Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 2: Lý thuyết nội lực - Lê Đức Thanh

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 2: Lý thuyết nội lực - Lê Đức Thanh

1. Bài giảng sức bền vật liệu Chương2 LÝ THUYẾT NỘI LỰC I. KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - P. PHÁP KHẢO SÁT- ỨNG SUẤT 1- Khái niệm về nội lực: Xét một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và ở trạng thái cân bằng (H.2.1).Trong vật thể giữa các phân tử luôn có các lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng nhất định. Khi có ngoại lực tác dụng, các phân tử của vật thể có thể dịch lại gần nhau hoặc tách xa nhau. Lúc đó, lực tương tác giữa các phân tử của vật thể phải thay đổi để chống lại các dịch chuyển này. Sự thay đổi của lực tương tác giữa các phân tử trong vật thể được gọi là nội lực. Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài thì được gọi là vật thể ở trạng thái tự nhiên và nội lực của nó được coi là bằng không. 2- Khảo sát nội lực bằng phương pháp mặt cắt Xét vật thể chịu lực cân bằng,để tìm nội lực tại 1 điểm C trong vật thể (H.2.1),Tưởng tượng một mặt phẳng  cắt qua C và chia vật thể thành hai phần A và B; hai phần này sẽ tác động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên toàn diện tích mặt tiếp xúc theo định luật lực và phản lực.Nếu tách riêng phần A thì hệ lực tác động từ phần B vào nó phải cân bằng với ngoại lực ban đầu (H.2.2).Hệ lực phân bố nầy chính là nội lực trên mặt cắt đang xét. 3.Ứng suất: Xét một phân tố diện tích A bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt  có phương pháp tuyến v. Gọi p là vector nội lực tác dụng trên A. P P1 4 t n p Pi P2 A c B A s n B P B 3 Pn H2.1 Vật thể chịu lực cân bằng Hình 2.3 Các thành phần ứng suất P1 Ta định nghĩa ứng suất toàn phần tại điểm khảo sát là : P2 p d p A A p lim P3 P A 0 A dA Thứ nguyên của ứng suất là [lực]/ [chiều dài]2 H2.2 Nội lực trên mặt cắt Thí dụ:(N/cm2, kN/m2 ,(1MN/m2 = 1MPa=10daN/cm2) Ứng suất toàn phần p có thể phân ra hai thành phần: + Thành phần ứng suất pháp v có phương pháp tuyến của mặt phẳng  + Thành phần ứng suất tiếp v nằm trong mặt phẳng  (H.2.3). Các đại lượng này liên hệ với nhau theo biểu thức: 2 2 2 pv  v v (2.1) Ứng suất là một đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại một điểm; ứng suất vượt quá một giới hạn nào đó thì vật liệu bị phá hoại. Do đó, Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 1
2. Bài giảng sức bền vật liệu Các phương trình cân bằng mômen đối với các trục tọa độ ta có: với: mx(Pi), my(Pi),mz (Pi) các mômen của các lực Pi đối với các trục x,y, z. n n  M /Ox M m (P) 0 M  Z 0 N z  Piz 0 N z x  x i x i 1 i 1 n n  M /Oy M m (P) 0 M Y 0 Qy  Piy 0 Qy y  y i y i 1 i 1 n n  X 0 Qx  Pix 0 Qx  M /Oz M z mz (Pi ) 0 M z i 1 i 1 3. Liên hệ giữa nội lực và ứng suất: Các thành phần nội lực liên hệ với các thành phần ứng suất như sau: - Lực dọc là tổng các ứng suất pháp - Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó - Mômen uốn là tổng các mômen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y - Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z