøm maät ñoä cuûa X vaø Y. 116. Cho X, Y laø hai ÑLNN coù haøm phaân boá ñoàng thôøi laø: sin x sin y neáu0 x , 0 y F (x, y) 2 2 0 neáutraùi laïi Tính P{ X , Y } 6 2 4 3 117. Cho hai ÑLNN X, Y coù haøm maät ñoä ñoàng thôøi nhö sau: 2 xy k(x ) neáu0 x 1, 0 y 2 f (x, y) 2 0 neáutraùi laïi a) Tìm haèng soá k. b) Tìm haøm phaân boá ñoàng thôøi cuûa X vaø Y. 118. Cho hai ÑLNN X vaø Y coù haøm maät ñoä nhö sau: ke x y neáu0 x y f (x, y) 0 neáutraùi laïi a) Tìm haèng soá k. b) Tìm haøm maät ñoä cuûa X vaø Y. c) X vaø Y coù ñoäc laäp hay khoâng ? 119. Cho hai ÑLNN X vaø Y coù haøm maät ñoä ñoàng thôøi: k f (x, y) (1 x2 )(1 y2 ) a) Tìm haèng soá k. b) Tìm haøm phaân boá ñoàng thôøi cuûa X, Y. c) X vaø Y coù ñoäc laäp hay khoâng ? d) Tính xaùc suaát ñeå ñieåm ngaãu nhieân (X, Y) rôi vaøo hình chöõ nhaät vôùi caùc ñænh laø A(1, 1); B ( 3, 1) ; C(1, 0) vaø D ( 3, 0) . 120. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá ñeàu treân ñoaïn [0,2]. Tính P{XY 1, Y 2X vaø X 2Y} 121. Hai ngöôøi baïn heïn gaëp nhau taïi moät vöôøn hoa trong khoaûng töø 5 ñeán 6 giôø ñeå cuøng nhau ñi chôi. Hoï quy öôùc raèng seõ ñôïi nhau khoâng quaù 5 phuùt. Tính xaùc suaát ñeå hoï cuøng nhau ñi chôi. 122. Cho hai ÑLNN X vaø Y ñoäc laäp vôùi nhau vaø cuøng coù phaân boá ñeàu trong khoaûng [a, b] (0 < a < b). Tìm haøm phaân boá vaø haøm maät ñoä cuûa Z = X + Y.
8. Caùc ñeà toaùn 19 133. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN coù haøm maät ñoä ñoàng thôøi laø: e (x y) neáu x 0, y 0 f (x, y) 0 neáutraùi laïi X a) Tìm haøm maät ñoä cuûa U = X + Y vaø V X Y b) Chöùng minh raèng U vaø V ñoäc laäp, X vaø Y ñoäc laäp. 134. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá ñeàu treân [0, 1]. Tìm haøm maät ñoä cuûa U = X + Y vaø 135. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá ñeàu treân [0,1]. Tìm haøm maät ñoä cuûa U = X – Y. 136. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá muõ vôùi tham soá  = 1. Tìm haøm maät ñoä cuûa U = X – Y. 137. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN coù haøm maät ñoä ñoàng thôøi laø: 2e (x y) neáu x 0, y 0 f (x, y) 0 neáutraùi laïi ôû ñoù  > 0 ñaõ cho. Tính P{ X Y a } vôùi a R cho tröôùc. 138. Cho X1, X2, Xn laø caùc ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá muõ vôùi tham soá  > 0. a) Vôùi moãi t > 0, haõy tính: P { X1 X 2  X n t } b) Suy ra haøm phaân boá vaø haøm maät ñoä cuûa: S X1 X 2  X n 139. Cho X, Y, Z laø 3 ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá ñeàu treân [0, 1]. a) Tìm haøm maät ñoä cuûa X + Y + Z. 1 5 b) Tính P{ X Y Z }. 2 2 140. Maët phaúng toïa ñoä ñöôïc keû bôûi caùc ñöôøng thaúng song song: y n(n 0, 1, 2,) Moät chieác kim AB coù ñoä daøi baèng 1 ñöôïc neùm ngaãu nhieân leân maët phaúng. Goïi  [0, ] laø goùc taïo bôûi kim vôùi truïc Ox, Z laø khoaûng caùch töø ñieåm giöõa I cuûa kim ñeán ñöôøng thaúng gaàn nhaát naèm phía döôùi I. Giaû thieát raèng  vaø Z laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp, coù phaân boá ñeàu treân taäp giaù trò cuûa chuùng. Tính xaùc suaát ñeå kim AB caét moät ñöôøng thaúng naøo ñoù. 141. Cho X1, X2, X3 laø 3 ÑLNN ñoäc laäp coù phaân boá ñeàu treân [–1, 1]. a) Tìm haøm maät ñoä cuûa U = X1 + X2 b) Tìm haøm maät ñoä cuûa V = X1 + X2 + X3. Veõ ñoà thò hai haøm maät ñoä tìm ñöôïc.
