Bài giảng Quá trình và thiết bị công nghệ hóa-thực phẩm - Tối ưu hóa hàm nhiều biến bằng Microsoft Excel - Trịnh Văn Dũng

Nội dung text: Bài giảng Quá trình và thiết bị công nghệ hóa-thực phẩm - Tối ưu hóa hàm nhiều biến bằng Microsoft Excel - Trịnh Văn Dũng

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ___oOo___ TỐI ƯU HÓA HÀM NHIỀU BIẾN BẰNG MICROSOFT EXCEL PGS. TS TRỊNH VĂN DŨNG BỘ MÔN: QUÁ TRÌNH VÀ THIẾT BỊ CN HÓA - TP
2. TỐI ƯU HÓA HÀM NHIỀU BIẾN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ: Hình dung mô hình dưới dạng mô hình thực nghiệm sau:  •x1 •x2 Hộp đen yi •xi xi – biến (thông số) đầu vào; yi – thông số đầu ra (biến bị điều khiển); Tìm phương trình hồi qui: y = f(xi) Kiểm định: khơng tương hợp  chọnphương án khác; tương hợp  tối ưuhố
3. 1. Đặtvấnđề: •Cần tìm cực trị (tiểu) hàm nhiều biến: u = f(x1, x2, , xn). - Không có đạo hàm; -Cóbộ giá trị gần đúng ban đầu; -Cósaisố cho phép;
4. 1. Đặtvấnđề: •Cần tìm cực trị (tiểu) hàm nhiều biến: u = f(x1, x2, , xn). Thựchiệnhaibước: -Tìmbộ giá trị gần đúng ban đầu; - Tìm giá trịđúng;
5. 2. Tối ưukhôngđiềukiệnbằng phương pháptìmkiếm luân phiên từng biến: •Sau mỗi lần lặp ta cần tính: x1i 1 x1i x2i 1 x2i  xni 1 xni Kiểm tra điều kiện:  (*) Nếu thỏa mãn thì kết thúc tìm kiểm, khi đó bộ giá trị X tìm được là nghiệm của bài toán; Ngược lại thì phải điều chỉnh và lặp lại tìm kiếm; Giải bài toán tối ưu một biến đối với x1 như ta đã xét trong chương 11. Tương tự như vậy ta tiến hành đối với các biến khác.
6. 2. Tối ưukhôngđiềukiệnbằng phương pháptìmkiếm luân phiên từng biến: 2 2 2 Ví dụ: Tìm cực tiểu của hàm hai biến: u = (x2 –x1 ) + (1 – x1) từ giá trị ban đầu (0,5; 0,5) với độ chính xác 0,0001 Rõ ràng hàm đã cho có duy nhất một cực tiểu bằng 0, tại toạ độ (1,1) Bài toán thỏa mãn điều kiện của phương pháp tìm kiếm theo từng biến. Để giải bài toán này bằng Microsoft Excel ta lập bảng tính dạng sau: Trong bảng cột A, B ta đặt các biến x1, x2 Ở cột C ta đặt giá trị hàm u, còn cột D ta tính sai số: = u1 –u2 Sau mỗi lần lặp, tiến hành điều kiện (*), nếu thỏa mãn thì dừng lại, nếu không tiếp tục lặp đến khi đạt yêu cầu. Kết quả ta lập bảng gồm các công thức trong bảng sau
7. 2. Tối ưukhôngđiềukiệnbằng phương pháptìmkiếm luân phiên từng biến: •Kết quả tính toán cho trong bảng
8. 3. Tối ưukhôngđiềukiệntheophương phápgradien: Đây là phương pháp tìm kiếm nhanh nhất, được dùng đối với trường hợp khi có hàm số dạng giải tích và đạo hàm riêng bậc 1 của nó •Để áp dụng phương pháp này cần có những điều kiện sau: •- Hàm được cho dưới dạng giải tích; •- Độ chính xác  đối với các biến số mà tại đó hàm đạt cực trị; •- Các giá trị gần đúng ban đầu x10; •- Có công thức đạo hàm riêng bậc 1 đối với mỗi biến; •Theo phương pháp tìm kiếm đã nêu, tiến hành theo hướng song song với các trục toạ độ đến điểm cực trị đối với mỗi hướng này; •Thực tế ta không biết được hướng nào là tốt nhất, nhưng như đã biết hướng gradien là hướng tăng nhanh nhất của hàm. Do đó hướng ngược lại “antigradien” là hướng hàm giảm nhanh nhất;