III. BÀI TOÁN PHẲNG (thường gặp) Trường hợp bài toán phẳng (ngoại lực nằm trong một mặt phẳng (thí dụ mặt phẳng y0z)), chỉ còn ba thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng y0z là : Nz , Qy ,và Mx  Qui ước dấu các thành phần nội lực (H.2.5) - Lực dọc Nz 0 khi gây kéo đoạn thanh đang xét (có chiều hướng ra ngoài mặt cắt) -Lực cắt Qy 0 khi làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ. - Mômen uốn Mx 0 khi thớ bên dưới thanh bị dãn ra (phía dương của trục y) hay thớ dưới bị kéo, Và nếu ngược lại là âm. (xét thanh có trục nằm ngang) P1 P M > 0 3 Mx > 0 x P2 P4 Nz >o O B A O Nz >o Q > 0 Q > 0 y Pn Pi y Hình 2.5: Chiều dương các thành phần nội lực Mx 0 Mx 0 Mx 0 Mx 0 Mômen M 0 ,Thanh bị Mômen M x 0 ,Thanh bị x cong xuống phía dưới cong lên phía trên  Cách xác định: Dùng 3 phương trình cân bằng tỉnh học, xét cân bằng phần A (hay phần B) bên trái hay bên phải của mặt cắt để tìm nội lực. Từ phương trình  Z = 0  Y = 0 Q  M/ O = 0 M x y Nz Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 3
3. Bài giảng sức bền vật liệu Cho thanh gãy khúc phẳng ABCDKE chịu tải trọng phân bố đều q trên đoạn ABC và CDK, lực tập trung P = qa tác dụng tại B và D và momen tập trung M=qa2 đặt tại nút C a) Tính các phản lực tại A và E. b) Xác định các nội lực tại mặt cắt 1-1(cho trên hình vẽ) qa2 qa q C B 1 1 A D K B B B B A A A A a qa B E A K B A VE a A HA VA a a a) Chọn các phản lực có chiều như hình vẽ 5 M 0 qa - a 2qa 2 qa 2 qa 2 2qa 2 V 2a 0 V qa  A E E 2 Ngang 0 H A 2qa qa 0 H A 3qa 1 M 0 2qa 2 qa 2 qa 2 V 2a H a 0 V qa  E A A A 2 b) Thực hiện mặt cắt 1-1 Xét đoạn ABC (bên trái) H1a Chọn chiều các nội lực như hình vẽ . Tìm các nội lực bằng các pt cân bằng 1 Z 0 N qa (hằng số và ngược với chiều đã chọn) , Nz hướng vào mặt cắt. Nz  z 2 nén trong đoạn AC Ngang 0 Qy 2qa qa 3qa 0 Qy 0 (Tại 1-1) M 0 3qa 2a qa 2 2qa 2 M 0 M 3qa 2  0 x x (Mx cùng chiều đã chọn , do đó thanh chịu kéo phía bên phải thanh ABC Xét đoạn CDKE (bên phải) H1b Ngang 0 Qy 0 (Tại 1-1) 5qa 1 Đung 0 N qa 2qa 0 N qa (ngược chiều đã chọn).Vậy Nz  z 2 z 2 hướng vào mặt cắt , lực dọc chịu nén 5 M 0 qa 2a qa 2 2qa 2 qa 2 M 0 M 3qa 2  0 2 x x Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 5
4. Bài giảng sức bền vật liệu Chọn hệ trục và vẽ (nhớ qui ước chiều Qy và Mx trên trục tung) Thí dụ 3. Vẽ BĐNL của thanh (dầm) console như (H.2.7) Giải z 1 P Xét mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ z so với gốc A, ta có A K B ( 0 z l ) L Biểu thức giải tích của lực cắt và mômen uốn tại mặt Qy 1 P cắt 1-1 được xác định từ việc xét cân bằng phần phải của K N L-z B thanh: M 1 (vì xét bên trái ta chưa biết các phản lực tại ngàm A) Qy Z 0 N 0 Y 0 Qy P 0 Qy P M M Pl  0 M x P(l z) 0 M x P(l z) O1 Hình 2.7 Cho z biến thiên từ 0 đến l, ta sẽ được biểu đồ nội lực như trên H.2.7. Qui ước: - Biểu đồ lực cắt Qy tung độ dương vẽ phía trên trục hoành. - Biểu đồ mômen uốn Mx tung độ dương vẽ phía dưới trục hoành. Nhận xét: Tại đầu tự do(B) Mx bằng không (nếu không có momen tập trung M0) Thí dụ 4. Vẽ BĐNL của thanh đơn giản chịu tải phân bố