Giáo trình Toán chuyên ngành

Nội dung text: Giáo trình Toán chuyên ngành

1. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace f z dz F z C Ví dụ: a) 2z 4cos z dz z2 4sin z C a x b) a xdz C ln a 4. Công thức Newtons-Leibnitz: b b f(z) giải tích trong miền đơn liên D, a,b D, f z dz F z a F b F a a 5. Các phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần vẫn đúng cho tích phân hàm phức. Ví dụ: Tính 5. 1 i a)I z 2 eizdz 0 u z 2 du dz iz e v eizdz i 1 i eiz 11 i ei 1 2 1 i I z 2 eizd i 3 eiz 2 3i ei 1 2i 1 i i i i 0 0 0 1 i b)I z 1 20 zdz 1 i i i t 22 t 21 1 i t z 1 dt dz I t 20 t 1 dz t 21 t 20dz 22 21 22 21 0 0 0 Page 23
2. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §3 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY I. Các định lý: 1. Định lý 1: Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên tục trên D,z D, ta có: 1 f t dt f z 2i t z C • Hệ quả: Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên tục trên D,z0 D, ta có: f z dz 2if z z z 0 C 0 z0 D C 2. Định lý 2: Gỉa sử f(z) giải tích trên D,với biên C trơn từng khúca D ,f(z) có đạo hàm moi cấp ta có: n! f z dz f n a 2i n 1 C z a • Hệ quả: Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên tục trên D,a D, ta có: f z dz 2i f n a ,with : n 0,1,2 n 1 n! C z a CHÚ Ý: dz 2i if : n 1 z z n 0 if : n 1 C 0 z2 Ví dụ: Tính tích phân I dz,With : a)C : z 3,b)C : z 1 k z 2i 1 2 Ck Page 25
3. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 1 z 3i 1 b)I2 dz,With : f z giải tích trong C2, z 3i z 3i C2 f z 2i  z0 3i D2 I2 dz 2if 3i z 3i 6i 3 C2 3i 2i C1 -2i C3 -3i C2 1 1 c)I3 dz,With : f z giải tích trong hình tròn C3, z2 9 z2 9 C2 I3 f z dz 0 C3 ez Vídụ: Tính tích phân I dz,With :C : z i 2 2 2 C z z 2z 2 Page 27
4. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace e z e z I dz dz 2 2 2 C z z 2z 2 C z z 1 i z 1 i  With : C1 : z r1,C2 : z 1 i r2 ,1 i D f z e z e z z 2 4z 4 I1 dz, with : f z ,GT in D1 , f z z 2 z 2 2z 2 2 2 C1 z 2z 2 f 0 1 f z 2if 0 We have :I1 dz 2i. z 2 1! C1 f z e z I 2 dz, with : f z ,GT in D2 z 1 i z 2 z 1 i C2   f z ie1 i We have :I dz 2if 1 i 2 z 1 i 2 C2 1 i 4 e1 i f z dz f z dz f z dz 2i ie1 i 2 2 C C1 C2 ez Vídụ: Tính tích phân I dz,With :C : z 2i 3 2 2 C z z 4 GIẢI: z e f1 z f2 z I dz I1 I2 dz dz z2 z 2i z 2i z2 z 2i C C1 C2 ez ez z2 2z 4 1 With : f z GT in D & f z f 0 1 2 1 1 2 1 4 z 4 z2 4 Page 29
5. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace BÀI TẬP TÍCH PHÂN CAUCHY Tính các tích phân sau trên các miền đã chỉ ra: ez a)I dz,With :C : z i 4 2 C z2 2 z b)I dz,With :C : z 2 4 2 C z 1 z 1 z2 c)I dz,With :C : z 2 2 2 C z 1 z 3 z sin d)I 4 dz,With :C : x2 y2 2x 0 2 C z 1 Page 31
6. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace a n 1 4n 1 a)R lim n lim 4 n n an 1 n n4 n z n z 4n 1 With z z 4 phân ky  n  n  n  n 1 n4 n 1 n4 n 1 n4 n 1 n MHT : z 4 a n 1 b)R lim n lim 1 n an 1 n n n 1 n z n z 1 With z z 1    phân ky n 1 n n 1 n n 1 n MHT : z 1 n z n c)With z z 1  n n 1 3 a n3n 1 R lim n lim 3 n n an 1 n n 1 3 nz n n3n With z z 3 n phân ky  n  n  n 1 3 n 1 3 n 1 MHT : z 1 3 d)With z z 1  4n z n n 1 a 4n 1 R lim n lim n 1 n an 1 n 4 4 1 4n With z z 4n z n 1 phân ky    n  4 n 1 n 1 4 n 1 1 MHT : z 1 4 BÀI TẬPCHUỖI LŨY THỪA Tìm R và hình tròn hội tụ của chuỗi lũy thừa sau: z 2 n 1 n z2n 1 a) , b) , c) e n z i n , d) n4 z 1 n ,  2 n    n 1 n 1 4 n 1 2n 1 ! n 1 n 1 Page 33
7. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace II. Khai triển Maclaurin của 1 số hàm sơ cấp cơ bản z2 z3 zn zn 1)ez 1 z    z C 2! 3! n! n 0 n! z2 z4 z6 z2n z2n 2)cos z 1  1 n   1 n z C 2! 4! 6! 2n! n 0 2n! z3 z5 z7 z2n 1 z2n 1 3)sin z z  1 n   1 n z C 3! 5! 7! 2n 1! n 0 2n 1! z2 z3 zn 4) 1 z 1 z 1 1 2  1  n 1  2! 3! n! zn  1  n 1 z C n 0 n! 1 5) 1 z z2  zn   zn z 1 1 z n 0 1 2 3 n n n n 6) 1 z z z  1 z   1 z z 1 1 z n 0 III.Chuỗi Laurent và điểm bất thường cô lập của hàm giải tích 1. Định lý và định nghĩa r R D a C f(z)giải tích trên hình vành khănD: 0 r z a R z D, n ta có f z an z a ( Chuỗi Laurent) với n 1 f t a dt,n 0, 1, 2,. C là đường cong bất kỳ bao n 2i n 1 C t a quanh a và C  D Page 35
8. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace a a • Chuỗi f z a z a n 1 2 hội tụ trên 2  n 2 n 1 z a z a z a r gọi là phần chính. 2. Điểm bất thường cô lập của hàm giải tích a) Định nghĩa: Hàm f(z) giải tích trên miền 0 z a r thì a gọi là điểm bất thường cô lập của hàm giải tích f(z). Khi đó f(z) có thể khai triển thành chuỗi Maclaurin trên miền 0 z a r n n n f z an z a an z a an z a n n 0 n 1 r a C 1 f t 1 1 NHẬN XÉT: a dt f t dt f z dz 1 2i n 1 2i 2i C t a C C 3. Phân loại a) Cực điểm: Điểm cô lập bất thường z=a được gọi là cực điểm cấp m nếu khai triển Laurent của f(z) trong hình tròn 0 z a r có dạng: a a a f z a z a n m m 1  1 a z a n ,  n m m 1  n n 1 z a z a z a n 0 with a m 0 • Nếu m=1 thì a gọi là cực điểm đơn. lim f z z a • Nếu a là cực điểm cấp m của f(z) thì m lim z a f z A 0 z a b) Điểm bất thường bỏ được Điểm bất thường cô lập z=a của f(z) gọi là điểm bất thường bỏ được, nếu khai triển Laurent của f(z) trên miền 0 z a r có phần chính triệt n tiêu, tức là f z an z a n 0 Page 37
9. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace GIẢI: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f z z z 4 4 z z 4 4 2 z 2 6 z 2 1 1 2 6 1 z 2 n 1 z 2 n z 2 n 1 n 1 n 1 n  n  n  n 3 n 8 n 0 2 24 n 0 6 n 0 2 24.6 Ví dụ: 1 Khai triển f z thành chuỗi Taylor trong lân cận điểm z0=3i 1 z GIẢI: n 1 1 1 1 1 z 3i f z  1 z 1 3i z 3i 1 3i z 3i 1 3i 1 3i 1 n 0 1 3i z 3i 1 z 3i 1 3i 10 1 3i Ví dụ: z 2 4z 3 Khai triển f z e thành chuỗi Taylor trong lân cận điểm z0=2 GIẢI: 2 1 f z e z 2 1  z 2 2n ,z e n 0 Ví dụ: z Khai triển f z thành chuỗi Taylor trong lân cận điểm z0=0 z2 4 GIẢI: n z 1 z z2 z2n 1 f z  1 n  1 n 4 z2 4 4 4n 1 1 n 0 n 0 4 Vídụ Khai triển f(z) thành chuỗi Taylor trong lân cận các điểm đã chỉ ra z 1 1) f z at a 0,a 1 z 1 1 2) f z at a 0,a 2 z2 3z 2 Page 39
10. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 1 1) f z at a i z 2) f z ez at a i 1 3) f z at a 3 3 2z 4) f z sin2 z at a 0 z 5) f z at a i z2 4 6) f z sin 2z 1 at a 1 3z 1 7) f z at a 0 z 2 2 1 8) f z at a 2 z2 1 9) f z at a 0 1 z z2 Page 41
11. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Ví dụ: Tìm thặng dư các hàm số tại các điểm bất thường cô lập e2z a) f z at z 2 z 2 3 e4 2e4 22 e4 23e4 f z  3 2 z 2 z 2  z 2 2! 3! a 1 z 2 4 Resf z ;2 a 1 2e 1 b) f z z 1 cos at z 1 z 1 z 1 2n 1 1 1 z 1 1 n 1 n    2n 1 1 n 0 2n! n 0 2n! z 1 z 1 2! z 1 1 Res f z ,1 2 sin z c) f z at z 0 z 1 z2n 1 z2n f z  1 n  1 n z n 0 2n 1 ! n 0 2n 1 ! f(z) không có phần chính a 1 0 suy ra Res f z ,0 0 1 d) f z at z 1 z 1 2 z 1 1 1 1 Res f z ,1 lim z 1 2. lim 1 2 2 z 11! z 1 z z 1 z 1 e) f z at z 0 z 1 2 z 1 Res f z ,0 lim z 1 2 z 1 z 1 z Page 43
12. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace GIẢI: i D -i C f(z) có 3 cực điểm i D,4 D ei e i I Res f z ,i Res f z , i i 4 i 4 Ví dụ: Tính TP 1 Ik dz,k 1,2,3,4 z z 2 2 z 3i Ck 1 that in C : Z 2 1,C : Z 1 2,C : Z 2 ,C : Z 4 1 2 3 2 4 3i C4 C2 -2 0 2 C3 C1 Page 45
13. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace z 2 2 f z 2z2 5 23 I Res f z , 2 lim   lim 1 2 2 z 2 1! z 2 z z 4 64  z 2 f z  5 I2 Res f z ,0 lim z 0 1! 16 2z2 5 3 I Res f z ,2i lim z 2i f z lim 3 2 2 z 2i z 2i z z 2 z 2i 128 2z2 5 3 I Res f z , 2i lim z 2i f z lim 4 2 2 z 2i z 2i z z 2 z 2i 128 23 5 6 5i I 2i 64 16 128 4 BÀI TẬP Tính các tích phân sau trên các miền đã chỉ ra: dz 3 ezdz a)I C : 2x2 y2 b) I C : z i 4 3 2 2 C z 1 C z2 2 sin z2 cosz2 dz zdz c)I C : z 2 d) I C : z 2 4 z 1 z 3 2 C C z 1 z 1 z2dz z2dz e)I C : z 2 f ) I C :is squarte 2, 2 4i 2 2 2 C z 1 z 3 C z 4 z sin dz ezdz g)I 4 C : x2 y2 2x 0 h) I C : z 3 2 2 2 C z 1 C z z 2z 2 ezdz m)I C : z i 2 z 1 z 3 C 2 3sin zdz n)I C :is squarte 3 3i,3 3i 2 C z z 1 Page 47
14. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace U(t-a) 1 t a Page 49
15. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace BẢNG ẢNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1 1)L1 Re p 0 p 1 2)Lt Re p 0 p2 1 3)Le t  Re p p 1 4)Lsint Re p 0 1 p2 p 5)Lcost Re p 0 1 p2 e pa 6)Lu t a  Re p 0 p III. Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 1. Tính chất tuyến tính: If L f t  F p ,Lg t  G p , , C THEN : L f t g t  F p G p Ví dụ: Tính 2t a)L5 3e 4sint b)Lsht c) Lcht d)Luab t  2. Tính chất đồng dạng ( thay đổi thang đo) 1 p a)L f t  F 1 1 t b)L F p  f Ví dụ:  p a)Lsint b) Lcost 2 p2 2 p2 3. Tính chất dịch chuyển gốc: Lu t a f t a  e paF p Ví dụ: w 1 a)Lu t a sin t 2  e 2 p b)L 1 e p u t 1 t 1 2 2 2 w p p Page 51
16. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace L y L y L t 1 p2F p py 0 y 0 F p p2 1 p2F p p 1 F p p2 1 p2 1 F p p 1 p2 1 1 1 1 1 F p p 1 p2 p2 1 p 1 p2 1 p2 y t L 1F p  e t sht t 7. Tính chất đạo hàm của ảnh (nhân cho t) Ltf t  F p Lt 2 f t  F p Lt3 f t  F p  Lt n f t  1 n F n p Ví dụ:  2 p a)Lt sint F p 2 2 2  p 2 p2 n n n n 1 n! b)Lt  Lt .1 1 p pn 1 8. Tích phân hàm gốc: t F p L f u du Re p 0 p 0 9. Tích phân hàm ảnh(chia cho t) f t L F u du t p Page 53
17. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §2 TÍCH CHẬP VÀ ẢNH CỦA TÍCH CHẬP I. Tích chập 1.Định nghĩa: Tích chập của 2 hàm phức biến thực f(t) và g(t) với 0 t t Ký hiệu: f g được định nghĩa: f g t f u g t u du 0 2. Ví dụ: t t u2 t 2 a)1 t 1 t u du tu 2 2 0 0 t t b)et 1 eudu eu et 1 0 0 t t c)sint 1 sinudu cosu 0 1 cost 0 t t t d)t sint t u sinudu t u cosu 0 cosudu t sint 0 0 3. Tính chất: a) Giao hoán: f g g f b) Kết hợp: f g h f g h f g h c) Phân phối: f g h f g f h d) kf g k f g e) f g g f 4. Ảnh của tích chập Định lý Borel L f t  F p L f g F p .G p IF THEN 1 Lg t  G p L F p .G p  f g Page 55
18. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Ví dụ : Gỉai pt tích phân: t y t 2 sin t u y u du 0 y t 2 y t sint Ly t  L2 Ly t sint 2 2 1 Y Ly t .Lsint Y. p p p2 1 2 p2 1 1 1 1 Y 2 . 3 2 p p p p 1 1 1 y t L 1Y  2L 1 2L 1 . 2 p p p 1 1 y t 2 2.L 1 L 1 2 2.1 t 2 t 2 2 p p BÀI TẬP: 1. Tìm ảnh của các gốc a) f t sin 2t b) f t cos5t c) f t cht d) f t sh t e) f t sin2 mt f ) f t cos2 mt GỈAI: Page 57
19. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 1 cos2mt 1 f ) f t cos2 mt F p L 1 L cos2mt  2 2 1 1 p p2 2m2 2 2 2 2 2 p 4m p 4m p p 2. Tìm ảnh của hàm gốc: a)e4t cost b)e2t sin3t c)e 3tch2t d)3cos4t e)ch3t tsh3t f )sin 2t 2t cos2t GIẢI: p 4 a)F p 1 p 4 2 3 b)F p 9 p 2 2 p 3 c)F p p 3 2 4 3p d)F p 16 p 2 ' p p 3 e)L f t L ch3t L tsh3t F p 2 2 2 p 9 p 9 p 9 p 6 p p3 3p 2 2 2 p 9 p2 9 p2 9 ' 2 2 p f )L f t L sin 2t 2L t cos2t 2F p 2 2 2 2 p 4 p 4 p 4 2 2 4 p2 16 2 2 2 p 4 p2 4 p2 4 2. Tìm ảnh của hàm gốc: t t sin2 t 1 cost a)t 2e t b) sinudu c) cos2udu d) e) f )sin 7t sin3t t t 0 0 te Page 59
20. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 1 1 cos10t cos4t f ) sin 7t sin3t t 2 t 1 cos10t cos4t 1 1 u u L F1 u du F2 u du du 2 t 2 2 2 2 2 2 p p p u 10 u 4 a 1 a 1 d u2 102 d u2 42 1 u2 102 1 p2 102 lim lim ln ln 2 a 2 u2 102 u2 42 4 a u2 42 4 p2 42 p p 3. Các bài tập dùng Định lý hoãn a)Lu t a f t a  e paF p CHÚ Ý CÁC CÔNG THỨC b)uab t u t a u t b a) Tìm ảnh của hàm sau: 0 t 0 t 1 0 t 1 f t 3t 1 t 4 0 t 4 0 1 2 3 4 f t t 1 u t u t 1  3tu t 1 u t 4  tu t u t 2 t 1 u t 1 u t 1 3 t 4 u t 4 12u t 4 L f t  L t L 1 2L t 1 u t 1  Lu t 1  3L t 4 u t 4  12Lu t 4  1 1 2 1 3 12 e p e 4 p 2 2 2 p p p p p p Page 61
21. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace h 0 a 2a GIẢI h h f t tu t u t a  t 2a u t a u t 2a  a a h 2h h tu t  t a u t a  t 2a u t 2a  a a a h 1 2h e ap h e 2ap L f t  a p2 a p2 a p2 Ví dụ Tìm hàm gốc biết ảnh của chúng: 2 p 1 6 p 6 a)F p b)F p p2 p 3 p 3 p 1 p 2 p 2 2 42 10 p 6 p 8 4 p 1 c)F p d)F p p 3 p 1 p 4 p2 6 p 25 p 3 p 1 p2 6 p 25 5p 3 p e)F p f )F p p2 2 p 5 p 1 p2 4 p2 9 6 p g)F p p 5 p 2 p2 2 p 2 GIẢI: Page 63
22. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 6 p 6 b)F p p 3 p 1 p 2 p 2 2 42     F 1 F2 3t t 2t 1 6e 6e 6e L F1 p  lim lim lim p 3 p 1 p 2 p 1 p 3 p 2 p 2 p 1 p 3 3 2 e3t 3et e 2t 5 5 p 2 4 L 1F p  L 1 e 2t cos4t e 2t sin 4t 2 2 2 2 2 p 2 4 p 2 4 10 p 6 p 8 c)F p p 3 p 1 p 4 p2 6 p 25   F 1 F2 3t t 4t 1 10 p 6 e 10 p 6 e 10 p 6 e L F1 p  lim lim lim p 3 p 1 p 4 p 1 p 3 p 4 p 4 p 1 p 3 24 16 46 e 3t et e4t 28 12 21 p 3 11 4 11 L 1F p  L 1 e3t cos4t e3t sin 4t 2 2 2 2 2 p 3 4 4 p 2 4 4 4 p 1 d)F p p 3 p 1 p2 6 p 25 1 1 1 p 3 4 .4 2 p 3 p 1 p 3 2 42 p 3 2 42 L 1F p  2 e3t et e3t cos4t e3t sin 4t 5p 3 5p 3 5p 3 e)F p p2 2 p 5 p 1 p 1 2 4 p 1 p 1 2i p 1 2i p 1 5p 3 et 5p 3 e 1 2i t L 1F p  lim lim p 1 p 1 2i p 1 2i p 1 p 1 2i p 1 5p 3 e 1 2i t lim p 1 p 1 2i p 1 Page 65
23. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §3 ỨNG DỤNG CỦA TOÁN TỬ LAPLACE I. Gỉai phương trình vi phân Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y 2y 5y e t sint 1 y 0 0, y 0 1 GIẢI: Đặt Y F p Ly t  Ly  2Ly  5Ly Le t sint 1 p2Y py 0 y 0 2pY y 0  5Y p 1 2 1 1 p2Y 2 pY 5Y 1 p 1 2 1 p2 2 p 3 2 1 1 1 Y . . p2 2 p 5 p2 2 p 2 3 p 1 2 22 3 p 1 2 1 2 1 y t L 1Y  e t sin 2t e t sint 3 3 Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: et 0 t 2 y 3y 2y f t 1 y 0 0 y 0 0with f t 1 t 2 GIẢI:Đặt Y F p Ly t  f t et u t u t 2  u t 2 etu t u t 2 e2u t 2 et 2 Page 67
24. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y 6y 9y 9e3t y 0 0, y 0 0 GIẢI: Đặt Y F p Ly t  Ly  6Ly  9Ly Le3t 9 9 p2Y py 0 y 0 6pY y 0  9Y p 3 9 p2Y 6 pY 9Y p 3 9 Y p 3 p 3 2 1 y t L 1Y  9L 1 9 Res F p e pt ;3 Res F p e pt ; 3 2     p 3 p 3 p 3 e3t e3t Res F p e pt ;3 l im   2 p 3 p 3 p 3 36 p 3 2 e 3t 6te 3t e 3t e 3t 6t 1 Res F p e pt ; 3 l im l im   2 2 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 36 e3t e 3t 6t 1 y 4 4 Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y 3y 2y 0 y 0 0, y 0 1 GIẢI: Đặt Y F p Ly t  Ly  3Ly  2Ly L0 p2Y py 0 y 0 3pY y 0  2Y 0 p2Y 3pY 2Y 1 0 1 1 1 Y p 1 p 2 p 1 p 2 y t L 1Y  e t e 2t Page 69
25. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y 3y 2y tet y 0 1, y 0 2 GIẢI: Đặt Y F p Ly t  Ly  3Ly  2Ly Ltet  1 p2Y py 0 y 0 3pY y 0  2Y p 1 2 1 p2 3p 2 Y p 5 p 1 2 p 5 1 Y p 1 p 2 p 1 3 p 2 p 5 1 y t L 1Y  L 1 p 1 p 2 p 1 3 p 2      F 1 F2 pt pt ResF1 p e ;1 ResF1 p e ;2 t 2t pt p 5 e p 5 e t 2t ResF1 p e ;1;2 l im l im 4e 3e p 1 p 2 p 2 p 1  et e2t 1 Res F p e pt ;1;2 l im l im .et t 2 2t 2 2e2t  2  3 p 1 p 2 p 2 p 1 2 t 1 2 2t y e t t 3 2e 2 Ví dụ: Gỉai phương trình vi phân: y 4y 3y 0 y 0 0, y 0 10 GIẢI: Đặt Y F p Ly t  Page 71
26. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace L R E(t) K a) Cho E t E0 const . Tìm biểu thức của dòng điện tức thờii t b) Tìm i t If E t E0 sint,with  const . GIẢI: a) Mạch chỉ gồm R,L nên áp dụng công thức (2) ta có: di t L Ri t E t 2 dt R E t E i t i t 0 L L L I I p Li t ,we have: Li t  pI i 0 pI R E 1 Đặt 2 pI I 0 L L p R E 1 1 E 1 1 E t I 0 0 i t L 1I  0 1 e L L p R R p R R p p L L b) Trường hợp nguồn AC hình sin di t L Ri t E t 2 dt R E t E sint i t i t 0 L L L Page 73
27. Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Đăng Thảo. Hàm phức và Toán tử LAPLACE. Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh -2004. [2] Ngô Hữu Tâm. Gíao Trình Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace. Trường Đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh -2005. [3] Nguyễn Kim Đính. Hàm phức và ứng dụng. Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh -2001. [4] Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace. Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh -2003. [5] Trương Văn Thương. Hàm số biến số phức. Nhà xuất bản Gíao Dục 2007. [6] Nguyễn Thủy Thanh. Hướng dẫn giải bài tập hàm biến phức. Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội -2005. Page 75