9. 3. Tối ưukhôngđiềukiệntheophương phápgradien: Từ điểm tìm được của lần lặp thứ nhất (x1T, x2T) là cơ sở để tính gradien dựa trên hướng tìm kiếm bằng phương pháp tối ưu một biến có điểm cực trị. Phép lặp này thực hiện cho đến khi không vi phạm điều kiện tính toán kết thúc là: 2 2 u u  x1 x 2
10. 3. Tối ưukhôngđiềukiệntheophương phápgradien: Từ điểm tìm được của lần lặp thứ nhất (x1T, x2T) là cơ sở để tính gradien dựa trên hướng tìm kiếm bằng phương pháp tối ưu một biến có điểm cực trị. Phép lặp này thực hiện cho đến khi không vi phạm điều kiện tính toán kết thúc là: căn bậc 2 của tổng bình phương đạo hàm riêng phần của nguyên hàm nhỏ hơn độ chính xác đã cho. Tìm cực trị hàm số: 2 2 2 U x2 x1 1 x1 Với giá trị ban đầu (0,5; 0,5). Trước hết ta tính đạo hàm riêng phần cấp 1 của hàm số theo các biến: U 2 4 x2 x1 x1 2 1 x1 x1 U 2 x x 2 2 1 x2
11. 3. Tối ưukhôngđiềukiệntheophương phápgradien: 2 2 2 Tìm cực trị hàm số: U x2 x1 1 x1 Với giá trị ban đầu (0,5; 0,5). Thiết lập hướng ngược với gradien “antigradien”: U U  antigradie  x1 x2  Để tìm cực trị bằng Ô Công thức Ô Công thức phương pháp gradien bằng Microsoft B3 0,5 B4 =F3 Excel tiến hành lập C3 0,5 C4 =G3 bảng tính như sau: D3 =4*(C3-B3^2)*B3+2*(1-B3) D4 =4*(C4-B4^2)*B4+2*(1-B4) E3 =2*(C3-B3^2) E4 =2*(C4-B4^2) Copy các ô B21:I21 F3 =B3+A3*D3 F4 =B4+A4*D4 sang B22:I22 G3 =C3+A3*E3 G4 =C4+A4*E4 H3 =(G3-F3^2)^2+(1-F3)^2 H4 =(G4-F4^2)^2+(1-F4)^2 I3 =SQRT(D3^2+E3^2)
12. 3. Tối ưukhôngđiềukiệntheophương phápgradien: 2 2 2 Tìm cực trị hàm số: U x2 x1 1 x1 Với giá trị ban đầu (0,5; 0,5). Mô phỏng quá trình tính lặp: Ta nhận thấy hội tụ khá nhanh và kết quả cũng thu được cực trị tại: (0,999; 0,99764) với giá trị 1,12.10 6
13. 3. Tối ưukhôngđiềukiệntheophương phápgradien: Tìm cực trị hàm số: 2 2 2 U x2 x1 1 x1 Với giá trị ban đầu (0,5; 0,5). Rõ ràng, ta cũng nhận được cực trị bằng 4,88.10 13 tại (0,999999; 0,999998) khá nhanh
14. 4. Bàitậptìmđề bàivà giảibằng Excel 2 2 a) 2x1 –3,5x2 + exp(x1 + 0,5x2 ): x1 0; x2 1; 2 2 b) x1 + 1,4x2 + exp(0,2x1 + 0,1x2 ): x1 0; x2 -2; 2 2 c) 9x1 –0,6x2 + exp(0,8x1 + 0,2x2 ): x1 -1; x2 0; 2 2 d) 3x1 –1,2x2 + exp(0,2x1 + 0,3x2 ): x+ -2; x+ 0; 2 2 e) 2x+ – 1,4x + exp(0,1x1 + 0,3x2 ): x1 -2; x2 0; 2 2 f) 3x1 + 1,4x2 + exp(0,5x1 + 0,3x2 ): x1 -1; x2 0; 2 2 g) 3x1 + 2x2 + exp(0,7x1 + 0,1x2 ): x1 0; x2 -2; 2 2 h) 2x1 –1,5x2 + exp(0,3x1 + 0,5x2 ): x1 -1; x2 0; 2 2 i) 2x1 –3x2 + exp(0,8x1 + 0,5x2 ): x1 0; x2 1; 2 2 k) x1 –2,5x2 + exp(0,8x1 + 0,1x2 : x1 0; x2 3;