đều q như (H.2.8a). Giải Tính các phản lực: Bỏ các liên kết tại C và B, thay bằng các phản lực như H.28a. Z = 0 HC =0. ql Do đối xứng V V (hợp lực ql hướng xuống) C B 2 Xác định Nội lực: thực hiện mặt cắt ngang 1-1 qua K có hoành độ là z: 0 z l ). Mặt cắt 1-1 chia thanh làm hai phần. q H Xét cân bằng của phần bên trái CK (H.2.8b) C C Từ các phương trình cân bằng ta suy ra z K VB=ql/2 VC=ql/2 L  Z 0 N z 0 M ql l 1 x Y 0 Qy qz q( z) 2 2 V z 1 Nz ql qz 2 qz C Qy  M /O1 0 M x z (l z) 2 2 2 Qy y VC=ql/2 + VB=ql/2 Qy là hàm bậc nhất theo z, Mx là hàm bậc 2 theo z. ql 2/8 Cho z biến thiên từ 0 đến l ta vẽ được các biểu đồ Mx nội lực (H 2.8). H.2.8 Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 7
5. Bài giảng sức bền vật liệu Trường hợp đặc biệt : Nếu a=b = L/ 2, (lực đặt giữa thanh) khi đó mômen cực đại tại giữa thanh và có giá trị là : Mmax = PL/4 z Chú ý cần nhớ (từ các bài thí dụ trên ta thấy) 2 Mômen luôn vẽ về phía thớ chịu kéo của a M0 thanh 1 K 2 K A 1 2 B z Lực tập trung thường hướng vào điểm lõm a) 1 C 2 1 l – z2 của biểu đồ Mx VA VB Biểu đồ Mx luôn hứng tải trọng phân bố 1 Mx Mx 2 K 1 A c) đều q 1 2 b) z1 VB Thí dụ 6 : VA Qy Qy l – z2 Vẽ BĐNL của thanh đơn giản có M0 tập trung d) - như (H.2.10a). Qy Mo / l M o V V , chiều phản lực như H.2.10a. Mo a A B l l e) Nội lực: Mx Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A một M o (l - a) H. 2.10 l đoạn z1 ; (0 z1 a ).Xét cân bằng của đoạn AK1 M Q V o y1 A l bên trái mặt cắt K các nội lực như sau (c) 1 M M V z o z x1 A 1 l 1 Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z2 với (a z2 l ) . Xét cân bằng phần bên phải của mặt cắt K2 các biểu thức nội lực trên mặt cắt 2-2 M Q V o y2 B l là: M M V (l z ) o (l z ) x2 B 2 l 2 BĐNL được vẽ từ các biểu thức (c), (d) của nội lực trong hai đoạn (H.2.10d-e). Trường hợp M0 M0 đặc biệt: B B a) a) Mômen tập l l V =M /L H. 2.11 trung Mo đặt VA=M0/L B 0 V =M /L A 0 VB=M0/L tại mặt cắt sát b) M /L Qy 0 - b) M0/L + gối tựaA, hay Qy B (H.2.11). o c) Mx M0 c) M Qy và Mx sẽ 0 o Mx được xác định ứng với a = 0, b=0 và BĐNL vẽ như H.2.11 Kéo thớ dưới Kéo thớ trên Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 9
6. Bài giảng sức bền vật liệu K có tác dụng lực tập trung P0,mômen tập trung M0 (H.2.12b). Viết các phương trình cân bằng Y = 0 Q1 + P0 – Q2 = 0 Q2 – Q1 = P0 (a) z M/K = 0 M1 +M0 - M2 + Q1 - Q2 =0 2 Bỏ qua vô cùng bé bậc một Q1 , Q2 , M2 - M1 = M0 (b) Biểu thức (a) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ lực cắt. Biểu thức (b) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ mômen. V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC (Mx, Qy) VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ q TRONG THANH THẲNG Xét một thanh chịu tải trọng bất kỳ. Tải trọng tác dụng trên thanh này là lực phân bố theo chiều dài có cường độ q(z) có chiều dương hướng lên q(z) M0 q(z)>0 Mx Mx+dMx Qy Qy+dQy z dz dz Khảo sát đoạn thanh vi phân dz, giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Nội lực trên mặt cắt 1-1 là Qy và Mx. Nội lực trên mặt cắt 2-2 so với 1-1 đã thay đổi một lượng vi phân và