9. Caùc ñeà toaùn 21 a) Bieát raèng coù 10% haønh khaùch coù troïng löôïng lôùn hôn 85kg vaø 20% haønh khaùch coù haønh lyù naëng hôn 24kg. Tìm ñoä leäch tieâu chuaån cuûa troïng löôïng haønh khaùch vaø troïng löôïng haønh lyù. b) Bieát raèng coù 10% haønh khaùch maø toång troïng löôïng cuûa hoï vaø haønh lyù mang theo lôùn hôn 108kg. Tìm heä soá töông quan giöõa troïng löôïng haønh khaùch vaø troïng löôïng haønh lyù. 150. Trong moät kyø thi toaùn, soá ñieåm X cuûa voøng 1 coù phaân boá chuaån vôùi trung bình 48 vaø ñoä leäch tieâu chuaån laø 15. Soá ñieåm Y cuûa voøng 2 cuõng coù phaân boá chuaån vôùi trung bình 56 vaø ñoä leäch tieâu chuaån 12. Heä soá töông quan cuûa X vaø Y laø 0,7. a) Tìm xaùc suaát ñeå toång soá ñieåm cuûa moät thí sinh choïn ngaãu nhieân lôùn hôn 130; nhoû hôn 90. b) Tìm xaùc suaát ñeå moät thí sinh choïn ngaãu nhieân coù ñieåm voøng 1 cao hôn ñieåm voøng 2. 151. Cho X vaø Y laø hai ÑLNN coù haøm maät ñoä ñoàng thôøi laø: k(1 xy3 ) neáu x 1, y 1 f (x, y) 0 neáutraùi laïi Tìm k vaø (X, Y). 152. Cho X ~ N(7; 1,22) vaø Y ~ N(5; 0,92) a) Tìm P { X + Y 2Y } Giaû thieát raèng X vaø Y ñoäc laäp. 153. Troïng löôïng cuûa ngöôøi choàng coù phaân boá chuaån vôi kyø voïng 80kg vaø ñoä leäch tieâu chuaån 9kg, coøn troïng löôïng ngöôøi vôï coù phaân boá chuaån vôùi kyø voïng 60kg vaø ñoä leäch tieâu chuaån 4kg. Heä soá töông quan giöõa troïng löôïng hai vôï 2 choàng laø . 3 Tính xaùc suaát ñeå vôï naëng hôn choàng. Chương 5 LUAÄT SOÁ LÔÙN VAØ CAÙC ÑÒNH LYÙ GIÔÙI HAÏN
10. Caùc ñeà toaùn 23 n (2n 1) P X n 2  2 (n 1) 2n P X n 0 1 2 Chöùng minh raèng daõy (X n ) tuaân theo luaät soá lôùn. 162. Cho ak k 1 laø daõy caùc soá döông thoûa maõn ñieàu kieän: n 2  ak lim k 1 0 n n 2 Xeùt daõy xaùc ñònh nhö sau: vôùi moãi k, Xk nhaän caùc giaù trò 0, a 2a ka 1 k , k , , k vôùi cuøng xaùc suaát . 2k 1 2k 1 k 1 2k 1 Chöùng minh raèng daõy tuaân theo luaät soá lôùn. 163. Cho daõy caùc ÑLNN ñoäc laäp xaùc ñònh bôûi: 1 P X ln n (n 1) n 2 Daõy ñoù coù tuaân theo luaät soá lôùn hay khoâng ? 164. Moät xí nghieäp saûn xuaát maùy tính coù xaùc suaát laøm ra saûn phaåm pheá phaåm laø 0,02. Choïn ngaãu nhieân 250 maùy tính ñeå kieåm tra. Tính xaùc suaát ñeå: a) Coù ñuùng hai maùy pheá phaåm. b) Coù khoâng quaù hai maùy pheá phaåm. 165. Xaùc suaát ñeå moät haït gioáng khoâng naûy maàm laø 3%. Gieo 150 haït. Tính xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 6 haït khoâng naûy maàm. 166. Moät khu nhaø coù 160 hoä gia ñình. Xaùc suaát ñeå moãi hoä coù söï coá veà ñieän vaøo moãi buoåi toái laø 0,02. Tính xaùc suaát ñeå trong moät buoåi toái: a) Coù ñuùng 4 gia ñình gaëp söï coá veà ñieän. b) Soá gia ñình gaëp söï coá veà ñieän laø töø 2 tôùi 5. 167. Gieo moät con xuùc xaéc 120 laàn. Tính xaùc suaát ñeå soá laàn xuaát hieän “luïc” nhoû hôn 15 trong caùc tröôøng hôïp sau: a) Con xuùc xaéc ñöôïc cheá taïo caân ñoái. 1 b) Xaùc suaát xuaát hieän “luïc” laø trong moät laàn gieo. 10 168. Moät nhaø nghæ coù 1000 khaùch. Nhaø aên phuïc vuï böõa tröa laøm hai ñôït lieân tieáp. Soá choã ngoài cuûa nhaø aên phaûi ít nhaát laø bao nhieâu ñeå xaùc suaát cuûa bieán coá: “khoâng ñuû choã cho ngöôøi ñeán aên” beù hôn 1% ? 169. Cuõng baøi toaùn treân, nhöng giaû thieát nhaø nghæ coù 500 caëp vôï choàng (moãi caëp vôï choàng luoân ñi aên cuøng vôùi nhau).
