Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp

1. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 10 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP I. KHÁI NIỆM  Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt M Mz cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc x 0 x Nz, mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1). N Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt z đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội z z My lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt. y H.10.  Cách tính toán thanh chịu lực phức tạp 1 Aùp dụng Nguyên lý cộng tác dụng: “Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra sẽ bằng tổng các đại lượng của từng nguyên nhân riêng lẽ gây ra. “( Chương 1) A q x q B l A z P=ql L P=qL y B l C P=ql P q x C B A A L L B D z 2P L l 2l l y P=qL C II. THANH CHỊU UỐN XIÊN 1) Định nghĩa – Nội lực Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành phần nội lực là mômen uốn M và mômen uốn M tác Mx x y 0 x dụng trong các mặt phẳng yoz và xoz (Hình 10.2) Dấu của Mx , My (hệ trục mặc định như hình vẽ) z My Mx 0 khi căng(kéo)phía dương của trụcY . y Hinh10.2 My 0 khi căng(kéo) phía dương của trục X. M tác động trong mp(yoz) x My tác động trong mp(xoz) x Mx M M y z z x x z M z y x y y x y y Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 1
2. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 H.10.5 biểu diển các miền kéo, nén trên mặt cắt do các mômen uốn (H.10.4) Mx(+) ,(- )và My + _ Thí dụ 1. Tiết diện chữ nhật bxh =20 40 cm2 chịu uốn xiên (H.10.6), Tính ứng suất tại B. Cho Mx =8kNm và My =5kNm. Chiều hệ trục chọn như vẽ. B M Ứng suất pháp tại B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm) x x + Tính theo (10.3) như sau: 0 800 500 2  B 3 ( 20) 3 (10) 0,0375kN / cm 20(40) 40(20) z My 12 12 y H.10.6 + Tính theo (10.4) công thức kỹ thuật như sau: Mx gây kéo những điểm nằm dưới 0y và gây nén những điểm trên oy; My gây kéo những điểm bên phải 0x và gây nén những điểm bên trái 0x. Biểu diễn vùng kéo bằng dấu (+) và vùng nén bằng dấu (–) trên tiết diện (H.10.4a) ta có thể thấy, tại điểm B; Mx gây nén; My gây kéo. 800 500 2  B 20 10 kN/cm 20 (40 ) 3 40 (20 ) 3 12 12 3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất Công thức (10.3) là một hàm hai biến, đồ thị là một mặt phẳng trong hệ trục Oxyz. Nếu biểu diễn giá trị ứng suất pháp z cho ở (10.3) bằng các đoạn thẳng đại số theo trục z định hướng dương ra ngoài mặt cắt và ngược lại .(H.10.7) Ta được một mặt phẳng chứa đầu mút các véctơ ứng suất pháp tại mọi điểm trên tiết diện, gọi là mặt ứng suất C Đường trung hoà  min _ x My 0 x y B + y  max Mặt phẳng ứng suất Biểu đồ ứng suất phẳng H.10.7 M y Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và mặt cắt ngang là đường trung hòa, ta thấy, Cho biểu thức z = 0, ta được phương trình đường trung hòa: đường trung hòa là một đường thẳng và là quỹ tích của những điểm trên mặt cắt ngang có trị số ứng Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 3
3. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 / b h xB= xB  = ; yC = yB = 2 2 C C/ Mx M y Mx M y max ; min Wx Wy Wx Wy B/ B I bh 2 I hb 2 với: W x ; W x h / 2 6 y b / 2 6 † Đối với thanh có tiết diện tròn, khi tiết diện chịu tác dụng của hai mômen uốn Mx, My trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng là Mu tác dụng trong mặt phẳng vOz cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm , nghĩa là chỉ chịu uốn 3 Mu 2 2 .D 3 phẳng, do đó: max,min ; Mu Mx M y ; Wu 0,1D Wu 32 ° Điều kiện bền: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm là hai điểm chịu max, min, tiết diện bền khi hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền: Đối với vật liệu dòn: [ ]k # [ ]n max []k ; min []n Đối với vật liệu dẻo: [ ]k = [ ]n = [ ], điều kiện bền được thỏa khi: max max, min [] Thí dụï 2. Một dầm tiết diện chữ nhật (12x20)cm chịu lực như trên H.10.8.a. a)Vẽ biểu đồ nội lực, b) vẽ hình chỉ rõ nội lực tại mặt cắt ngàm. c) xác định đường trung hòa vàø tính ứng suất max, min tại tiết diện ngàm . Cho: P = 5,0kN, L=2m , = 300 . Giải. Phân tích lực P thành 2 thành phần trên hai trục x và y, và tính mômen đối với ngàm ta được: 0 Py = P.cos30 Mx = Py.L = 8,66kNm 0 Px = P.sin30 My = Px.L = 5kNm Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ. Trong mặt phẳng (yOz), thanh chịu lực Py, biểu đồ mômen Mx ; Tương tự, trong mặt phẳng (xOz), thanh chịu lực P x , biểu đồ mômen M y ; Biểu đồ mômen uốn vẽ chung trên H.10.8.b. Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 5
4. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Nếu thay tiết diện chữ nhật bằng hình tròn d= 10cm. Tính lại  max , min Thí dụï 3. Cho dầm đơn giản bằng gỗ, tiết diện tròn đường kính D =16cm, chịu lưc như hình vẽ. Xác định trị số [ P ] theo điều kiện bền . Cho L = 50cm, [ ]=1,2kN/cm2. P P x A C D z B x D 2P y 2P x 2L 3L L x y x 2PL 5PL 3 3 PL 4PL 3 Hinh 10.10 3 4PL 2PL 2 2 Tại mặt cắt B : Mx = và My = M M M 1,49PL 3 3 u x y PL 5PL 2 2 Tại mặt cắt C: Mx = và My = M M M 1,7PL 3 3 u x y Vậy mặt cắt nguy hiểm tại C Mu 1,7PL  max  min 1,2 P 5,67KN W D 3 32 Thí dụï 4. Một dầm tiết diện chữ T chịu lực như hình vẽ. a) Vẽ biểu đồ nội lực, b) Xác định đường trung hoà và vẽ biểu đồ ứng suất tại tiết diện ngàm, c) Tính ứng suất max, min. 4 4 Cho q =1kN/m; P =qL=2kN; L =2m. Ix=798cm Iy=129,5cm xoy là hệ trục quán tính chính trung tâm. Giải. Phân tích lực P thành 2 thành phần trên hai trục x và y, ta được: 0 0 Py = P.cos30 , Px = P.sin30 Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ. Trong mặt phẳng (yOz), hệ chịu lực phân bố q và lực tập trung Py, biểu đồ này là Mx. Tương tự, trong mặt phẳng (xOz), lực tập trung Px, biểu đồ là My. Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 7
5. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Dựa trên biểu đồ ứng suất ta có thể tìm thấy điểm chịu kéo lớn nhất là điểm A(xA= 4,5cm, yA=5 cm ), điểm chịu nén lớn nhất là điểm B(xB=1cm, yB= 9cm). Áp dụng công thức (10.4), ta có: 564,4 200 kN   (5) (4,5) 10,53 A max 798 129,5 cm 2 564,4 200 kN   (9) (1) 8,03 C min 798 129,5 cm 2 Thí dụï 5. Tính ứng suất max, min 30o P=10kN 4 4 2M0 M0= 10kNm Ix=5010cm ,Iy=260cm 3 3 Wx=371cm ,Wy=41,5cm x K C B 1m 2m y I.27 Thí dụ 6 : Kiểm tra bền . Cho [ ]=16kN/cm2 q q=5kN/m D x B 14cm C P 10kN 5kN y 2m 2m 1m 6cm 7,5kNm 10kNm 5kNm 2 Thí dụ 7: Vẽ Mx,My ,Tìm b. Cho q=2kN/m, L=1m, [ ]=10kN/cm q q q x 1,5b y 30o 2L L 2L b Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 9
6. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 3 Nz = Pcos = 100 = 86,6 kN (gây nén) 2 z P Mx = Py.H = 50.4 =200 kNm 0 =100kN 2 = 30 H My = q = 2.8 =16 kNm 2 h=20cm x 0 z N y z C My + q = 2kN/m Mx _ + + H o x _ x =4m _ + _ b C y A B =15cm y Mx (+,-) My + _ Nz (-) K B Để áp dụng công thức (10.12), có thể biểu diễn tác dụng gây kéo, nén của các thành phần nội lực như ở hình vẽ với điểm A,B,C có: xK =7,5cm, yK =10cm. N z M x M y  Z y x A I x I y 86,6 20000 1600 86,6 20000 1600  (10) (7,5)  (10) (7,5) c 20.15 15 203 20 153 K 20.15 15 203 20 153 12 12 12 12 2 2  c 0,289 20,,0 2,133 21,844 kN/cm  K 0,289 20,,0 2,133 22,442 kN/cm 86,6 20000 1600  (10) (7,5) B 20.40 15 203 20 153 12 12 2  B 0,289 20,0 2,133 18,156 kN/cm 3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp Tương tự như trong uốn xiên, có thể thấy rằng phương trình (10.11 ) là một hàm hai biến z = f(x,y), nếu biểu diễn trong hệ trục Oxyz, với O là tâm mặt cắt ngang và z định hướng dương ra ngoài mặt cắt, thì hàm (10.11 ) biểu diễn một mặt phẳng, gọi là mặt ứng suất, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang là đường trung hòa. Dễ thấy rằng, đường trung hoà là một đường thẳng chứa tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất pháp bằng không. Từ đó, cho z = 0, ta có phương trình đường trung hòa: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 11
7. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 M N z M x K y K  c  max ymax xmax A I x I y M N z M x N y N  B  min ymax xmax A I x I y Theo (10.14), ta nhận xét, khi ứng suất có lực dọc trái dấu với ứng suất do Mx, My và trị số lực dọc lớn hơn tổng trị số tuyệt đối các ứng suất do M x, My, lúc đó đường trung hoà nằm ngoài mặt cắt, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất một dấu (chỉ chịu kéo hoặc chỉ chịu nén). - Với thanh có tiết diện chữ nhật, các điểm nguy hiểm C,B luôn luôn là các điểm góc của tiết diện: Lúc đó : x C = xB = b/2; yC = yB = h/2 N z M x M y  c  max A Wx Wy N z M x M y  B  min A Wx Wy - Thanh có tiết diện tròn, mômen tổng của M x, My là M u gây uốn thuần túy phẳng, khi đó ta có công thức tính ứng suất pháp cực trị: N z M u  c  max A W u N z M u  B  min A W u 3 2 2 D Mu M x M y , W W u x 32 Thanh chịu uốn cộng kéo hay nén đồng thời chỉ gây ra ứng suất pháp trên mặt cắt ngang, tại điểm nguy hiểm, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, do đó điều kiện bền của thanh là: max []k ; min []n 5- Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm khi trên mặt cắt ngang chỉ có một lực P song song trục thanh và không trùng với trục thanh. (H.10.14.a). Mx y H.10.14a K x x H.10.14b Nz My x K k z z P y y Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 13
8. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 kéo hoặc nén. y 2 y2 y k2 y k1 k a 1 k1 a 3 2 x 3 x 0 a 0 a1 x1 x2 2 k2 b1 1 b2 b3 b1 3 Gọi lõi tiết diện là một miền kín bao quanh tâm của tiết diêïn và thoả mãn tính chất: -Nếu lực lệch tâm đặt trong miền kín đó thì đường trung hoà hoàn toàn nằm ngoài tiết diện. -Nếu lực lệch tâm đặt trên chu vi của miền kín thì đường trung hoà tiếp tuyến với chu vi của tiết diện. Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chỉ chịu nén tốt như gạch, đá, gang, bêtông không thép , nếu chúng chịu nén lệch tâm mà lực nén đặt ngoài lõi tiết diện, ứng suất kéo phát sinh có thể lớn hơn khả năng chịu kéo của chúng, khi đó vật liệu sẽ bị phá hoại, để tận dụng tốt khả năng chịu lực của vật liệu cần thiết kế đặt lực nén trong lõi tiết diện. Có thể xác định lõi tiết diện theo cách sau: - Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của tiết diện. - Cho đường trung hòa tiếp xúc một cạnh tiết diện, từ ta viết được phương trình đường trung hòa,( biết ai,bi )rồi suy ra tọa độ điểm đặt lực Ki tương ứng với vị trí đường trung hòa. Áp dụng cách tương tự đối với tất cả các cạnh còn lại, nối vị trí các điểm đặt lực, ta được lõi tiết diện. Để ý rằng, dù tiết diện là đa giác lõm thì lõi tiết diện luôn là một đa giác lồi. Ví dụï: tiết diện chữ nhật (H.10.15). y Đường trung hòa Khi đường trung hòa trùng cạnh AB: A B x y 1 x h / 2 h O 2 iy xK 0 xK C D 2 2 i h h h b Đường trung hòa x y K h yK 2 12. 6 2 lõiết diện chữ nhật Khi đường trung hòa trùng cạnh BC: x y Hình 10.15 1 b / 2 2 2 iy b b b xK xK 2 12.b / 2 6 2 ix yK 0 yK Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 15
9. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Nz = – P = -100kN(nén); Mx = P.b/2 = 100.7,5 =750kNcm 2 My = qH /2 – P.h/2=10.4.400/2-100.10 = 7000kNcm Áp dụng công thức (10.12): 100 750 7000  0,125 1,0 7,0 6,125kN / cm 2 K 15.20 20.152 15.202 6 6 100 750 7000  max,min 15.20 20.152 15.202 6 6 7,875kN/cm 2 (tạiB) 0.125 1,0 7,0 8,125 kN/cm 2 (tạiD) Phương trình đường trung hòa: M I N I y y x .x z . x (a) M x I y A M x Chọn hệ trục x,y như hình vẽ . 20 153 20 153 7000 100. e=20cm y ( 12 )x . 12 5,25x 2,5  = 790 750 15 203 15 .20 750 P 12 Thí du 9: Kiểm tra bền tại mặt cắt chân móng có mặt cắt ngang 2 2 hình chữ nhật bxh, []k =60N/cm ,[]n =700N/cm P=6kN đặt lệch tâm 20 cm so với trọng tâm mặt cắt chân móng. - Cho b =18cm,h = 20cm, Q=12kN. Q z Đường trung hòa M = 6x20kNcm K N=P+QX y x X M y N z b x x . 0 x 5cm y 0X I y A h X XX 1800 120000 50 Hình 1 y  X N / cm2 X/ max,min 18.20 18.1202 150 2m X X X* B X X 6 XX X / Thí/ X dụ10: Xác định tiết P = 10kN diện X * * cột/ AB, X z X 2 cho* []=16kN/cmX N=P X My= 10x200kNcm X X X N M x X z y  0X K max A W X y XX X X/ b X X* 2b X XX Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp/ 17 /X * * X X X X
10. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 H.21. a.b Biểu đồ ứng suất (hình 21-b) Dưới tác dụng của mômen uốn Mu, hai điểm K,B chịu ứng suất pháp lớn nhất max, min, ngoài ra, do tác dụng của mômen xoắn Mz tại hai điểm K, B còn chịu ứng suất tiếp max, đó là hai điểm nguy hiểm nhất trên tiết diện. Mu 2 2 Ta có:  max,min ; Mu M x My Wu M z M z  max Wp 2Wx Phân tố đang xét tại K và B vừa chịu ứng suất pháp vừa chịu ứng suất tiếp, đó là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng. Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: 2 42 [] Theo thuyết bền thứ 4:  2 3 2 [ ] 2- Thanh tiết diện chữ nhật Uốn xoắn thanh tiết diện chữ nhật thường gặp trong công trình dân dụng như lanh tô đỡ ô văng, dầm chịu lực ngoài mặt H2 C phẳng đối xứng, thanh chịu uốn trong hệ không gian B Mz Xét một tiết diện chữ nhật bxh chịu uốn xoắn (H.22) trong Mx đó mômen uốn Mu đã được phân tích thành hai mômen uốn Mx, My x trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm yOz, xOz. 1 K2 My K1 Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, về xoắn, ta được các kết quả như sau (H.22): z D H K Tại các góc tiết diện (K,B,C,D), chỉ có ứng suất pháp lớn 1 y nhất do M ,M , phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: x y H.22 Mx M y max,min Wx Wy Điều kiện bền: max k; min n Tại điểm giữa cạnh ngắn (H1,H2), chịu ứng suất pháp lớn nhất do M x gây ra và ứng suất Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 19
11. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2  4 M x M y M z 3 ( (20000q) (120000q) (1000q)   16kN/cm Wx (10) 16 M L 12,9 200 = z 3,29 19 4 Radian AB GJ 3,14(10) 4 0 8000 32 Thí dụ 13: Cho thanh gãy khúc KBC có tiết diện hình vuông cạnh bxb chịu lực như hình vẽ. a) Vẽ biểu đồ nội lực b) Tính [b ]từ điều kiện bền TB3. Cho [ ]=16kN/cm2, q = 10kN/m, L=1m q b 2qL2 B b K B K 2L 2qL2 4qL2 L C Mx C M z x 2qL 0 My + 2qL2 y z Hình 23 a,b Biểu đồ nội lực được vẽ trên H.10.23.b, tại tiết diện ngàm chịu nội lực lớn nhất 2 2 Mx = 4qL = 4.10.1 = 40kNm 2 2 My = 2qL = 2.10.1 = 20kNm 2 2 Mz = 2qL = 2.10.1 = 20kNm Tại các điểm góc ta có TTƯS đơn 3 M x M y b Điều kiện bền :  max   , Ta có Wx Wy Wx Wy 6 b > 13cm. Ở đây tiết diện vuông nên ứng suất tiếp bằng nhau trên hai cạnh ,chọn Mmax (Mx,My) để tính. Tại M x điểm giữa cạnh trên trục y có  x  max , (vì Mx > My) Wx Mz  ta có TTƯS phẳng . Điều kiện bền theo TB3: với = 0,203 max b3 2 2 2 2 M x 2 M z 2 4000 6 2000 2  4 ( ) 4( 3 ) 3 4 3   b 12,5cm Wx b b 0,203b Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 21
12. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 N z M y M  z  max,min ; max 2 A Wy hb . Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: 2 42 [] Theo thuyết bền thứ 4: 2 32 [] Tại điểm giữa cạnh ngắn, phân tố vừa chịu ứng suất pháp lớn nhất do Mx và lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp do Mz. Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: N z M x  max,min 1 max A Wx . Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: 2 42 [] Theo thuyết bền thứ 4: 2 32 [] Thí dụ14: Cho thanh gãy khúc chịu lực như hình vẽ. 2 a) Thanh có tiết diện tròn d = 10cm , L =1m, []= 16 kN/cm . Tìm [q] theo TB3 b) Thanh có tiết diện vuông cạnh b. Cho q= 10kN/m ,[]= 16 kN/cm2. Tìm [b] theo TB3. d b 2 K Mx =3 qL Nz=qL Mz=qL2 q P = qL P = 2qL M =1,5 qL2 y - + C B L P = qL Trường hợp a) Max min   M 2 M 2 2 2 N z x y M z M z TB3:  4 [] Trong đó  min và  A Wx W p 2Wx Suy ra q 1,5kN/m Trường hợp b) Tiết diện chịu nén nên: Max min   N M M Tại các góc là TTỨS đơn z x y   A Wx Wy 3qL2 .6 1,5qL2 .6 Sơ bộ bỏ qua lực dọc 16 b 11,9cm,Chonb 12cm b3 b3 Kiểm tra lại  t   Chương 10: Thanh1,5kN/m chịu lực phức tạp 23
13. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 - Tính ứng suất max, min ở mặt cắt chân cột Cho b =20cm, H = 2m, P1 =100kN, P2 = 800kN - Nếu có lực P3 =10kN đặt theo phương y ( nét chấm) . Tính ứng suất tại điểm K. 5.Dầm KBC hình chữ nhật và chịu lực như (hình vẽ) (chưa có P2) - Vẽ biểu đồ Mx ,My,và nội lực tại mặt cắt nguy hiểm - Vẽ đường trung hoà và kiểm tra điều kiện bền dầm - Thêm lực P2 tính lại ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trong dầm. 2 Cho P1 =5kN, P2 = 50kN, q =2kN/m, L =1m, []=2kN/cm P q q P1 P2 x K B C 18cm 2L L y 12cm 6.Cho một thanh gãy khúc không gian KBC có tiết diện tròn đường kính d, ngàm tại K và chịu d lực tác dụng như (hình vẽ 8). K Hình 8 a) Vẽ biểu đồ nội lực .(không vẽ lực cắêt) 2P L b) Biểu diễn các thành phần nội lực tại mặt q cắt ở ngàm. B C c) Chọn [q] theo TB3 để thanh thỏa điều P kiện bền. L Cho L = 50cm, d =10cm, , [ ] =16kN/ cm2, P = qL. d) Bây giờ thay tiết diện tròn bằng hình vuông cạnh b. Chọn [b] theo TB3 . Cho q = 10kN/cm2. Phát hoạ đường trung hòa. e) Tính chuyển vị đứng tại B với b vừa tìm. = 0,208, ß = 0,141 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 25