trở thành Qy + dQy; Mx + dMx.Vì dz là rất bé nên có thể xem tải trọng là phân bố đều 1 qz q0 trên đoạn dz. Viết các phương trình cân bằng: A 1)Tổng hình chiếu các lực theo phương B 1 đứng z q L q L VA= 0 L 0 Y = 0 Q + q(z)dz – (Q + dQ ) = 0 VB= y y y 6 3 dQ q(z) y (2.4) qz dz M x Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của A lực phân bố vuông góc với trục thanh. Qy VA= z 2) Tổng mômen của các lực đối với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta được: + M/02 = 0 VA= - V dz B= Q dz q(z)  dz  M (M dM ) 0 y 2 x x x dz2 Bỏ qua lượng vô cùng bé bậc hai q(z)  2 Mmax xx Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 11
7. Bài giảng sức bền vật liệu Thí dụ 9: Vẽ BĐNL cho thanh có hai đoạn chịu lực như hình vẽ Phản lực: Giải phóng liên kết, xét cân bằng toàn thanh, suy ra phản lực liên kết tại A và C là: qL H = 0 , V V C A 2 B (Hai phản lực ngược chiều) Nội lực: (thanh có 2đoạn) Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc tại A (0 z1 L), xét cân bằng phần trái qL Q 1 2 Mx qL A M Z Z Qy 1 2 1 qL 1 Đoạn BC: 2 M Mặt cắt 2-2, gốc A (L z2 3L) và xét cân xbằng phần bên phải qL q Q q 3L z M Q 2 2 2 x y 2 C qL q 3L z2 M2 3L - z2 3L-Z 2 2 2 qL 2 Chú ý các bước nhảy của biểu đồ lực cắt và biểu đồ momen Thí du 11: z 3 2 Vẽ biểu đồ nội lực của khung phẳng P= qL qL M0 = q chịu tải trọng như trên H.2.16 2 2 3 A 2 C Giải: Tính phản lực liên kết z2 B 3 2 q L Xét cân bằng của toàn khung dưới tác 1 1 7 dụng của tải trọng ngoài và các phản VC = qL z 1 D HD = qL lực liên kết giả sử có chiều như hình 8 vẽ. Dùng các phương trình cân bằng L L ta suy ra: 13 2 VD = qL X 0 H qL 8 A L L 2 L 3 1 7 M 0 V L qL q qL qL L 0 V qL  D C 2 2 2 2 4 C 8 Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 13
8. Bài giảng sức bền vật liệu Kiểm tra cân bằng nút(rất cần thiết để kiểm tra lại các biểu đồ vẽ có đúng không) Đối với khung, có thể kiểm tra kết quả bằng việc xét cân bằng các nút. Nếu tách nút ra khỏi hệ thì phải đặt vào nút các ngoại lực tập trung (nếu có) và các nội lực tại các mặt cắt, giá trị và chiều được lấy từ biểu đồ nội lực vừa vẽ. Sau khi đặt các lực trên, nếu tính đúng các nội lực ở các nút thì nút sẽ cân bằng, nghĩa là các phương trình cân bằng được thỏa mãn. Ngược lại, nếu các phương trình không thỏa mãn thì các nội lực tính sai. Ta dễ dàng thấy các phương trình cân bằng thỏa mãn:  X = 0 ,  Y = 0 ;  M/B = 0 Hay có thể dùng bất cứ mặt cắt nào qua khung để kiểm tra các phương trình cân bằng luôn thỏa mãn (Mặt cắt chỉ chia khung làm 2 phần ) (Như vậy biểu đồ nội lực chắc chắn đúng) CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ NHANH 1. Phương pháp vẽ từng điểm (dựa vào các nhận xét và liên hệ vi phân) Dựa trên các liên hệ vi phân, ta định dạng các BĐNL tùy theo dạng tải trọng đã cho và từ đó ta xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ. Trên 1 đoạn thanh Lực phân bố q = 0 Q = hằng số, M = bậc nhất. Lực phân bố q = hằng số Q = bậc nhất, M = bậc hai. . Nếu biểu đồ có dạng hằng số, chỉ cần xác 2 P = qL M = qL q định một điểm bất kỳ. Nếu biểu đồ có dạng bậc nhất, cần tính B D A nội lực tại hai điểm đầu và cuối đoạn C 17 thanh. qL 15 8 qL Nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên thì cần L L 3L 8 ba giá trị tại điểm đầu, điểm cuối và tại nơi 9 có cực trị, nếu không có cực trị thì cần biết qL 8 + K chiều lồi lõm của biểu đồ theo dấu của đạo hàm bậc hai.