11. Caùc ñeà toaùn 25 b) Caàn cho pheùp toái ña bao nhieâu ngöôøi döï thi (xaùc suaát ñoã cuûa hoï vaãn laø 90%) ñeå söï kieän: “soá ngöôøi truùng tuyeån khoâng vöôït quaù chæ tieâu” coù xaùc suaát khoâng nhoû hôn 0,99. 179. Choïn ngaãu nhieân 200 ngöôøi, ta thaáy coù 42 ngöôøi huùt thuoác laù. Haõy öôùc löôïng tyû leä ngöôøi huùt thuoác trong toaøn boä daân soá vôùi ñoä tin caäy 95%. 180. Moät tænh A thoâng baùo raèng tyû leä thi toát nghieäp cuûa hoïc sinh trung hoïc cuûa tænh laø 80%. Moät thanh tra cuûa Boä giaùo duïc voán tin raèng tyû leä naøy phaûi nhoû hôn 80% ñaõ laøm moät cuoäc ñieàu tra. Anh ta choïn ngaãu nhieân 72 hoïc sinh thì thaáy trong ñoù coù 50 em toát nghieäp. a) Coù bao nhieâu phaàn traêm soá maãu kích thöôùc 72 maø soá hoïc sinh toát nghieäp nhieàu nhaát laø 50 neáu giaû thieát tyû leä 80% laø ñuùng ? b) Boä coù cô sôû ñeå baùc boû tyû leä 80% cuûa tænh hay khoâng ? 181. Troïng löôïng trung bình cuûa moät gioáng boø laø  (kg) (chöa bieát), coøn ñoä leäch tieâu chuaån laø 38,2kg. Choïn ngaãu nhieân 250 con boø, ta tìm ra ñöôïc troïng löôïng trung bình cuûa chuùng laø 315,4kg. Töø soá lieäu naøy haõy cho moät öôùc löôïng veà  vôùi ñoä tin caäy 95%. 182. Moät ngaãu nhieân goàm 400 con gaø coù trung bình maãu laø 2,08kg vaø ñoä leäch tieâu chuaån laø 0,22kg. Vôùi ñoä tin caäy bao nhieâu coù theå khaúng ñònh raèng troïng löôïng trung bình cuûa gioáng gaø ñoù laø trong khoaûng töø 2,06kg ñeán 2,10kg ? Lôùn hôn 2,07kg ? 183. Thôøi gian soáng trung bình cuûa moät gioáng chuoät nuoâi trong phoøng thí nghieäm laø 258 ngaøy vôùi ñoä leäch tieâu chuaån 45 ngaøy. Choïn ngaãu nhieân 36 con chuoät vaø cho uoáng thöû moät loaïi thuoác A haøng ngaøy. Keát quaû cho thaáy thôøi gian soáng trung bình cuûa nhoùm chuoät naøy laø 274 ngaøy. a) Neáu giaû thieát raèng thuoác A khoâng coù aûnh höôûng tôùi thôøi gian soáng cuûa chuoät, thì coù bao nhieâu phaàn traêm tröôøng hôïp maãu chuoät kích thöôùc 36 coù thôøi gian soáng trung bình khoâng nhoû hôn 274 ngaøy ? b) Thí nghieäm treân coù chöùng toû thuoác A coù taùc duïng laøm taêng thôøi gian soáng cho chuoät hay khoâng ? 184. Thôøi gian laøm vieäc cuûa moät linh kieän ñieän töû maùy tính laø moät ÑLNN coù trung bình 250 giôø, vaø ñoä leäch tieâu chuaån 250 giôø. a) Giaû söû ta döï tröõ 30 linh kieän. Tính xaùc suaát ñeå 30 linh kieän naøy ñuû duøng ít nhaát laø 1 naêm (8760 giôø). b) Phaûi döï tröõ ít nhaát laø bao nhieâu linh kieän ñeå vôùi xaùc suaát 0,99 ta coù theå ñaûm baûo cho maùy tính hoaït ñoäng ít nhaát 1 naêm. Giaû thieát raèng ngoaøi linh kieän ñoù caùc linh kieän khaùc luoân hoaït ñoäng toát ít nhaát 1 naêm. 185. Trong kho coù 100 loâ haøng, moãi loâ coù 90 saûn phaåm toát vaø 10 saûn phaûm xaáu. Vôùi moãi loâ ngöôøi ta kieåm tra ngaãu nhieân 5 saûn phaåm (kieåm tra coù hoaøn laïi). Tính xaùc suaát ñeå toång soá saûn phaåm xaáu trong 100 loâ haøng laø trong khoaûng töø 40 ñeán 55.