Đoạn thanh có lực phân bố q qL - - hướng xuống sẽ âm, nên bề lõm của biểu qL2 1 đồ mômen hướng lên.Ngược lại, nếu q qL2 hướng lên sẽ dương nên bề lõm của biểu đồ 8 mômen hướng xuống. 9 Như vậy ta có thể vẽ biểu đồ nội lực bằng: qL2 a)-phương pháp giải tích (căn bản) 8 225 b)-phương pháp vẽ điểm dựa vào liên hệ qL2 1,76qL2 vi phân và các bước nhảy 128 Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 15
9. Bài giảng sức bền vật liệu Thí dụ 13 : Dùng phương pháp cộng tác dụng vẽ biểu đồ .Từ đó suy ra phản lực tại A và B.Bài nầy có 3 tải trọng xem như 3 bài toán cơ bản cộng lại. M0 = M0 = q A B L 2 2 M0 = 2qL M0 = qL q A A B B A B  L L x L qL + + qL 2 - 2qL - qL2 2qL2 2 qL qL qL2 2 8 qL 3qL Phản lực tại B: R 2qL qL B 2 2 M0 = M0 = q Phản lực tại A: qL qL RA = 2qL qL qL 3qL 2 2 RB 2qL qL A B 2 2 Momen tại C (giữa dầm) RB = L 2 2 2 qL 2 qL 13qL MC = qL 8 2 8 qL - 3qL Chú ý: Tại giữa nhịp doạn C2C3 luôn luôn 2 2 qL2 bằng . Vận dụng điều nầy để giải bài toán C 8 C qL2 ngược khi biết biểu đồ Mx là đường bậc 2. Hay C 2 B 1 dùng tính diện tích ABC3 A C 3 qL2 qL2 13qL2 CC qL2 3 2 8 8 Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 17
10. Bài giảng sức bền vật liệu Thí dụ 14: Dùng liên hệ vi phân và các nhận xét để vẽ biểu đồ a) Tính phản lực tại A và C P qL b) Dựa vào bước nhảy và liên hệ vi phân để M = qL2 vẽ từng đoạn q A C Bài này có 3 đoạn, đoạn AB có lực phân bố B 17 D 15 qL đều q, đoan BC và CD lực phân bố bằng qL 8 không 8 3L L L a) Đoạn AB:-Lực cắt Qy bậc1, điểm đầu bằng bước nhảy của phản lực tại A đi lên, điểm cuối tính bằng: (Lực cắt là đường bậc + K nhất có hệ số góc âm) 9 - qL 8 15 9 Q B Q A  A B ( 3)qL qL y y Luccat 8 8 2 -Momen bậc 2: Giá trị tại A = 0, giá trị tại qL K(điểm cực trị) là 9 2 1 15 15 225 qL M K M A  A K 0 qL L qL2 8 x x Luccat 225 2 8 8 128 qL2 1,76qL2 128 Giá trị tại B: 225 1 9 9 9 M B M K K B qL2 qL L qL2 x x Luccat 128 2 8 8 8 Nối 3 điểm tại A.K.B lại có đường cong hứng tải trọng 9 17 b) Đoạn BC: Thực hiện bước nhảy qL đi xuống: qL qL qL và Qy hằng số từ B 8 8 đến C Và cuối cùng bước nhảy đi lên đúng bằng phản lực tại C Momen bậc1: điểm đầu tại B và điểm cuối tại C tính được: 9 17 M C M B B C qL2 ( qL L) qL2 (kéo thớ trên) x x Luccat 8 8 c) Đoạn CD: Lực cắt bằng 0, momen hằng số bằng momen tập trung Thí dụ 15 Vẽ biểu đồ nội lực -Tính các phản lực tại gối tựa -Tương tự bài trên dung phương pháp vẽ từng điểm để vẽ Qy và Mx Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 19
11. Bài giảng sức bền vật liệu Thí dụ 17(AB dầm phụ,BK dầm chính) P B A K Pb a b c a b Pa a b + - - Pb a a b Pa C a b Các bài tập tham khảo thêm: 2 P=qa M=2qa P=qa M=qa2 q q B A B A C C a a 7 2a 5 qa 2a qa 4 4 qa - 1 2qa qa + 4 8c m - qa 2 1 qa 2 2 2 qa 49 2 qa 5 2 32 qa 2 Chương 2: Lý thuyết về nội lực GV: Lê đức Thanh 06/2015) 21